直线的参数方程的几何意义.docx

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直线的参数方程的几何意义

乐恩特教育个性化教学辅导教案

课题

直线的参数方程的几何意义

教学目标

要求

与直线的参数方程有关的典型例题

教学重难点

分析

与直线的参数方程有关的典型例题

教学过程

知识要点概述

过定点、倾斜角为的直线的参数方程为（t为参数），其中t表示直线上以定点为起点，任意一点M（x，y）为终点的有向线段的数量，

的几何意义是直线上点到M的距离.此时,若t>0,则的方向向上;若t<0,则的方向向下;若t=0,则点与点M重合.

由此，易得参数t具有如下的性质：

若直线上两点A、B所对应的参数分别为

，则

性质一：

A、B两点之间的距离为，特别地，A、B两点到的距离分别为

性质二：

A、B两点的中点所对应的参数为，若是线段AB的中点，则

，反之亦然。

精编例题讲练

一、求直线上点的坐标

例1．一个小虫从P（1，2）出发，已知它在x轴方向的分速度是−3，在y轴方向的分速度是4，问小虫3s后的位置Q。

分析：

考虑t的实际意义，可用直线的参数方程（t是参数）。

解：

由题意知则直线PQ的方程是，其中时间t是参数，将t=3s代入得Q（−8，12）。

例2．求点A（−1，−2）关于直线l：

2x−3y+1=0的对称点A'的坐标。

解：

由条件，设直线AA'的参数方程为（t是参数），

∵A到直线l的距离d=，∴t=AA'=，

代入直线的参数方程得A'（−，）。

点评：

求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数t的几何意义。

二求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离

例1.设直线经过点（1,5）,倾斜角为,

1）求直线和直线的交点到点的距离;

2）求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积.

解:

直线的参数方程为（t为参数）

1）将直线的参数方程中的x,y代入,得t=.所以,直线和直线的交点到点的距离为

2）将直线的方程中的x,y代入,得设此方程的两根为,则==10.可知均为负值,所以=

点评：

解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。

三求直线与曲线相交的弦长

例1过抛物线的焦点作斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，求|AB|.

解 因直线的倾角为，则斜率为－1，又抛物线的焦点为F（1，0），则可设AB的方程为

  （为参数）

代入整理得

由韦达定理得t1＋t2=，t1t2=－16。

∴===.

例2已知直线L:

x+y-1=0与抛物线y=交于A,B两点,求线段AB的长和点M（-1,2）到A,B两点的距离之积.

解:

因为直线L过定点M,且L的倾斜角为,所以它的参数方程是（t为参数）

即（t为参数）

把它代入抛物线的方程,得

解得

由参数t的几何意义得

点评:

本题的解答中,为了将普通方程化为参数方程,先判定点M（-1,2）在直线上,并求出直线的倾斜角,这样才能用参数t的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交点坐标,再用距离公式求交点距离简便一些.

四、求解中点问题

例1,已知经过点P（2,0）,斜率为的直线和抛物线相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,求点M的坐标.

解:

设过点P（2,0）的直线AB的倾斜角为,由已知可得:

cos,

所以,直线的参数方程为（t为参数）

代入,整理得

中点M的相应的参数是=

所以点M的坐标为

点评:

在直线的参数方程中,当t>0,则的方向向上;当t<0,则的方向向下,所以A,B中点的M所对应的t的值等于,这与二点之点的中点坐标有点相同.

例2．已知双曲线，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。

分析：

中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1+t2=0。

解：

设M（x0，y0）为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是（t是参数），代入双曲线方程得：

（2cos2θ−sin2θ）t2+2（2x0cosθ−y0sinθ）t+（2x02−y02−2）=0，

由题意t1+t2=0，即2x0cosθ−y0sinθ=0，得。

又直线P1P2的斜率，点P（2，1）在直线P1P2上，

∴，即2x2−y2−4x+y=0为所求的轨迹的方程。

五,求点的轨迹问题

例1．已知双曲线，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。

分析：

中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1+t2=0。

解：

设M（x0，y0）为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是（t是参数），代入双曲线方程得：

（2cos2θ−sin2θ）t2+2（2x0cosθ−y0sinθ）t+（2x02−y02−2）=0，

由题意t1+t2=0，即2x0cosθ−y0sinθ=0，得。

又直线P1P2的斜率，点P（2，1）在直线P1P2上，

∴，即2x2−y2−4x+y=0为所求的轨迹的方程。

六、求定点到动点的距离

例1．直线l过点P（1，2），其参数方程为（t是参数），直线l与直线2x+y−2=0交于点Q，求PQ。

解：

将直线l的方程化为标准形式，代入2x+y−2=0得t'=，

∴PQ=|t'|=。

点评：

题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。

例2．经过点P（−1，2），倾斜角为的直线l与圆x2+y2=9相交于A，B两点，求PA+PB和PA·PB的值。

解：

直线l的方程可写成，代入圆的方程整理得：

t2+t−4=0，设点A，B对应的参数分别是t1，t2，则t1+t2=−，t1·t2=−4，由t1与t2的符号相反知PA+PB=|t1|+|t2|=|t1−t2|==3，PA·PB=|t1·t2|=4。

点评：

解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。

七、求直线与曲线相交弦的长

例1．已知抛物线y2=2px，过焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，求证：

。

分析：

弦长AB=|t1−t2|。

解：

由条件可设AB的方程为（t是参数），代入抛物线方程，

得t2sin2θ−2ptcosθ−p2=0，由韦达定理：

，

∴AB=|t1−t2|===。

例2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，若FA=2FB，求则椭圆的离心率。

分析：

FA=2FB转化成直线参数方程中的t1=−2t2或|t1|=2|t2|。

解：

设椭圆方程为，左焦点F1（c，0），直线AB的方程为，代入椭圆整理可得：

（b2+a2）t2−b2ct−b4=0，由于t1=−2t2，则

，①2×2+②得：

，将b2=a2−c2代入，

8c2=3a2+a2−c2，得，故e=。

在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，利用t的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量t来表示，可以将二元问题转化为一元问题来求解，体现了等价转化和数形结合的数学思想。

知识巩固训练

应用一：

求距离

例1、直线过点，倾斜角为，且与圆相交于A、B两点。

（1）求弦长AB.

（2）求和的长。

应用二：

求点的坐标

例2、直线过点，倾斜角为，求出直线上与点相距为4的点的坐标。

应用三：

解决有关弦的中点问题

例3、过点，倾斜角为的直线和抛物线相交于A、B两点，求线段AB的中点M点的坐标。

教师课

后小结

签字

教学主任：

教学组长：

学生/家长：

解：

因为直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为

，即，（t为参数），代入圆方程，得

，整理得

（1）设A、B所对应的参数分别为，所以，，

所以

（2）解方程得，，

所以，

解：

因为直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为

，即，（t为参数），

（1）

设直线上与已知点相距为4的点为M点，且M点对应的参数为t，则

，所以，将t的值代入

（1）式，

当t＝4时，M点的坐标为；

当t＝－4时，M点的坐标为，

综上，所求M点的坐标为或.

点评：

若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较容易。

解：

直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为

，（t为参数），因为直线和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程

中，得：

，整理得，

，设这个二次方程的两个根为，

由韦达定理得，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得

，易知中点M所对应的参数为，将此值代入直线的参数方程得，M点的坐标为（2，1）

点评：

对于上述直线的参数方程，A、B两点对应的参数为，则它们的中点所对应的参数为

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