上海市高三三模浦东新区数学试卷理科含答案1.doc
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2015年上海市高三三模试卷(理科)
201505
一、填空题:
(本大题满分56分,每小题4分)本大题共有14小题,考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.若集合,集合,则.
2.函数的反函数是.
3.过点且与直线垂直的直线的方程.
4.已知数列为等比数列,前项和为,且,,则此数列的公比.
5.如果复数满足(是虚数单位),则的最大值为1.
6.函数的单调增区间为().
7.行列式中第行第列元素的代数余子式的值为,则实数=.
8.设是双曲线 的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的周长24.
9.设、、、是球面上的四个点,且在同一个平面内,,球心到该平面的距离是球半径的倍,则球的体积是.
10.掷两颗骰子得两数,则事件“两数之和为”的概率为.
11.数列中,且,则数列前项的积等于.
12.若均为平面单位向量,且,则.(用坐标表示)
13.在极坐标系中,动点从出发,沿极轴方向作匀速直线运动,速度为3米/秒,同时极轴绕极点按逆时针方向作等角速度旋转,角速度为2米/秒.则动点的极坐标方程.
14.记符号表示集合中最小的数.已知无穷项的正整数数列满足,令,若,
则=294.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得5分,否则一律得零分.
15.二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是(D)
A.系数行列式B.比例式
C.向量不平行D.直线不平行
16.用符号表示不小于的最小整数,如,.则方程在上实数解的个数为(D) A.0B.1 C.2 D.3
17.已知为椭圆的左顶点.如果存在过点的直线交椭圆于两点,使得,则的取值范围为(C)
A. B. C. D.
18.在圆锥中,已知高=2,底面圆的半径为,为母线上一点;根据圆锥曲线的定义,下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线,下面四个命题,正确的个数为(B)
①圆的面积为;
②椭圆的长轴为;
③双曲线两渐近线的夹角为;
④抛物线中焦点到准线的距离为.
A.1个B.2个C.3个D.4个
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第
(1)小题满分5分,第
(2)小题满分7分.
如图,正方形所在平面与圆所在平面相交于,为圆的直径,线段为圆的弦,垂直于圆所在平面.
(1)求证:
平面;
(2)设异面直线与所成的角为且,将(及其内部)绕所在直线旋转一周形成一几何体,求该几何体的体积.
解:
(1)证明:
因为为圆的直径,所以,即…………2分
又因为垂直于圆所在平面,所以………………………………………4分
又所以平面…………………………………………………………5分
(2)由题意知,将(及其内部)绕所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差.
因为异面直线与所成的角为,且,所以,……………7分
又因为,所以,在中,,………………………9分
在中,,,所以…………………………10分
所以该几何体的体积……………………12分
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第
(1)小题满分6分,第
(2)小题满分8分.
如图在半径为的圆形的材料中,要截出一个“十字形”,其为一正方形的四角截掉全等的小正方形所形成的图形.(为圆心)
(1)若要使截出的“十字形”的边长相等()(图),此时边长为多少?
(2)若要使截出的“十字形”的面积为最大
(图),此时为多少?
(用反三角函数表示)
图
(1)图
(2)
解:
(1)当“十字形”的边长相等时,过作交于,作⊥交于.设该“十字形”的边长为,则,.
在中,由勾股定理得,…………………………5分
所以,边长………………………………………………………………………6分
(2)过作交于,作⊥交于.设∠,则.
,.…………………………………………8分
所以,“十字形”的面积为
(其中或)…………………………………10分
所以,当时,………………………………………12分
此时,或……………………………14分
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第
(1)小题满分6分,第
(2)小题满分8分.
设函数对任意,都有,其中为常数.当时,.
(1)设,在时的解析式及其值域;
(2)设,求在时的值域.
解:
(1)当时,于是,又
所以即……………………………………3分
即在时的值域为…6分
(2)由于
只研究函数在值域即可……………………………………7分
对于得
于是
所以………………………………………9分
因为
所以当为偶数时,在上单调减,值域为;
且………………………………………10分
当为奇数时,在上单调增,值域为
且………………………………………12分
所以的值域为…………………………………………………………14分
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第
(1)小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知在数列中,.
(1)设(),求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和;
(3)当时,是否存在一个常数,使对任意正整数都成立?
如果存在,请求出的值,并证明;如果不存在,请说明理由.
解:
(1)由题意,令,比较得到,
故有,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,……2分
因此,所以,.…………………………………4分
(2)由题意可知,,所以,
所以,所以数列是以2为首项,为公比的等比数列,
由,可得到,,
又因为,所以…………………………6分
由,同样可以求得,…………………………………8分
所以
,即……………………………10分
(3)因为在上单调递减且,
由,可知数列中的各项均满足
由要证明不等式的结构可令,解得,
故猜想:
,………………………………………………13分
下面用数学归纳法证明:
证明:
(i)当时,,,
所以,命题成立;
(ii)假设时,命题成立,即有,
由于在区间上单调递减,
所以
即,
再次利用函数在区间上单调递减,
得到,
即,
所以时命题也成立,
所以
即存在常数,使对任意正整数都成立.…………………16分
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第
(1)小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
如图,矩形中,,以矩形的中心为原点,过矩形的中心平行于的直线为轴,建立直角坐标系,
(1)求到直线的距离之积为1的动点的轨迹;
(2)若动点P分别到线段中点的距离之积为4,求动点的轨迹方程,并指出曲线的性质(对称性、顶点、范围);
(3)已知平面上的曲线及点,在上任取一点,线段长度的最小值称为点到曲线的距离.若动点到线段的距离与射线的距离之积为4,求动点的轨迹方程,并作出动点的大致轨迹.
解:
(1)设,则………………………………………………2分
化简得.故动点的轨迹为三条平行线;………………………4分
(2)
化简得
对称性:
关于原点、轴对称;…………………6分
顶点:
;…………………8分
范围:
……………………………10分
作图如图(不计分)
(3)同时从几何和代数角度进行分析
当时,,…………12分
当时,或,…………………14分
当时,,……………16分
作轨迹大致如图.分三个区域给分:
①在直线的下方:
两段曲线;
②在两直线之间:
三条平行线;
③在直线的上方:
三条曲线.………………………………………………18分
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