全国大学生数学建模大赛太阳能小屋 1Word文档下载推荐.docx
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h，纯收入为122374元，投资的回报年限为21.1年，单位发电成本为0.336元。
问题三要求按规范设计一个小屋,并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池。
本文在利用前两题的成果的前提下，建立了非线性规划模型，利用Lingo求解，得出小屋的具体建筑尺寸，然后转化为问题一并求解，得到房屋的长为15m，宽为3.3m,朝南墙的高度为2.8m。
结果为：
35年发电量为805968kw·
h，单位发电成本为0.332元。
本文在建模的过程中，通过实际收益来控制光伏电池与组的选择，尽量考虑到实际情况，所以模型具有良好的实际应用性和较强的可扩展性。
关键词：
收益，多目标规划，Lingo，0-1矩阵模拟，非线性规划
一、问题重述
太阳能小屋需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。
已知不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。
现在要求根据附件中相关信息，对下列三个问题，分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，并给出图示，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh计算）及投资的回收年限。
问题1：
根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。
问题2：
电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1。
问题3：
根据附件7给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。
二、问题分析
2.1对大同市时间的理解:
由于地理经纬度差异的存在，大同当地时间是北京时间减一小时，即数据库中的时间为当地时间。
在后续计算中利用的是当地时间即数据库时间。
2.2对附件中各方向辐射强度的理解：
附件中东南西北四个方向的总辐射值是可以通过水平面总辐射，散射辐射，法相辐射推算求得。
又因为小屋朝正南，所以房屋东南西北四个侧面的辐射强度等于附件中东南西北面的总辐射强度；
对于房顶的两个侧面，我们需要通过水平面总辐射强度，水平面散射辐射强度以及法向直射辐射强度计算得到。
2.3对任意面上光辐射总强度的理解：
本题中任意面的光辐射强度由直接辐射强度，散射辐射强度与反射辐射强度之和组成，经计算验证了在本问题中反射辐射强度对于总的光辐射强度的影响相对较小，因此本题忽略反射辐射的影响，但反射辐射可以解释部分数据出现的不合理现象。
2.4对最优铺设方式的理解：
对于本题中太阳能小屋所发的电是接入电网的，不需要考虑夏季发电过多而冬季发电过少所导致的季节分配不合理性，只需要考虑全年发电量最大即可。
2.5
2.6对于各种参数的理解：
峰瓦，即在标准测试条件下太阳能电池组件或方阵的额定最大输出功率，在此将附件3的电池组建功率作为其峰瓦值，可得到不同电池的成本价。
2.7对小屋总发电量最大的理解：
由于小屋总发电量为各表面的发电量总和，因为不同面之间发电量是独立无关的，因此追求总发电量的最大值等同于追求各个面的最大发电量。
2.8对串并联问题的理解
串并联的前提条件照附件1中的要求，并且由于不同种类电池之间的太阳光辐照阈值存在差异，导致在某些时刻若两种不同电池并联会出现一段有电压一段舞电压的情况，因此不同种类之间的电池不可互相并联。
三、模型假设
假设一：
该全年气象数据可以代表大同市未来35年的典型气象数据;
假设二：
每块电池板只考虑表面光照面积所接受的光能，不考虑由深度遮光带来
的影响;
假设三：
一个逆变器和若干个光伏电池组成一组，一组中的光伏电池必须安排在
同一个表面上，但它们可以随意的分布在表面的任何位置，且逆变器不
铺设在表面，即其不占用表面面积。
假设四：
本题中的成本费用只计算光伏电池与逆变器的成本费不计算安装费用
假设五：
逆变器与光伏电池相连必须要满足开路电压之和小于逆变器的上限
四、符号系统
符号说明
H。
。
水平面上的总辐射强度
Hd。
水平面散射辐射强度
Ib。
法相直射辐射强度
β。
倾斜面与水平面的夹角
αs。
太阳高度角
Γs。
太阳方位角
Γn。
斜面方位角，即斜面法线在水平面的投影与当地正南方向的夹
角。
向西为取正角，向东取负角。
It。
倾斜面上的太阳辐射总量
Ibt。
倾斜面上由直接太阳辐射引起的辐射量
Idt。
倾斜面上由散射辐射引起的辐射量
Irt。
倾斜面上由地面反射引起的辐射量
