中考数学压轴题精讲解读四Word文件下载.docx
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（1）求抛物线的解析式;
（2）点P是第二象限抛物线上的一个动点,连结EP,过点E作EP的垂线l,在l上截取线段EF,使EF=EP,且点F在第一象限,过点F作FM⊥x轴于点M,设点P的横坐标为t,线段FM的长为d,求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）;
（3）在
（2）的条件下,过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H,连结DH,点G为DH的中点,当直线PG经过AC的中点Q时,求点F的坐标.
图1备用图
请打开几何画板文件名“16哈尔滨27”,拖动点P运动,可以体验到,△PEK与△EFN保持全等.△ENH保持等腰直角三角形,PH与x轴始终平行.当PG经过点Q时,四边形PDQH是平行四边形.
1.第
（2）题,过点E构造以PE、EF为斜边的直角三角形,直角边与坐标轴平行,这样就得到了直角三角形全等,把直角边可以用t表示出来了.
2.第（3）题中的PH与x轴始终是平行的,而且点G是DH的中点,当PG经过点Q时,四边形PDQH是平行四边形.
例2 2016年上海市中考第25题
如图所示,梯形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°
AD=15,AB=16,BC=12.点E是边AB上的动点,点F是射线CD上一点,射线ED与射线AF交于点G,且∠AGE=∠DAB.
（1）求线段CD的长;
（2）如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形,求线段AE的长;
（3）当点F在边CD上（不与点C、D重合）,设AE=x,DF=y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.
请打开几何画板文件名“16上海25”,拖动点E在AB上运动,可以体验到,△AEG与△DEA保持相似,以AE为腰的等腰三角形AED存在两种情况.
1.因为△AEG∽△DEA,把讨论等腰三角形AEG转化为讨论等腰三角形DEA.
2.由△AEG∽△DEA,△AEG∽FDG,根据对应线段成比例,经过变形整理,可以得到y关于x的函数关系式.
例3 2017年上海市宝山区中考模拟第25题
如图,在△ABC中,∠ACB为直角,AB=10,∠A=30°
半径为1的动圆Q的圆心从点C出发,沿着CB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动,同时动点P从点B出发,沿着BA方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动,设运动时间为t秒（0<
t≤5）,以P为圆心、PB为半径的☉P与AB、BC的另一个交点分别为E、D,连结ED、EQ.
（1）判断并证明ED与BC的位置关系,并求当点Q与点D重合时t的值;
（2）当☉P和AC相交时,设CQ为x,☉P被AC截得的弦长为y,求y关于x的函数解析式,并求当☉Q过点B时☉P被AC截得的弦长;
（3）若☉P与☉Q相交,写出t的取值范围.
请打开几何画板文件名“17宝山25”,拖动点Q由C向B运动,可以体验到,☉P与☉Q的位置关系依次为外离、外切和相交.
1.第
（1）题中Q、D重合时,根据CQ+BD=BC列关于t的方程.
2.第
（2）题中☉Q过点B时,CQ=5-1=4.
3.第（3）题中求☉P与☉Q相交,先求临界位置——外切时t的值.
例4 2017年上海市奉贤区中考模拟第25题
如图1,线段AB=4,以AB为直径作半圆O,点C为弧AB的中点,点P为直径AB上一点,连结PC,过点C作CD∥AB,且CD=PC,过点D作DE∥PC,交射线PB于点E,PD与CE相交于点Q.
（1）若点P与点A重合,求BE的长;
（2）设PC=x,
=y,当点P在线段AO上时,求y关于x的函数关系式及定义域;
（3）当点Q在半圆O上时,求PC的长.
请打开几何画板文件名“17奉贤25”,拖动点P在AO上运动,可以体验到,PD与CE的比就是菱形的对角线的比,可以转化为PQ与EQ的比,进而转化为∠PEQ的正切值.拖动点P在OB上运动,可以体验到,当点Q落在圆上时,点Q到AB的距离等于圆的半径的一半.
1.四边形PCDE是菱形,对角线互相垂直平分.
2.第
（2）题根据∠PEQ和∠CEO是同一个角,用正切值得到关系式.
3.第（3）题画图的步骤是:
点Q在OC的中垂线与圆的交点处,延长CQ交AB的延长线于点E,过点Q作CE的垂线得到点P、D.
例5 2017年上海市虹口区中考模拟第25题
如图,在△ABC中,AB=AC=5,cosB=
点P为边BC上一动点,过点P作射线PE交射线BA于点D,∠BPD=∠BAC.以点P为圆心,PC长为半径作☉P交射线PD于点E,连结CE,设BD=x,CE=y.
（1）当☉P与AB相切时,求☉P的半径;
（2）当点D在BA的延长线上时,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
（3）如果☉O与☉P相交于点C、E,且☉O经过点B,当OP=
时,求AD的长.
