数学新学案同步必修一北师大版赣豫陕讲义第一章 集合1 第2课时 Word版含答案Word文档下载推荐.docx

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＝

.（　×

3.

.（　√　）

4.

类型一　用列举法表示集合

例1　用列举法表示下列集合．

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程x2＝x的所有实数根组成的集合．

考点　用列举法表示集合

题点　用列举法表示集合

解　

（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，

那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．

（2）设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，

那么B＝{0,1}．

反思与感悟　

（1）集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开．

（2）列举法表示的集合的种类

①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；

②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1000}；

③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：

自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}．

跟踪训练1　用列举法表示下列集合．

（1）由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；

（2）由1～20的所有素数组成的集合．

解　

（1）满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}．

（2）设由1～20的所有素数组成的集合为C，

那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．

类型二　用描述法表示集合

例2　试用描述法表示下列集合．

（1）方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；

（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合．

考点　用描述法表示集合

题点　用描述法表示集合

解　

（1）设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．

（2）设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10<

x<

20.故用描述法表示为B＝{x∈Z|10<

20}．

引申探究　

用描述法表示函数y＝x2－2图像上所有的点组成的集合．

解　{（x，y）|y＝x2－2}．

反思与感悟　用描述法表示集合时应注意的四点

（1）写清楚该集合中元素的代号．

（2）说明该集合中元素的性质．

（3）所有描述的内容都可写在集合符号内．

（4）在描述法的一般形式{x∈I|p（x）}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p（x）”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略．

跟踪训练2　用描述法表示下列集合．

（1）方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；

（2）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．

解　

（1）方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为（x－2）2＋（y＋3）2＝0，解得x＝2，y＝－3.

所以方程的解集为{（x，y）|x＝2，y＝－3}．

（2）坐标轴上的点（x，y）的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{（x，y）|xy＝0}．

类型三　集合表示的综合应用

命题角度1　选择适当的方法表示集合

例3　用适当的方法表示下列集合．

（1）由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；

（2）抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；

（3）直线y＝x上去掉原点的点的集合．

考点　集合的表示综合

题点　用适当的方法表示集合

解　

（1）列举法：

{0,2,4}．或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}．

（2）列举法：

{（0,0），（2,0）}．

（3）描述法：

{（x，y）|y＝x，x≠0}．

反思与感悟　用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；

二要明确元素满足的条件；

三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．

跟踪训练3　若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________.

答案　{2000,2001,2004}

解析　由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，

所以x2∈{0,1,4}，x2＋2000的值为2000,2001,2004，所以B＝{2000,2001,2004}．

命题角度2　新定义的集合

例4　对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：

当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；

当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16}中的元素个数是（　　）

A．18B．17D．16D．15

题点　新定义题

答案　B

解析　因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×

16＝16,16×

1＝16，集合M中的元素是有序数对（a，b），所以集合M中的元素共有17个，故选B.

反思与感悟　命题者以考试说明中的某一知识点为依托，自行定义新概念、新公式、新运算和新法则，做题者应准确理解应用此定义，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求．

跟踪训练4　定义集合运算：

A※B＝{t|t＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A※B的所有元素之和为________．

答案　6

解析　由题意得t＝0,2,4，即A※B＝{0,2,4}，

又0＋2＋4＝6，故集合A※B的所有元素之和为6.

1．下面四个判断，正确的个数是（　　）

①0∈∅；

②{0}是空集；

③

是空集；

④{x2＋y＋1＝0}是空集．

A．0B．1C．2D．4

考点　空集的定义、性质及运算

题点　空集的定义

解析　只有③正确．

2．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图像的交点组成的集合是（　　）

A．{1，－2}B．{x＝1，y＝－2}

C．{（－2,1）}D．{（1，－2）}

答案　D

3．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为（　　）

A．{1,1}B．{1}

C．{x＝1}D．{x2－2x＋1＝0}

题点　用另一种方法表示集合

4．第一象限的点组成的集合可以表示为（　　）

A．{（x，y）|xy>

0}

B．{（x，y）|xy≥0}

C．{（x，y）|x>

0且y>

D．{（x，y）|x>

0或y>

题点　用描述法表示与平面直角坐标系有关的集合

答案　C

5．下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是（　　）

A．{x|x＝4k－1，k∈Z}

B．{x|x＝2k－1，k∈Z}

C．{x|x＝2k＋1，k∈Z}

D．{x|x＝2k＋3，k∈Z}

题点　用描述法表示与奇数有关的整数集合

答案　A

1．在用列举法表示集合时应注意

（1）元素间用分隔号“，”．

（2）元素不重复．

（3）元素无顺序．

（4）列举法可表示有限集，也可以表示无限集．若元素个数比较少用列举法比较简单；

若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．

2．在用描述法表示集合时应注意

（1）弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数、还是有序实数对（点）、还是集合或其他形式．

（2）当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真（元素具有怎样的属性），而不能被表面的字母形式所迷惑.

一、选择题

1．下列集合中，是空集的是（　　）

A．{x|x2＋3＝3}

B．{（x，y）|y＝－x2，x，y∈R}

C．{x|－x2≥0}

D．{x|x2－x＋1＝0}

解析　{x|x2＋3＝3}＝{0}≠∅；

函数y＝－x2的图像上有无数多个点，

∴{（x，y）|y＝－x2，x，y∈R}为无限集；

{x|－x2≥0}＝{0}≠∅；

方程x2－x＋1＝0，判别式Δ＝1－4<

0，无解，

∴{x|x2－x＋1＝0}＝∅.

