《含30角的直角三角形的性质》教案导学案同步练习Word文件下载.docx
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证明：
在△ABC中，∠ACB=90°
，则∠B=60°
延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如下图）
∵∠ACB=60°
，∴∠ACD=90°
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形）．
∴BC=
BD=
[例]右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°
，立柱BD、DE要多长？
观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°
，所以DE=
AD，BC=
AB，又由D是AB的中点，所以DE=
解：
因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°
，由定理知
AB，DE=
AD，
所以BD=
×
7.4=3.7（m）．
又AD=
AB，
所以DE=
AD=
3.7=1.85（m）．
答：
立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m．
[例]等腰三角形的底角为15°
，腰长为2a，求腰上的高．
如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°
，CD是腰AB上的高．
求：
CD的长．
观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°
2=30°
，根据在直角三角形中，30°
角所对的边是斜边的一半，可求出CD．
∵∠ABC=∠ACB=15°
，
∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°
∴CD=
AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°
，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．
Ⅲ．随堂练习
1.Rt△ABC中，∠C=90°
，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？
边AB与BC之间有什么关系？
答案：
∠B=60°
，∠A=30°
，AB=2BC．
2.已知：
如图，△ABC中，∠ACB=90°
，CD是高，∠A=30°
在Rt△ABC中，∠A=30°
在Rt△BCD中，∠B=60°
∴∠BCD=30°
∴BD=
BC．
2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．
其中一条是另一条的2倍．
在Rt△ABC中，∠A=90°
，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．
CD=2AD．
，∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=60°
，∠C=30°
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC=30°
∴AD=
BD，BD=CD．
∴CD=2AD．
Ⅳ．课时小结
这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°
的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．
板书设计
角的直角三角形的性质
在直角三角形中，有一个锐角是30°
，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
13.3.2等边三角形
《第2课时含30°
角的直角三角形的性质》导学案
学习目标：
1．探索含30°
角的直角三角形的性质.
2．会运用含30°
角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．
重点：
角的直角三角形的性质．
难点：
运用含30°
知识链接
1.等边三角形的性质有哪些？
2.如何判定一个三角形是等边三角形？
1、要点探究
探究点：
拼一拼：
如图，将两个相同的含30°
角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
填一填：
∠A=∠D=_______，
∠BAC=___________;
AB=DE,
△ABE是__________三角形；
2BC=BE=________.
要点归纳：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°
，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
证一证：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°
，∠A=30°
.求证：
AB.
方法一：
倍长法
【提示：
延长BC至D，使CD=BD，连接AD】
方法二：
截半法
在BA上截取BE=BC，连接EC】
方法总结:
在证明线段之间的和差倍分关系时，倍长法与截半法是常用的两种作辅助线的方法.
典例精析
例1：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
，∠B＝30°
，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是（ ）
A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm
注意：
角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
例2：
如图，∠AOP＝∠BOP＝15°
，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于（ ）
A．3B．2C.1.5D．1
方法总结：
角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°
角的直角三角形．
例3如图，在△ABC中，∠C＝90°
，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？
请说明理由．
角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
例4：
已知:
等腰三角形的底角为15°
，腰长为20.求腰上的高.
在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°
角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°
角，利用含30°
角的直角三角形的性质解决问题.
针对训练
1.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°
，AD＝2cm，则AC的长是（）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°
，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝____．
第2题图第3题图
3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°
，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h＝____m.
4.如图所示，已知△ABC中，∠ACB=90°
，CD⊥AB于点D，∠A=30°
.
AB=4BD
∵△ABC中，∠ACB=90°
，∠A=30
∴BC=AB
∠B=
又∵△BCD中,CD⊥AB
∴∠BCD=
∴BD=BC
∴BD=AB
即.
5.如图所示,∠AOP=∠BOP=15°
PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4.求PD的长.
二、课堂小结
角的直角三角形的性质：
应用的前提在三角形中，结论是30°
角所对的直角边是的一半，而不是任一直角边是斜边的一半．
1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°
角，这棵树在折断前的高度为（）
A．6米B．9米C．12米D．15米
第1题图第2题图
2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°
，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）
A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元
3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°
，CD是高，∠A=30°
，AB=4．则BD=.
第3题图第5题图
4.在△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,若AB=10,则BC=.
5.如图，Rt△ABC中，∠A=30°
，AB+BC=12cm，则AB=______.
6.在△ABC中，∠C=90°
，∠B=15°
，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．
.