请打开几何画板文件名“17虹口25”,拖动点P运动,可以体验到,△BPD与△BAC保持相似,PN与BD保持平行.观察度量值,可以体验到,OP=1.25存在两种情况.
1.作☉P的弦CE对应的弦心距PN,把图形中与∠B相等的角都标记出来.
2.第（3）题中圆O经过B、C、E三点,事实上OP与BD是平行的.
例6 2017年上海市嘉定区中考模拟第25题
已知AB=8,☉O经过点A、B,以AB为一边画平行四边形ABCD,另一边CD经过点O（如图1）.以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段OC于点E（点E不与点O、点C重合）.
（1）求证:
OD=OE;
（2）如果☉O的半径长为5（如图2）,设OD=x,BC=y,求y与x的函数解析式,并写出它的定义域;
（3）如果☉O的半径长为5,连结AC,当BE⊥AC时,求OD的长.
图1图2备用图
请打开几何画板文件名“17嘉定25”,拖动点D运动,可以体验到,四边形ABED保持等腰梯形的形状,△BCE保持等腰三角形的形状,垂足H的位置保持不变,MH的位置保持不变.双击按钮“AC⊥BE”,可以体验到,点C恰好落在圆上,MH等于EC与AB和的一半.
1.根据等腰梯形是轴对称图形,很容易知道点O是DE的中点.
2.第
（2）题中,等腰三角形BCE的高BH为定值,先用x表示EC,再用勾股定理就可以表示BC了.
3.第（3）题如何利用BE⊥AC,常规的方法是过点C作BE的平行线得到直角三角形.
例7 2017年沈阳市中考第23题
如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O是坐标原点,点A的坐标是（6,0）,点B的坐标是（0,8）,点C的坐标是（-2
4）.点M、N分别为四边形OABC边上的动点,动点M从点O开始,以每秒1个单位长度的速度沿O—A—B路线向终点B匀速运动,动点N从点O开始,以每秒2个单位长度的速度沿O—C—B—A路线向终点A匀速运动.点M、N同时从点O出发,当其中一点到达终点后,另一点也随之停止运动.设动点运动的时间为t秒（t>
0）,△OMN的面积为S.
（1）填空:
AB的长度是 ,BC的长度是 ;
（2）当t=3时,求S的值;
（3）当3<
t<
6时,设点N的纵坐标为y,求y与t的函数关系式;
（4）若S=
请直接写出此时t的值.
请打开几何画板文件名“17沈阳23”,拖动时间轴上表示时间t的点运动,可以体验到,有三个时刻,△OMN的面积S等于9.6.还可以体验到,点N在CB上时,点N的纵坐标随t变化的图象是一条线段.
1.把四边形OABC的边长都标记出来.因为点M、N的位置不同,用t表示线段的长的代数式也不同.
2.第
（2）题的结果为第（4）题分类寻找点M、N的位置作了铺垫.
3.第（4）题需分三种情况,容易忽略点M、N相遇以后的情况.
4.第（4）题中当点M在OA上,点N在CB上时,△OMN的高就可以利用第（3）题的结论了.
由面积产生的函数关系问题
图形运动的过程中,求面积随某个量变化的函数关系,是中考数学的热点问题.
计算面积常见的有四种方法,一是规则图形的面积用面积公式;
二是不规则图形的面积通过割补进行计算;
三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比;
四是相似三角形的面积比等于相似比的平方.
前两种方法容易想到,但是灵活使用第三种和第四种方法,可以使得运算简单.
一般情况下,在求出面积S关于自变量x的函数关系后,会提出在什么情况下（x为何值时）,S取得最大值或最小值.
关于面积的最值问题,有许多经典的结论.
1.周长一定的矩形,当正方形时,面积最大.
2.面积一定的矩形,当正方形时,周长最小.
3.周长一定的正多边形,当边数越大时,面积越大,极限值是圆.
4.如图1,锐角△ABC的内接矩形DEFG的面积为y,AD=x,当点D是AB的中点时,面积y最大.
5.如图2,点P在直线AB上方的抛物线上一点,当点P位于AB的中点E的正上方时,△PAB的面积最大.
6.如图3,△ABC中,∠A和对边BC是确定的,当AB=AC时,△ABC的面积最大.
图1图2图3
例8 2016年淮安市中考第27题
如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=-
x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点,其中点A的坐标为（0,8）,点B的坐标为（-4,0）.
（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标;
（2）点D的坐标为（0,4）,点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点,连结CD、CF,以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF.设平行四边形CDEF的面积为S.
①求S的最大值;
②在点F的运动过程中,当点E落在该二次函数的图象上时,请直接写出此时S的值.
请打开几何画板文件名“16淮安27”,拖动点F在第一象限内的抛物线上运动,观察△CDF的面积随点F变化的函数图象,可以体验到,当点F的横坐标为3时,△CDF的面积最大;
当点F的横坐标为7时,点E落在抛物线上.
