现代控制理论大作业倒立摆.docx

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现代控制理论大作业倒立摆

现代控制理论-大作业-倒立摆

摘要

倒立摆系统是一个复杂的、高度非线性的、不稳定的高阶系统，是学习和研究现代控制理论最合适的实验装置。

倒立摆的控制是控制理论应用的一个典型范例，一个稳定的倒立摆系统对于证实状态空间理论的实用性是非常有用的。

本文主要研究的是二级倒立摆的极点配置方法，首先用Lagrange方程建立了二级倒立摆的数学模型，然后对二级倒立摆系统的稳定性进行了分析和研究，并给出了系统能控能观性的判别。

基于现代控制理论中的极点配置理论，根据超调量和调整时间来配置极点，求出反馈矩阵并利用Simulink对其进行仿真，得到二级倒立摆的变化曲线，实现了对闭环系统的稳定控制。

关键词：

二级倒立摆；极点配置；Simulink

图2.1系统结构和工作原理图

2.3拉格朗日运动方程

拉格朗日提出了用能量的方法推导物理系统的数学模型，首先我们引入广义坐标，拉格朗日方程。

广义坐标：

系统的广义坐标是描述系统运动必需的一组独立坐标，广义坐标数等同于系统自由度数。

如果系统的运动用n维广义坐标q1,q2,…qn来表示，我们可以把这n维广义坐标看成是n维空间的n位坐标系中的坐标。

对于任一系统可由n维空间中的一点来表征。

系统在n维空间中运动形成的若干系统点连成一条曲线，此曲线表示系统点的轨迹。

拉格朗日方程：

（2.1）

式中，——拉格朗日算子，

——系统的广义坐标，

——系统的动能，

——系统的势能。

拉格朗日方程由广义坐标和表示为:

（2.2）

式中，，——系统沿该广义坐标方向上的外力，在本系统中，设系统的三个广义坐标分别是。

2.4推导建立数学模型

在推导数学模型之前，我们需要几点必要的假设：

1.上摆、下摆及小车均是刚体；

2.皮带轮与传动带之间无相对滑动；传动皮带无伸长现象；

3.小车运动时所受的摩擦力正比于小车的速度；

4.小车的驱动力与直流放大器的输入成正比，且无滞后，忽略电机电枢绕组中的电感；

5.下摆转动时所受到的摩擦力矩正比于下摆的转动速度；

6.上摆运动时所受到的摩擦力矩正比于上摆对下摆的相对角速度；

二级倒立摆的运动分析示意图如图2.2

图2.2二级倒立摆运动分析示意图

倒立摆系统参数如下：

小车系统的等效质量M=1.32Kg

摆杆1质量=0.04Kg摆杆1转动中心到杆质心距离=0.09m

摆杆2质量m2=0.132Kg摆杆2转动中心到杆质心距离l2=0.27m

质量块质量=0.208Kg作用在系统上的外力F

摆杆1与垂直向上方向的夹角摆杆2与垂直向上方向的夹角

首先，计算系统的动能：

（2.3）

小车动能：

（2.4）

摆杆1动能：

（2.5）

式中，--摆杆1质心平东动能

--摆杆1绕质心转动动能

（2.6）

（2.7）

则

（2.8）

摆杆2动能：

（2.9）

式中，--摆杆1质心平东动能

--摆杆1绕质心转动动能

（2.10）

（2.11）

（2.12）

质量块动能：

（2.13）

因此，可以得到系统总动能：

（2.14）

系统的势能为：

（2.15）

至此得到拉格朗日算子：

（2.16）

由于因为在广义坐标上均无外力作用，有以下等式成立：

（2.17）

（2.18）

展开（2.17）、（2.18）式，分别得到（2.19）、（2.20）式

（2.19）

（2.20）

将（2.19）、（2.20）式对求解代数方程，得到以下两式

（2.21）

（2.22）

表示成以下形式：

（2.23）

（2.24）

取平衡位置时各变量的初值为零，

（2.25）

将（2.23）式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令

（2.26）

（2.27）

（2.28）

（2.29）

（2.30）

（2.31）

（2.32）

得到线性化之后的公式

（2.33）

将在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令

（2.34）

（2.35）

（2.36）

（2.37）

（2.38）

（2.39）

（2.40）

得到

（2.41）

即:

（2.42）

（2.43）

现在得到了两个线性微分方程，由于我们采用加速度作为输入，因此还需加上一个方程:

（2.44）

取状态变量如下：

（2.45）

则状态空间方程如下：

（2.46）

将以下参数代入

求出各个值：

得到状态方程各个参数矩阵：

3二级倒立摆系统性能分析

3.1稳定性分析

二级倒立摆的特征方程为:

（3.1）

Matlab中，用函数eig（A）来计算系统矩阵的特征值，经过计算，系统的特征值为：

（3.2）

开环系统有两个开环极点位于平面右半平面上，所以系统是不稳定的。

同时，根据前面的状态空间表达式，在matlab中，用step（A,B,C,D）函数对系统的阶跃响应进行分析：

图1开环系统单位阶跃响应

从上图可以看出，在阶跃响应的作用下，系统是发散的。

3.2能控性能观性分析

对于线形状态方程

（3.3）

其能控性矩阵为：

（3.4）

求的秩

（3.5）

所以系统是完全能控的。

其能观性矩阵为：

（3.6）

求的秩

（3.7）

所以系统是完全能观的。

（代码见附录）

由上述计算结果可知，二级倒立摆系统是开环不稳定系统，但它的状态是完全能控且完全能观测的。

因此，可以对其实现闭环最优控制。

4状态反馈极点配置

4.1二级倒立摆的最优极点配置1

在式3.3中，A为6*6阵；B为6*1阵；C为3*6阵。

是一个单输入系统，且完全能控、能观测。

因此，可按照最优控制系统的极点配置方法进行设计。

对于一般控制系统，闭环主导极点的选取应使。

但二级倒立摆是一个特殊的高阶系统，稳定性是主要矛盾，因此可适当增加，即适当降低响应速度，来弥补系统稳定性要求。

相应在选择性能指标时，应适当减小系统的超调量。

对于二阶倒立摆系统，主要针对如下两个主要的性能指标进行设计：

超调量：

调节时间：

（4.1）

（4.2）

这里，误差范围取为2%,将上述性能指标代入式4.1和式4.2得到二级倒立摆系统的2个性能指标满足，，取，

将得到的阻尼比与自然角频率代入下式：

（4.3）

得到二级倒立摆系统的2个主导极点为：

（4.4）

对于其他四个非主导极点，不妨设为四重极点，且距主导极点10倍以上，即满足下式：

（4.5）

所以，另外四个非主导极点取为：

到此，二级倒立摆的6个极点都已确定。

P=[-1.87+1.11j-1.87-1.11j-22-22-22-22]（4.6）

在matlab中输入K=acker（A,B,P）可求得:

K=

1.0e+03*

0.52810.4618-2.63790.5136-0.0797-0.4476

至此，完成了二级倒立摆控制器的设计。

接下来在matlab中仿真得到：

图2极点配置后单位阶跃响应1

4.2二级倒立摆最优极点配置2

在上述基础上，继续调整超调量和调整时间，使二级倒立摆达到稳定。

第二次取：

超调量：

调节时间：

这里，误差范围仍取为2%,代入式4.1和式4.2得到二级倒立摆系统的2个性能指标满足，，取，

将得到的阻尼比与自然角频率式4.3得到第二组主导极点：

（4.4）

对于其他四个非主导极点，不妨设为四重极点，且距主导极点10倍以上，即满足下式：

（4.5）

所以，另外四个非主导极点取为：

因此，第二组极点P2=[-1.73+1.81j-1.73-1.81j-30-30-30-30]

在matlab中输入K2=acker（A,B,P2）可求得:

K2=

1.0e+03*

2.42050.5209-7.49771.6587-0.2846-1.2008

接下来绘制极点配置后系统的单位阶跃响应图：

图3极点配置后单位阶跃响应2

5.二级倒立摆matlab仿真

5.1Simulink搭建开环系统

图4开环系统仿真图

5.2开环系统Simulink仿真结果

图5开环系统matlab仿真结果图

由上图可知，在Simulink中搭建的开环系统是发散的，与理论计算的结果吻合。

5.3Simulink搭建极点配置后的闭环系统

图6极点配置优化后的系统结构图

5.4极点配置Simulink仿真结果

5.4.1第一组极点配置仿真结果

图7极点配置优化后的结果图

图8小车位移曲线

图9一级倒立摆角度曲线

图10二级倒立摆角度曲线

从以上的图片可以看出，系统在给定输入的情况下，1秒左右恢复到平衡点的位置附近，系统较好的快速性、稳定性和精确性都非常理想，且无超调量，符合要求。

5.4.2第二组极点配置仿真结果

图11极点配置优化后的结果图

图12小车位移曲线

图13一级倒立摆角度曲线

图14二级倒立摆角度曲线

与第一组极点相比，超调量略有增加，但调整时间有所下降，且都达到稳定状态符合要求。

6.结论

倒立摆系统就其本身而言，是一个多变量、快速、严重非线性和绝对不稳定系统，必需采用有效的控制法使之稳定，对倒立摆系统的研究在理论上和方法论上均有着深远的意义。

本文借助拉格朗日方程，建立了二级倒立摆的数学模型，并通过线性化，得到了二级倒立摆系统的状态空间模型。

应用现代控制理论，分析了倒立摆的稳定性、能控性、能观性。

随后采用二次型最优控制理论研究了倒立摆控制问题,并且运用状态反馈极点配置的方法得到较好的控制效果。

最后进行了Matlab仿真，通过优化前后优化后的响应曲线可以看出经过极点配置算法优化后的系统响应的速度加快，超调量明显减少，稳定时间和上升时间有所减少，系统的动态性能和静态性能要比没有优化的控制效果好了很多。

7.参考文献

[1]刘豹唐万生现代控制理论（第三版）机械工业出版社

[2]夏德钤翁贻方自动控制理论（第4版）机械工业出版社

[3]李国勇程永强计算机仿真技术与CAD—基于matlab的控制系统（第三版）电子工业出版社

[4]基于LQR的二级倒立摆控制系统研究[本科毕业论文]

[5]汤唯基于直线二级倒立摆控制系统的研究[硕士学位论文]

[6]基于极点配置的倒立摆控制器设计[硕士学位论文]

附录一

%-------------------------阶跃响应下系统的稳定性------------------

A=[000100;000010;000001;000000;

077.0642-21.1927000;0-38.532137.8186000];

B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];

C=[100000;010000;001000];

D=[0;0;0];

step（A,B,C,D）%绘制阶跃响应

%---