Qki.............小屋外第k个表面上第i组（组为一个逆变器与若干个光伏电池的
有效组合）
ηkij............小屋外第k个表面上第i组中第j个光伏电池的转化效率
Sk.。
小屋外第k个表面的表面积
Skij...........小屋外第k个表面上第i组内第j个光伏电池的表面积
Cki..........小屋外第k个表面上第i组的成本
Pk............小屋外第k个表面上全年有效辐射强度。
这是一个变量，对于A类，
B类，C类电池是不同的
Pi..............第i组中的逆变器的额定功率
Pocij.........第i组中第j个光伏电池的组件功率
Ui.............第i组中的逆变器的电压上限
Uocij........第i组内第j个光伏电池的开路电压
五、模型建立
5.1倾斜面上的太阳总辐射的计算
在实际工程中，对于确定的地点，通常可以知道该地点全年各月水平面的平均太阳辐射资料（总辐射量、直接辐射量和散射辐射量）。
我们采用Klein提出的计算方法：
倾斜面的太阳辐射总量It由直接太阳辐射量Ibt、散射辐射量Idt和地面反射量Irt三部分组成，即：
5.1.1倾斜面上太阳直接辐射量Ibt的计算:
如图5-1，我们假设太阳光线垂直于一假想面AC，现要将其换算成斜面AB上的直接辐射通量Irb，在△ABC中显然有：
式中
为斜面AB上的太阳光线入射角。
[1]根据相关资料分析可知
可由下式确定:
太阳高度角：
赤纬角：
，其中
为日期序号，例如，1月1日为
，3月22日为
【附件】
时角：
，时角是以正午12点为0度开始算，每一小时为15度，上午为负下午为正，即10点和14点分别为-30度和30度。
太阳方位角：
所以，将式（5-3）化简可以得到：
综上，任意倾斜面上的太阳直射总辐射为：
5.1.2倾斜面上散射辐射量Idt与反射辐射量Irt的计算:
[2]1970年liu和jordan提出了各向同性漫射模型，该模型认为：
各斜面上的散射辐射Idt只与当地水平面散射辐射与斜面倾斜角有关；
反射辐射量Irt只与地面反射率ρ，水平面总辐射强度It与斜面倾斜角β有关,并给出理论公式：
以上分析可知任意倾斜面上的总辐射量为：
至此，任意斜面上的总辐射量理论公式推导结束，然后将理论公式与本题数据相结合。
5.1.3理论公式的化简与检验
首先分析各方向实测辐射强度，发现以下几点特征:
①北面辐射强度始终为水平面散射辐射强度的一半；
②在上午西北两面的总辐射强度始终相等，在下午东北两面的总辐射强度始终相等且都等于水平面散射辐射强度的一半。
故我们猜测:
①北面辐射只由散射辐射引起,即认为北侧墙始终没有直射；
②在上午西面无直射只有散射辐射，在下午东面无直射只有散射辐射。
所以可以认为大同市的实际数据中反射辐射所占比重很小，故本文在后续计算中剔除理论公式中的最后一项，即理论公式可简化为：
由于式5-7是理论公式在实际数据下的简化，我们有必要对这个公式的准确性做一个检验。
通过式5-7利用水平面总辐射强度，水平面散射强度，法向直射辐射强度数据来计算东南西北面总辐射强度并与实测值做比较（具体计算结果见电子版内excel文件）。
最后得到南北误差均在5%以内，东西误差在10%以内。
但是部分数据误差很大，我们对这种情况做以下解释：
相对误差大的数据都处于傍晚，其实测值本身就不大，也就是说此时的绝对误差不大，这里可以认为是由反射引起的误差，在总辐射强度不大的情况下，反射强度引起的误差就显示出来了。
但这些数据都较小且这部分数据量也少，因此这些误差对发电量而言是微不足道的，所以认为简化后的理论公式用于计算大同市不同时间不同斜面的太阳辐射强度是合理的。
5.2.问题一求解
5.2.1对问题一的理解与分析
对收益的定义：
对于任何一个光伏电池以及由光伏电池组成的组在35年寿命期内所发的电以0.5元每度的折算为钱减去光伏电池的价格（对于组则减去组内所有电池的价格与逆变器的价格）
在实际情况中，太阳能发电至少要使得收益为正，否则就没有实际利用价值，为此本文对收益做了一个判别标准：
若收益为负，则剔除该种光伏电池或者剔除改组；
这在接下去三个问题中都起到了很好的简化作用。
定义组的含义：
若干电池组在串并联（串并联必须满足题设条件）后与合适的一个逆变器组成一个组Qi。
并且任意一个铺设完毕后的表面上的最小单位为组，即表面上不存在不与逆变器相连的光伏电池。
所以铺设是由一组一组进行的，但是一组内的光伏电池可以在一个表面上任意分布。
5.2.1问题一模型的建立
问题一实质是一个具有多个目标的组合优化问题，为此我们需要建立一个多目标规划模型。
两个目标：
1.使小屋的全年太阳能光伏发电总量P尽可能大;
2.使单位发电量的费用W尽可能小。
约束条件：
任意面上的铺设都必须在该表面以内，不得露出表面
建立多目标规划模型如下：