7.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°
，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：
BE=3EA.
拓展提升
8.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:
BP=2PQ.
学习目标
1、探索、发现、猜想、证明直角三角形中有一个角为
30°
2、有一个角为30°
3、体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性．
学习重点
学习难点
学具使用
多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等
学习内容
学习活动
设计意图
一、创设情境独立思考（课前20分钟）
1、阅读课本，思考下列问题：
直角三角形中有一个角为30°
的性质是什么？
2、独立思考后我还有以下疑惑：
二、答疑解惑我最棒（约8分钟）
甲：
乙：
丙：
丁：
同伴互助答疑解惑
三、合作学习探索新知（约15分钟）
1、小组合作分析问题
2、小组合作答疑解惑
3、师生合作解决问题
【1】含30°
【2】用两个全等的含30°
说说你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°
则∠B=60°
延长BC至D，使CD=BC，连接AD
∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）．
四、归纳总结巩固新知（约15分钟）
1、知识点的归纳总结：
★定理：
2、运用新知解决问题：
（重点例习题的强化训练）
【1】例1右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°
五、课后反思：
1、学习目标完成情况反思：
2、掌握重点突破难点情况反思：
3、错题记录及原因分析：
自我评价
课上
1、本节课我对自己最满意的一件事是：
2、本节课我对自己最不满意的一件事是：
作业
独立完成（）求助后独立完成（）
未及时完成（）未完成（）
一、学习目标
1、理解含30°
锐角的直角三角形的性质；
2、能利用含30°
锐角的直角三角形的性质解决简单的实际问题。
二、温故知新（口答）
1、等边三角形三边，三个角都等于，
2、等边三角形是轴对称图形,它有条对称轴，它的对称轴。
三、自主探究合作展示
探究
（一）
1、如图
（1），将两个含有30°
角的三角形放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
2、你能用所学的知识验证以上结论吗？
方法1：
如图
（2），△ABC是等边三角形，AD⊥BC于D，∠BAD=°
BD=BC=AB。
方法2：
如图（3），△ABC中，延长BC到D使BD=AB，连接AD，则△ABD是三角形,
=
。
探究
（二）
例题：
如图（4）是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°
，立柱BC、DE要多长？
，所以DE=，BC=，又由D是AB的中点，所以DE=．
探究（三）
A
如图（5），要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植,如果∠C＝90°
∠A＝30°
要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.
四、双基检测
1、等腰三角形中，一腰上的高与底边的夹角为30°
，则此三角形中腰与底边的关系（）
A、腰大于底边B、腰小于底边
C、腰等于底边D、不能确定
2、在Rt△ABC中，∠C=90度，∠A=30°
，CD⊥AB于点D，AB=8cm,则BC=，BD=，AD=
3、如图（6）,在△ABC中∠C=90°
∠B=15°
AB的垂直平分线交BC于D,交AB于M,且BD=8㎝,求AC之长.
五、学习反思
请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。
角的直角三角形的性质》同步练习
一．选择题（共8小题）
1．如图，△ABC中，∠C=90°
，AC=3，∠B=30°
，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．3.5B．4.2C．5.8D．7
第1题第2题第3题
2．如图，在△ABC中，∠B=30°
，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（ ）
A．10B．8C．5D．2.5
3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°
，以点B为圆心，适当长为半径画弧，与∠ABC的两边相交于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线BM，交AC于点D．若△BDC的面
积为10，∠ABC=2∠A，则△ABC的面积为（ ）
A．25B．30C．35D．40
4．在Rt△ABC中，∠C=90°
，∠B=30°
，斜边AB的长为2cm，则AC长为（ ）
A．4cmB．2cmC．1cmD．
m
5．如图，△ABC中，∠ACB=90°
，则BD与AB的关系是（ ）
A．BD=ABB．BD=ABC．BD=ABD．BD=AB
第5题第6题第7题第8题
6．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB=10m，∠A=30°
，则立柱BC的长度是（ ）
A．5mB．8mC．10mD．20m
7．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°
角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．6米B．9米C．12米D．15米
8．如图，已知∠ABC=60°
，DA是BC的垂直平分线，BE平分∠ABD交AD于点E，连接CE．则下列结论：
①BE=AE；
②BD=AE；
③AE=2DE；
④S△ABE=S△CBE，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二．填空题（共10小题）
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°
