上海市浦东新区2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(解析版).doc
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2015-2016学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）
1．数1与9的等差中项是______．
2．若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是______．
3．行列式中元素8的代数余子式的值为______．
4．若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量=______．
5．等差数列{an}中，a1=﹣1，a3=3，an=9，则n=______．
6．已知向量=（1，2），=（1+x，x），且⊥，则x的值为______．
7．已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为______．
8．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为______．
9．关于x的方程=0的解为______．
10．若无穷等比数列{an}的各项和为3，则首项a1的取值范围为______．
11．已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则•的取值范围是______．
12．定义=（n∈N*）为向量=（xn，yn）到向量=（xn+1，yn+1）的一个矩阵变换，设向量=（cosα，sinα），O为坐标原点，则||=______．
二、选择题（本大题满分12分，共4题，每题3分）
13．用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（ ）
A．1+a+a2 B．1+a+a2+a3 C．1+a D．1
14．下列命题正确的是（ ）
A．若（an•bn）=a≠0，则an≠0且bn≠0
B．若（an•bn）=0，则an=0或bn=0
C．若无穷数列{an}有极限，且它的前n项和为Sn，则=a1+a2+…+an
D．若无穷数列{an}有极限，则an=an+1
15．如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（ ）
A．+=+ B．+=+ C．+=+ D．+=+
16．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若已知S6＜S7，S7＞S8，则下列叙述中正确的个数有（ ）
①S7是所有Sn（n∈N*）中的最大值；
②a7是所有an（n∈N*）中的最大值；
③公差d一定小于0；
④S9一定小于S6．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、解答题
17．已知，x，y的方程组．
（1）求D，Dx，Dy；
（2）当实数m为何值时方程组无解；
（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．
18．已知等比数列{an}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为Sn，且Tn=，求Tn的值．
19．已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．
（1）若∥，求的坐标；
（2）当•取最小值时，求cos∠APB的值．
20．已知无穷等数列{an}中，首项a1=1000，公比q=，数列{bn}满足bn=（lga1+lga2+…+lgan）．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和的最大值．
21．设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1=pSn+q（n∈N*，p，q为常数），a1=2，a2=1，a3=q﹣3p．
（1）求p，q的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）记集合M={n|λ≥，n∈N*}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．
2015-2016学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）
1．数1与9的等差中项是 5 ．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由等差中项的定义可得2a=1+9，解之可得．
【解答】解：
解：
设1与9两数的等差中项为a，
则可得2a=1+9，
解得a=5，
故答案为：
5．
2．若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是 ．
【考点】二元一次方程组的矩阵形式．
【分析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y，即可
【解答】解：
由二元线性方程组的增广矩阵为
可得到二元线性方程组的表达式
∴
故答案为
3．行列式中元素8的代数余子式的值为 ﹣1 ．
【考点】三阶矩阵．
【分析】由代数余子式的定义A12=﹣=﹣1即可求得答案．
【解答】解：
设A=，
元素8的代数余子式A12=﹣=﹣1；
故答案为：
﹣1．
4．若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量= （，）或（﹣，﹣） ．
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】利用平面向量坐标运算公式求解．
【解答】解：
∵向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，
∴=（3，6）﹣（﹣1，3）=（4，3），
∴向量的单位向量==±=±（，）．
故答案为：
（，）或（﹣，﹣）．
5．等差数列{an}中，a1=﹣1，a3=3，an=9，则n= 6 ．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】根据等差数列的通项公式先求出d，然后在利用等差数列的通项公式求解即可．
【解答】解：
等差数列{an}中，a1=﹣1，a3=3，
∴a3=﹣1+2d=3，
∴d=2，
∵an=9=﹣1+（n﹣1）×2，
解得n=6，
故答案为6．
6．已知向量=（1，2），=（1+x，x），且⊥，则x的值为 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由⊥，可得•=0，即可得出．
