小值为=1
综上，当QV±41时，m（t）=1;当它1时,m（i）=±—加t….（3分）
⑵卜⑺=/—<也+1让+1心,对于任意的工1,亚£（0r+8）.妨取工（<也则
#[一5P2<0T
则由以内）—M4）>】r可得他的）-Mg>V6一通，才1-1工
变形得h（*JVA｛亚）一物恒成立।…（5分）
令既H）=h（i）-t=1?
_（a+2）①+Iht,
则F（e）=x2—（a+2）工+/团「在（0,+oc）上单调递增.
故k⑺=2支-S+2）+工>0在（0,+OO）恒成立,…（7分）
X
二2『+」'（口+2）在M+8）恒成立X
-2x+1汽池,当且仅当里二业时取士[f<26-2；…。
0分）
x2
（3）\-——一工+-工加”
^-e（（kij,F\2t+le（l,2］,
3%（CMj使得a<"-成立.
z十1
令旧）=土二学则『㈤==IF'」'，…。
2分）
z+1+1J
令⑷=2/+3］一，口』一L,则由4=（1+1）（41——0=o可得意=:
或工=-I（舍）_工4
当上£（0.；）时Rcn：
则#=21；+:
如—加立一1在（0二）上单调递减；
44
当上€（1+x）时田>0则v=21+3i-，偌r—1在［；，+oc）上单调递增.
44
「总>，评4_g>o>n在/日o.I］上恒成立
「上⑷在（0.I；上单调递增一则”f⑴,即门WL…（15分）
实数a的最大值为L一<16分）
解析：
（1）求出原函数的导函数得到导函数的零点，分栏1和/<［讨论函数〃』）在区
间⑺上的单调」由由单调性求得最小值；
⑵由‘工>1,可得,，5）一耳<见词一g恒成立，构造函数
M］-X2
F（X）=fi（：
r）—;r=］"_（◎+2）X+尿t,可知F（j；）在（0,+oo）上单调递增T由其导函数
在（也+8）上大于等于0恒成立求得实数2的取值范围；
（3）把人工启仁幽变形，分离参数3然后构造口数“价=—产，利用导数求其最大值得答案.
1工（本小题满分16分）已知图数/（*）=#-1口基飘回=/-皿.
（1）求函数的最小信；
（2）若会<0」］,使得，（©之"图曳成立,求实数白的最大值多
X
⑶令加»=爪分一/ca4>1azlc^^友肛网巧》a*电）是由整i机电图象上任
意两息，目涓足.■）—取巧）>1:
求实戮鼻的限值范围.
玉一七
E解析】＜n因为所以./'（*）=i—工，上令/（力=0J得工=1.……1分
因为当工亡@1）时？
/3《0$当*七口+8＞时,八力》o『斯以，（力在1）上单调递胭，在。
，田）上单调遢增.2分
.所以当工二1时，FGO的最小值为L3分
（2）v/（x）＞———8I/,a（x+l）＜2x^-xlnx.
x
7Y】_v1«iV
vjte（O.l],ax+IeOJ],二五，（。
」]使得,«―一成立.x+1
入广、2x_-xlnxr〜、2x*+3x-Inx-1八
令改力二，则“工）==」6分
x+1（x+1）
令y=2/+3x—Inx—L则由y=£sa^lzP=o可得工=工或工=T（舍）x4
岂才三（01）时丁《0,则P二21+3x—1口工—1在（0二）上单调递减彳
44
当"wd二母）时?
＞。
则＞=2/+3工一诙,一1在二二yo）上单调逋增.
44
，事＞ln4—：
＞0|二{*}＞0在上£（0』上恒成立.二式刈在（QJ]上单调通熔一b
二,日上
（1）,即口mlg分
一国数口的最大值为L1Q分
⑶方出=尤：
-Q+l）x+加上对于任意的不用w（O=+cc）,不妨眼及，对
则不—巧＜0,贝」由甩巧）＞L可得以再）—凤巧）v巧—巧〉的一物
变形得力*qj-Kl＜械』）一/恒成立‘12分
发F⑴=低电一JC=/—/+?
）*+1口工m
则F（x）=/一g+2）x+lnx在（d+工）上里调谟增，
故F（x）=2x—白+2）+。
在（Q+凿）恒成立j14分
x
：
.2x+-＞[a+2）^（Q+#）恒成立x
1严
;2*+±之2道,当且仅当宣=号时取・二:
x2
二（7W2＞/2-2.16分
练习:
已知属数/（.V）=nix-alnA=—，其中mTa均为实数
e
（1）求烈工）的极值.
（2）设肌=1.E<0,若对任意的工］户，曰艮4］（七<々）//（七）-5,）卜
__仪巧）―）
恒成立，求口的最大值
（3）设口=2.若对寸飞2（0,矶在区间（0,白］上总存在外"式［尸r）使得
/。
1）=/6）=双人）成立，则朝的取值范围
答案详解
X
（-00.1）
1
（L-00）
，a）
+
0
—
g㈤
7
极大值
因为硝）=1，所以广西的极大值为L无极小值。
（2）当m=La<0®1»/（J）=i-flhfc7-LhWUL+x”
因为「任）三丁）。
卸闾恒成立,所以『⑴在居」止为增函数。
设力3=上L？
，因为玳工】=^—勺一">0在|3网恒成立，所以卜⑺在［3闾上为增函数口
设门>jp贝U〃TTS）kIJ7?