，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°
，DE=1，则BE的长是 _________ ．
10．如图，∠AOE=∠BOE=15°
，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= _________ ．
11．如图，在△ABC中，∠C=90°
，∠B=60°
，AB=10，则BC的长为 _________ ．
12．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12cm，∠ABC=30°
，底边上的高AD= _______cm．
第9题第10题
第11题第12题
13．如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°
，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD= _________ cm．
第13题第14题第15题第16题
14．如图，在△ABC中．∠B=90°
．AB=9cm，D是BC延长线上一点．
且AC=DC．则AD= _________ cm．
15．如图是某超市一层到二层滚梯示意图．其中AB、CD分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，∠ABC=150°
，BC的长约为12米，则乘滚梯从点B到点C上升的高度h约为 _________ 米．
16．在△ABC中，已知A
B=4，BC=10，∠B=30°
，那么S△ABC= _________ ．
17．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AC，若AB=12cm，则CE= ______ cm．
18．有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°
有一灯塔P．继续航行20海里后到B处，又测得灯塔P在西偏北30°
．如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是 _________ 海里．
三．解答题（共5小题）
19．如图，在△ABC中，∠C=90°
，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：
△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°
，CD=1，求BD的长．
20．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°
，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：
DC．
21．如图，△ABC中，∠C=90°
，∠ABC=60°
，BD平分∠ABC，若AD=6，求AC的长．
22．如图，△ABC中，∠ACB=90°
，CD是△ABC的高，∠A=30°
，AB=4，求BD长．
23．如图，已知∠MAN=120°
，AC平分∠MAN．B、D分别在射线AN、AM上．
（1）在图
（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°
时，求证：
AD+AB=AC．
（2）若把
（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°
”改为∠ABC+∠ADC=180°
，其他条件不变，如图
（2）所示．则
（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请给出证明；
若不成立，请说明理由．
等边三角形
（2）
：
一、DABCCABC
二、9、2；
10、2；
11、5；
12、6；
13、2；
14、18；
15、6；
16、10；
17、3；
18、10
三、19、
（1）证明：
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌
Rt△AED（HL）；
（2）解：
∵DC=DE=1，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°
∵∠B=30°
∴BD=2DE=2．
20、解：
如图，连接DB．
∵MN是
AB的垂直平分线，
∴AD=DB，
∴∠A=∠ABD，
∵BA=BC，∠B=120°
∴∠A=∠C=
（180°
﹣120°
）=30°
∴∠ABD=30°
又∵∠ABC=120°
∴∠DBC=120°
﹣30°
=90°
DC，
21、解：
∵△ABC中，∠C=90°
，BD平分∠ABC，
∴∠2=∠3=30°
；
在Rt△BCD中，
CD=
BD，∠4=90°
（直角三角形的两个锐角互余）；
∴∠1+∠2=60°
（外角定理），
∴∠1=∠2=30°
∴AD=BD（等角对等边）
∴AC=AD+CD=
AD；
又∵AD=6，
∴AC=9．
22
、解：
，AB=4，
AB=
4=2，
∵CD是△A
BC的高，
∴∠CDA=∠ACB=90°
∠B=∠B，
故∠BCD=∠A=30°
∴在Rt△BCD中，BD=
2=1，
∴BD=1
23、
（1）证明：
∵∠MAN=120°
，AC平分∠MAN，
∴∠DAC=∠BAC=60°
∵∠AB
C=∠ADC=90°
∴∠DCA=∠BCA=30°
在Rt△ACD中，∠DCA=30°
，Rt△ACB中，∠
BCA=30°
∴AC=2AD，AC=2AB，
∴AD+AB=AC；
（2）
结论AD+AB=AC成立．
理由如下：
在AN上截取AE=AC，连接CE，
∵∠BAC=60°
∴△CAE为等边三角形，
∴AC=CE，∠AEC=60°
∵∠DAC=60°
∴∠DAC=∠AEC，
∵∠ABC+∠ADC=180°
，∠ABC+∠EBC=180°
∴∠ADC=∠EBC，
∴△ADC≌△EBC，
∴DC=BC，DA=BE，
∴AD+AB=AB+BE=AE，
∴AD+AB=AC．
1.在Rt△ABC中，∠C=90°
∠A=30°
，若AB=4cm,则BC=_______________.
2.等腰三角形一底角是30°
，底边上的高为9cm，则其腰长为__________,顶角是__________.
3.在△ABC中，∠ACB=90°
，CD⊥A
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