【解答】解：
∵⊥，
∴•=（1+x）+2x=1+3x=0，
解得x=，
故答案为：
﹣．
7．已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为 ﹣3 ．
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【分析】根据向量关系作出平面图形，由线段长度比值可得出答案．
【解答】解：
∵=﹣，∴P，P1，P2三点共线，且P2在线段P1P的反向延长线上，P2P1=P2P，
∴=﹣3，
故答案为：
﹣3．
8．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为 1320 ．
【考点】程序框图．
【分析】框图首先先给i赋值12，给s赋值1，然后判断判断框中的条件是否满足，满足则执行s=s×i，i=i﹣1，不满足则跳出循环输出s的值．
【解答】解：
框图首先给i赋值12，给s赋值1．
判断12≥10成立，执行s=1×12=12，i=12﹣1=11；
判断11≥10成立，执行s=12×11=132，i=11﹣1=10
判断10≥10成立，执行s=132×10=1320，i=10﹣1=9；
判断9≥10不成立，跳出循环，输出s的值为1320．
故答案为：
1320．
9．关于x的方程=0的解为 x=2或x=3 ．
【考点】三阶矩阵．
【分析】将行列式展开，整理得=x2﹣5x+6，由x2﹣5x+6=0，即可求得x的值．
【解答】解：
=1×2×9+x×4×1+1×3×x2﹣2×1×x2﹣1×9×x﹣1×3×4=x2﹣5x+6，
∴x2﹣5x+6=0，解得：
x=2或x=3，
故答案为：
x=2或x=3．
10．若无穷等比数列{an}的各项和为3，则首项a1的取值范围为 （0，3）∪（3，6） ．
【考点】数列的极限．
【分析】依题意知|q|＜1且q≠0，由Sn==3⇒q=1﹣∈（﹣1，1），从而可求得a1的取值范围．
【解答】解：
设等比数列的公比为q，
依题意知|q|＜1且q≠0，
∴Sn=，
∴Sn==3，
可得q=1﹣∈（﹣1，1），
即﹣1＜﹣1＜1且﹣1≠0，
解得0＜a1＜3或3＜a1＜6．
故答案为：
（0，3）∪（3，6）．
11．已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则•的取值范围是 [0，1] ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】如图所示，由数量积的意义可得：
当点M位于边AD时，•取得最小值；当点M位于边BC时，•取得最大值．即可得出．
【解答】解：
如图所示，
由数量积的意义可得：
当点M位于边AD时，•取得最小值0；
当点M位于边BC时，•取得最大值：
1．
∴•的取值范围是[0，1]．
故答案为：
[0，1]．
12．定义=（n∈N*）为向量=（xn，yn）到向量=（xn+1，yn+1）的一个矩阵变换，设向量=（cosα，sinα），O为坐标原点，则||= （）n﹣1 ．
【考点】几种特殊的矩阵变换．
【分析】由题意可知，分别求得||，代入求得=（cosx﹣sinx，cosx+sinx），及||，进而求得，，，及||，||，||，即可求得||=（）n﹣1．
【解答】解：
由=，
∴，
当n=1，=（cosα，sinα），||=cos2α+sin2α=1=（）0，
∴，
=（cosx﹣sinx，cosx+sinx），
||===（），
=2（﹣sinx，cosx），
||==2=（）2，
=2（﹣sinx﹣cosx，sinx﹣cosx），
||=2=2=（）3，
=4（﹣sinx，﹣cosx），
||=4=4=（）4，
…
∴||=（）n﹣1，
故答案为：
（）n﹣1．
二、选择题（本大题满分12分，共4题，每题3分）
13．用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（ ）
A．1+a+a2 B．1+a+a2+a3 C．1+a D．1
【考点】数学归纳法．
【分析】在验证n=1时，左端计算所得的项．只需把n=1代入等式左边即可得到答案．
【解答】解：
用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=”，
在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．
故选：
A．
14．下列命题正确的是（ ）
A．若（an•bn）=a≠0，则an≠0且bn≠0
B．若（an•bn）=0，则an=0或bn=0
C．若无穷数列{an}有极限，且它的前n项和为Sn，则=a1+a2+…+an
D．若无穷数列{an}有极限，则an=an+1
【考点】数列的极限．
【分析】对于A，可举an=n，bn=，由数列极限的公式即可判断；对于B，可举an=n，bn=，运用数列极限的公式即可判断；对于C，可举an=（）n﹣1，Sn=，求出极限即可判断；对于D，可举an=，求出极限，结合n，n+1趋向于无穷，即可判断．
【解答】解：
对于A，若（an•bn）=a≠0，可举an=n，bn=，
即有an不存在，=0，故A错；
对于B，若（an•bn）=0，可举an=n，bn=，则an不存在，bn=0，故B错；
对于C，若无穷数列{an}有极限，且它的前n项和为Sn，可举an=（）n﹣1，Sn=，
即有an=0，Sn=2，显然=a1+a2+…+an不成立，故C错；
对于D，若无穷数列{an}有极限，可举an=，=0，显然=0，故D正确．
故选：
D．
15．如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（ ）
A．+=+ B．+=+ C．+=+ D．+=+
【考点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．
【分析】用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证．
【解答】解：
∵=，，∴，∴．
故选：
B．
16．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若已知S6＜S7，S7＞S8，则下列叙述中正确的个数有（ ）
①S7是所有Sn（n∈N*）中的最大值；
②a7是所有an（n∈N*）中的最大值；
③公差d一定小于0；
④S9一定小于S6．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】数列的函数特性．
【分析】利用等差数列的性质求解．
【解答】解：
∵a7＞0，a8＜0，∴S7最大，故①正确；
∵d＜0
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