1.把点F的横坐标x设为自变量,用x表示△CDF的面积.
2.连结OF“割补”△CDF比较简便.
3.如果设点F的坐标为（m,n）,根据FE与CD平行且相等,通过坐标平移可以表示点E的坐标,再把点F、E的坐标分别代入抛物线的解析式,联立方程组求m的值.
例9 2016年吉林省中考第26题
如图1,在平面直角坐标系中,点B在x轴正半轴上,OB的长度为2m,以OB为边向上作等边三角形AOB,抛物线l:
y=ax2+bx+c经过O、A、B三点.
（1）当m=2时,a= ,当m=3时,a= ;
（2）根据
（1）中的结果,猜想a与m的关系,并证明你的结论;
（3）如图2,在
（1）的基础上,作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点,PQ的长度为2n,当△APQ为等腰直角三角形时,a与n的关系式为 ;
（4）利用
（2）、（3）中的结论,求△AOB与△APQ的面积比.
请打开几何画板文件名“16吉林26”,拖动点B运动,可以体验到,虽然△AOB和△APQ的形状保持不变,但是抛物线的二次项系数a在改变.观察m随a、n随a变化的图象,可以体验到,m、n都是a的反比例函数.
1.点A和点B的坐标可以用m表示,那么设抛物线的顶点式或交点式,可以用m表示抛物线的解析式.
2.点Q的坐标可以用m、n表示,代入抛物线的解析式可以得到m、n的关系.
例10 2017年金华市中考第24题
如图1,四边形OABC各顶点的坐标分别为O（0,0）,A（3,3
）,B（9,5
）,C（14,0）.动点P与Q同时从点O出发,运动时间为t秒,点P沿OC方向以1个单位/秒的速度向点C运动,点Q沿折线OA—AB—BC运动,在OA、AB、BC上运动的速度分别为3、
、
（单位长度/秒）.当P、Q中的一点到达点C时,两点同时停止运动.
（1）求AB所在直线的函数表达式;
（2）如图2,当点Q在AB上运动时,求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值;
（3）在P、Q的运动过程中,若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点,求相应的t的值.
请打开几何画板文件名“17金华24”,拖动点P运动,可以体验到,PQ的垂直平分线4次经过四边形OABC的顶点.
1.先求线段OA、AB、BC的长,把点Q在三条线段上的运动时间罗列出来.
2.直线OA、BC与x轴的夹角为60°
直线AB与x轴的夹角为30°
.
3.点Q在AB上时,AQ=速度×
时间=
（t-2）.
点Q在BC上时,BQ=速度×
（t-6）,CQ=
（10-t）.
例11 2017年黄冈市中考第24题
如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,OA=4,OC=3.动点P从点C出发,沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动;
同时,动点Q从点O出发,沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点P、Q的运动时间为t秒.
（1）当t=1秒时,求经过O、P、A三点的抛物线的解析式;
（2）当t=2秒时,求tan∠QPA的值;
（3）当线段PQ与线段AB相交于点M,且BM=2AM时,求t的值;
（4）连结CQ,当点P、Q在运动过程中,记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式.
请打开几何画板文件名“17黄冈24”,拖动点Q由点O向右运动,可以体验到,△CQP与矩形OABC重叠部分的形状依次是△CQP、四边形CQMB和△CBN.
1.第
（1）题:
设交点式比较简便,代入点P的坐标求二次项系数a就好了.
2.第
（2）题:
点P恰好与点B重合,∠QPA就在直角三角形中.
3.第（3）题:
根据“8字型”相似列方程,为第（4）题提供方法依据.
4.第（4）题:
分三种情况讨论.
例12 2017年绵阳市中考第25题
如图,已知△ABC中,∠C=90°
点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动,到达点B停止运动.在点M的运动过程中,过点M作直线MN交AC于点N,且保持∠NMC=45°
再过点N作AC的垂线交AB于点F,连结MF.将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF.已知AC=8cm,BC=4cm.设点M的运动时间为t（s）,△ENF与△ANF重叠部分的面积为y（cm2）.
（1）在点M的运动过程中,能否使得四边形MNEF为正方形?
如果能,求出相应的t值;
如果不能,说明理由;
（2）求y关于t的函数解析式及相应的t的取值范围;
（3）当y取得最大值时,求sin∠NEF的值.
请打开几何画板文件名“17绵阳25”,拖动点M运动,观察y随t变化的函数图象,可以体验到,当重叠部分的面积最大时,点E恰好落在AB的中点.
1.用含t的式子可以把线段CM、CN、BM、FN的长都表示出来.
2.△MNC和△MNE保持等腰直角三角形的形状,MN、EN、EM也可以用t表示.
3.当EN与AB交于点D时,可以用t表示出高DG.
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