2．集合A＝{x∈Z|－2<

3}的元素个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

解析　因为A＝{x∈Z|－2<

3}，所以x的取值为－1，0,1,2.

3．集合{（x，y）|y＝2x－1}表示（　　）

A．方程y＝2x－1

B．点（x，y）

C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合

D．函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合

题点　用描述法表示与直角坐标系有关的集合

解析　集合{（x，y）|y＝2x－1}的代表元素是（x，y），x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.

4．已知x，y为非零实数，则集合M＝

为（　　）

A．{0,3}B．{1,3}

C．{－1,3}D．{1，－3}

解析　当x>

0，y>

0时，m＝3，

当x<

0，y<

0时，m＝－1－1＋1＝－1.

若x，y异号，不妨设x>

0，

则m＝1＋（－1）＋（－1）＝－1.

因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．

5．下列选项中，集合M，N相等的是（　　）

A．M＝{3,2}，N＝{2,3}

B．M＝{（3,2）}，N＝{（2,3）}

C．M＝{3,2}，N＝{（3,2）}

D．M＝{（x，y）|x＝3且y＝2}，N＝{（x，y）|x＝3或y＝2}

题点　集合的表示综合问题

解析　元素具有无序性，A正确；

点的横坐标、纵坐标是有序的，B选项两集合中的元素不同；

C选项中集合M中元素是两个数，N中元素是一个点，不相等；

D选项中集合M中元素是一个点（3,2），而N中元素是两条直线x＝3和y＝2上所有的点，不相等．

6．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的是（　　）

A.

B.

C.

D.

解析　对于x＝4s－3，当s依次取1,2,3,4,5时，

恰好对应的x的值为1,5,9,13,17.

7．已知集合A＝

，B＝

，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是（　　）

A．x1·

x2∈AB．x2·

x3∈B

C．x1＋x2∈BD．x1＋x2＋x3∈A

题点　用描述法表示与余数有关的整数集合

解析　∵集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，

∴x1，x2是奇数，x3是偶数，

∴x1＋x2＋x3为偶数，故D错误．

二、填空题

8．集合{x∈N|x2＋x－2＝0}用列举法可表示为________．

答案　{1}

解析　由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1.

又x∈N，∴x＝1.

9．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________．

答案　3

解析　根据x∈A，y∈A，x＋y∈A，知集合B＝{（1,1），（1,2），（2,1）}，有3个元素．

10．设集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}，P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，若a∈M，b∈P，c∈Q，则a＋b－c∈________.

题点　用描述法表示集合的综合问题

答案　M

解析　设a＝3k1，k1∈Z，

b＝3k2＋1，k2∈Z，

c＝3k3－1，k3∈Z，

则a＋b－c＝3k1＋3k2＋1＋3k3－1＝3（k1＋k2＋k3），

且k1＋k2＋k3∈Z，

∴a＋b－c∈M.

三、解答题

11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{（x，y）|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？

试说明理由．

解　集合A，B，C互不相等．理由如下：

集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；

集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．

集合C中代表的元素是（x，y），这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．

12．用适当的方法表示下列集合：

（1）大于2且小于5的有理数组成的集合；

（2）24的所有正因数组成的集合；

（3）平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合．

解　

（1）用描述法表示为{x|2<

5且x∈Q}．

（2）用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．

（3）在平面直角坐标系内，点（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，所以该集合用描述法表示为{（x，y）||y|＝|x|}．

13．设A表示集合{2,3，a2＋2a－3），B表示集合{|a＋3|,2}，若5∈A，且5∉B，求实数a的值．

解　∵5∈A，且5∉B，∴

即

　解得a＝－4.

四、探究与拓展

14．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝

，k＝0,1,2,3,4，给出如下四个结论：

①2016∈[1]；

②－3∈[3]；

③若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]；

④若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”．

其中，正确结论的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析　由于[k]＝

，对于①，2016除以5等于403余1，∴2016∈[1]，∴①正确；

对于②，－3＝－5＋2，被5除余2，∴②错误；

对于③，∵a，b是同一“类”，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，则a－b＝5（n1－n2）能被5整除，∴a－b∈[0]，

∴③正确；

对于④，若a－b∈[0]，则可设a－b＝5n，n∈Z，即a＝5n＋b，n∈Z，不妨令b＝5m＋k，m∈Z，k＝0,1,2,3,4，

则a＝5n＋5m＋k＝5（m＋n）＋k，m∈Z，n∈Z，

∴a，b属于同一“类”，∴④正确，

则正确的有①③④，共3个．

15．集合M的元素为自然数且满足：

如果x∈M，则8－x∈M.试回答下列问题：

（1）写出只有一个元素的集合M；

（2）写出元素个数为2的所有集合M；

（3）满足题设条件的集合M共多少个？

解　

（1）若集合M只有一个元素，则由题意可知x＝8－x，解得x＝4，即M＝{4}．

（2）当x＝0时，8－x＝8，此时M＝{0,8}；

当x＝1时，8－x＝7，此时M＝{1,7}；

当x＝2时，8－x＝6，此时M＝{2,6}；

当x＝3时，8－x＝5，此时M＝{3,5}，因此元素个数为2的所有集合M为{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}．

（3）综合

（1）

（2）可知，元素个数为1的集合M有1个；

元素个数为2的集合M有4个；

元素个数为3的集合M有4个；

元素个数为4的集合M有6个；

元素个数为5的集合M有6个；

元素个数为6的集合M有4个；

元素个数为7的集合M有4个；

元素个数为8的集合M有1个；

元素个数为9的集合M有1个．故满足条件的集合M共有31个．