由于总发电量为各个房子面的发电量的总和，而不同面之间发电量是独立无关，因此追求总发电量的最大值等同于追求各个面的最大发电量。
模型可简化为六个表面的模型：
5.2.2问题简化
对这两个目标的简化理解：
1.对于使发电量总量大的理解：
面积一定的情况下，通常普通光照是无法超过标准测量下的1000w/m2，则在光照幅度一定的情况下发电量大实则取决于转换效率。
那么在取电池时则倾向于取转换效率高的电池。
2.使单位发电量成本小的问题：
在发电量一定的情况下尽可能追求发电成本的最小化，或者在发电成本一定的情况下追求发电量的最大化
由于上述模型中的可供选择的组的数量繁多，而有些甚至是不合理的（比如亏本的），且每个表面上组的选取往往决定了该表面的最大年发电率与最低单位发电成本，因此我们考虑尽可能简化问题。
首先，针对不同表面，其全年的光强度分布是不同的，所以对于一个特定的表面我们一定能在所有的组中找到一部分组使得全年发电总量尽可能大，且单位发电费用又尽可能小。
为此我们需要寻找这些好的组。
因为组中包括了光伏电池，根据实际情况，我们必须考虑光伏电池的收益，如果在某一特定面上，某种光伏电池在35年使用年限内都无法收回成本（在此先不包括逆变器的成本），那么在该面上的最小单元内就不应该包含该种光伏电池。
这种合理的剔除部分光伏电池的做法为问题带来了极大的简化。
这样做虽然是较为粗略的，但一定是精确的排除掉某些一定不符合盈利条件的电池
因此在设计各表面的优化铺设方案时，都要对所有房面进行部分电池的排除，首先，我们利用式5-7得到了小屋房顶上两个倾斜表面全年逐小时的辐射强度（具体表格见附件）。
作为一个实例，我们不妨先对东面墙做处理：
利用excel表格我们统计出东面墙的结果如下：
辐射强度范围w/m2
0~30
30~80
80~200
>
200
全年强度总和w·
h
15540
56513
119959
402439
产品型号
组件功率（w）
长（mm）
宽（mm）
开路电压（Voc）
转换效率η（%）
产品成本
35年收益
单位面积收益
A1
215
1580
808
46.1
16.84%
3203.5
-1841
<
A2
325
1956
991
46.91
16.64%
4842.5
-2798
A3
18.70%
2980
-1467
A4
270
1651
992
38.1
16.50%
4023
-2310
A5
245
1650
37.73
14.98%
3650.5
-2098
A6
295
45.92
15.11%
4395.5
-2539
B1
265
37.91
16.21%
3312.5
-1132
B2
320
45.98
16.39%
4000
-1386
B3
210
1482
33.6
15.98%
2625
-692
B4
240
1640
36.9
14.80%
3000
-1019
B5
280
44.8
3500
-949
B6
45.1
15.20%
3687.5
-1261
B7
250
1668
1000
37.83
14.99%
3125
-1068
C1
100
1300
1100
138
6.99%
480
431
301
C2
58
1321
711
62.3
6.17%
278.4
266
C3
1414
1114
99
6.35%
432
274
C4
90
1400
115.4
5.84%
388
251
C5
6.49%
C6
4
310
355
26.7
3.63%
19.2
17
156
C7
615
180
12.6
157
C8
8
3.66%
38.4
34
C9
12
920
57.6
51
C10
818
4.13%
52
178
C11
50
1645
712
55
4.27%
216
184
（其余屋面的表格详见附件）
由上表我们可以发现以下规律：
北面墙体：
无论装何种电池都无法收回成本，因此，北面墙体不予铺光伏电池；
西面墙体:
可以铺设B,C两类光伏电池；
南面墙体：
可以铺设B,C两类光伏电池；
东面墙体：
只能铺设C类光伏电池；
屋顶的朝北侧：
屋顶的朝南侧：
可以铺设A,B,C三类光伏电池。
可知对于任意一个表面，都有对应的合理的光伏电池可供选择，选择单位面积盈利较多并且转换效率又高的光伏电池，再利用这些光伏电池进行串并联的组合结合有效的逆变器得到合理优化的排布方案。
5.2.3模型求解
为了得到此方案，我们设计了一个矩阵模拟算法，这实际上是一个启发式算法，首先要将电池按优劣进行排序后输入到算法中，作为输入值，而优劣的判别标准则为一种光伏电池在其产品寿命中的单位面积盈利状况和转换效率的综合指标。
经过判别后，然后进入这个算法：
先摆放最优电池，使得摆放个数最大，其次再摆放次优的，并使之摆放个数最大，依次类推最终得到一个较优的摆放方式，使得发电总量最大，单位发电费用最小。
具体算法步骤如下：
1.输入若干个以进行优劣排序后的电池，a，b，c.....