-/（t：
）-/（Ji）<卜的）一M工小即小力-川内）—力（3。
1虱nj0mp
IJ1
设叫打二/3/»（r）=j-（t：
n11」、则Mr）在［3.1J为抽团费上
所以5）=1!
JFK《暗以上恒成立.£ez2
所以|+—ft［3.4］上恒成立q
1,
设G）“产14/因为*上）=I一尸+k1T）=1n［g-才+'『乏区4
所以f-，|（1-！
产十d>务》】,所以/mm为碱函数中Lx14J4
所以r⑺在&J］上的最大值为岫二3-1九所以n?
3->，所以门的最小值为3-3一
JJm
⑶由⑴知小）在陋叽L的值场为M由/（r|-tux-2Inr-mpx€（0,+oc-）o
当山-（时，/（j）=Tin/在停用上为减的数।不合题意*
此时/⑺在01三）上递现在（三一3上递憎，所以/㈤“，即拉|三加--2-m31,解得仃0-Jemni£—1
由①£,♦1'导stt〉一--*F-】
因为1E也小所以/止）《力1）=。
成立，m
下证存在tw（o/］.使得，⑶线I*
取f=L,先证L稹<—,即怔昼叱一_mAO-.3）
—Xi则h»（©=2c隼—1>0^£［—1—^,+00）上?
怛^^工_立
所以"⑺在［—J.十X）上为增函数.所以山）#川（二1）:
如所以③成立,—1E一1
再证/L叫）》1c
因为/）—冲+iti>四r子———>11所以m3一■时,命题成卫•
e—1e—1
综上所述,m的取值范围为［二一,十X},1£-1
解析：
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）求出山上1比较其与°的大小，得到爪力的单调性表，于是得到#6的极值。
（2）将加=1代入到『㈤中，并求得当7［3川］时，此时r3〉。
恒成立，即/⑸在3M单调
h{t1=——-——
递增，同理可以得到'仪工）在⑶$1上为增函数，则原不等式可化为
加外一制小）<人知）一汕4）在国用上恒成立，令中}=/⑺一贴）,对其求导得知若为减函数时
其导数恒小于0,便可得到口的取值范围。
（3）若存在，为使得假设成立，也即〃句在位当上不是单调增或单调减，故而*°,对〃力
232
求导得到其极小值点为八嬴！
由于/⑻》】解得此时由金二！
，此时需证明当代他加L使
得/⑴》1即可，此时可取1二「二发现川）》］成立，故m的取值范围为〔二？
+“,。
题型2:
强零点问题
已知函数f（工）=/州）
。
）设注=。
是/①）的极值点.求m,并讨论/（*）的单调性
（2）当初92时，证明/（，）＞0
答案详解
（I）八"=『一=，由于三口是〃目的极值点得门0）・0,所以m三1。
于是
/㈤./一由Q+D,定义域为（T，+x）,nr｝=^_rh,函数门力=/一告在｛-L+x｝上单调递增，且广⑼三0。
因此，当（-1⑼时，门』）｛0；当cwg十笺）时，/但〉0。
所以，”h在（-LQ）上单调递减，在。
+乂）上单调递增。
（n）当mW2,时，M^+nO＜M^+3｝故只需要证明当m=2时，/H"。
。
当m=2时，函数,依）='.£还在（-0+M单调递增,
又嗯口-｛0｝＞。
故r㈤■（）在（一室+b｝有唯一实根硼且到1T叽当.『w（-2』｝时，
「⑶＜o;当,「w⑶.+h］时，/任）＞。
；从而当t=工口时，/㈤取得最小值。
由r（%）三°得：
*—4+?
1M邮+2）■-痴，故""-"，必--+2+"—户"。
综上：
当mW'时，/⑶＞°。
解析：
本题主要考查函数的求导和函数的单调性的判断。
（I）先对函数/⑶求导，得导函数r®,由题门Q｝=。
，则可得m的值，当「⑷A。
时，『⑶单调递增，求得的*的取值范围即为单调增区间；当门用＜a时，八£，单调递减，求得的X的取值范围即为单调减区间。
（n）由分析知，只需证明当加=之时，共幻》。
，此时通过分析函数单调性，求得值＞口即可得证。
例题5:
函数/㈤=产-鼻1!
1T。
（I）讨论了10的导函数「任）零点的个数；
（n）证明：
当"0时，‘㈤”―记《。
答案详解
（I）f（力的定义域为@+g）,r⑺=2产（心。
）0当口《。
时，rq）>。
，r㈤没有零
点；当时，因为小单调递增，二单调递增，所以广㈤在海十刈单调递增。
又r㈤«1
当心满足且X工时，/悯故当口X时，r3存在唯一零点。
（n）由（I）,可设门封在也的唯一零点为小，当工w也知）时，r⑶<。
；当."即+乂）时，r任）>0。
故义力在（Q4/单调递减,在"1b+3单调递增，所以当t=e口时，/（力取得最人/吉曰爪/古斗\小工幼人一上■三。
nff（t0>=+2ajrn+«In|>2o-HaIn
小值，取小值为由于孙，所以为以口。
2
故当时，/⑺2十。
%。
解析：
本题主要考查导数的概念及其几何意义以及导数在函数研究中的应用。
（I）求导得出尸®的表达式，根据其表
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