2.将房屋表面每隔10mm设置一个点，每个点就是矩阵上的一个值，例如若表面为10000mm*5000mm，那么这个表面就有1000*500个点，我们用一个1000*500的矩阵来表示这个表面，并且这是一个0-1矩阵，0代表该点是空的，未被填充的，1代表该点已被填充。
由此我们可以通过这个矩阵得知该表面是否还有剩余面积可被电池所填充的。
3.对于任意一个电池，我们可以用一个全为1的矩阵来表示该电池，其维数即为电池长宽缩小10倍
4.利用a电池矩阵来填充墙面矩阵，电池可以倾斜放置，只要使得放置的a电池尽可能多。
5.在a电池放置结束后，开始同理放置b电池，依次对c，d等电池进行操作，直到放不下电池为止，此时当矩阵中为1的位置输出一个点，由于又1的位置都是被电池填满的位置，最后就输出了一个电池排布图。
6.最后放置的电池要与逆变器结合，据此对5得到的排布方式进行微调，直到满足逆变器要求
7.最终得到一个较好的排布方式，算法结束。
5.2.3.1分别考虑六个表面的分组排布情况
只可选择C类光伏电池，上表给出了C类各电池在单位面积上的总收益值，总收益值与电池转换效率、电池成本有关，为了得到尽可能大的年发电总量与尽可能小的单位发电量费用，通过分析单位面积的收益值与转换效率选取相对较优的两个电池，C1，C10。
由于C1优于C10,首先要将尽量多的C1进行铺设，再铺设C1对空隙进行填充。
利用上述算法编写matlab程序，具体代码见附录。
将东面墙体表面以矩阵形式表示，并运行程序得到排布图以及各参数如下：
组合
功率
各支路电压（*支路数）
逆变器允许电压输入范围
逆变器种类
逆变器成本
光伏电池成本
发电所获得的钱
利润
东面
C1*10
C10*10
1120w
276（*5）
267（*1）
180-300v
SN12
6900
5376
9595
负值
由表中利润一栏可知该分组阵列的利润是负值，即该分组阵列无法获得经济效益，即便空余的边角面积整合在一起再放置C1或C10电池，计算发现35年所取得的利润也不及逆变器的成本。
则东面墙不装任何光伏电池。
朝北斜面的单位面积盈利率过低，不装：
通过数据可知北面没有一种光伏电池是有盈利的，说明朝北是亏损的。
将其余面和东面一样进行处理，得到以下结果：
对于南面：
南面
C2*6
C10*21
600w
186.9*2
186.9*3
SN11
4500
2880
9249
1869
电池组件连接分组阵列输出电压及功率示意图：
电池分组I：
5串并联
组输出电压=186.9v
组输出功率=600w
西面：
当考虑利用B类电池时只考虑C类光伏电池
有B类电池
西面
B3*12
C10*20
2910w
134.4*3
133.5*3
99-150v
SN8
15300
32652
34741
无B类电池
C1*14
1520w
276*7
267*1
7296
19731
5535
屋顶朝南斜面：
南斜面
A3*40
8000w
230.5*8
SN16
35000
119200
204981
50781
逆变器电压范围
600
升级会员 