特殊的平行四边形重难点题型.docx
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特殊的平行四边形重难点题型
特殊的平行四边形章末重难点题型汇编
【考点1菱形的性质】
【方法点拨】菱形具有平行四边形的一切性质;菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线都平分一组对角。
【分析】首先根据题意求出
D.28
AD的长度,然后利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出
后结合三角形的面积公式即可求出答案.
【答案】解:
•••四边形ABCD是菱形,
•••AC丄BD,AB=BC=CD=DA,
•••菱形ABCD的周长为24,
AD=AB=6,
•/AC+BD=16,
•AO+BO=8,
•AO2+BO2+2AO?
BO=64,
•/AO2+BO2=AB2,
•AO?
BO=14,
•菱形的面积=4X三角形AOD的面积=4X丄X14=28,
故选:
D.
【点睛】本题主要考查了菱形的性质,解题的关键是利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出AO?
BO的值.
【变式1-1】(2019春?
定远县期末)如图,菱形ABCD中,AC交BD于点O,DEBC于点E,连接OE,
【分析】根据直角三角形的斜边中线性质可得
0E=BE=OD,根据菱形性质可得/DBE=_ZABC=
2
65°,从而得到ZOEB度数,再依据ZOED=90°-ZOEB即可.
【答案】解:
•••四边形ABCD是菱形,ZBCD=50°,
•••O为BD中点,ZDBE=—ZABC=65°.
2
•/DE丄BC,
•••在Rt△BDE中,OE=BE=OD,
•ZOEB=ZOBE=65°.
•ZOED=90°—65°=25°
故选:
C.
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质,解决这类问题的方法是四边形转化
为三角形.
半,也等于BCXAH,即可得出AH的长度.
【答案】解:
•••四边形ABCD是菱形,
BC=5,
二S菱形ABCD=—AC?
BD=二X6X8=24,
22
-■S菱形ABCD=BCXAH,
•••BCXAH=24,
【变式1-3】(2018秋?
巴南区期末)如图,菱形ABCD中,
的性质得到FG=FE,CG=CE,设BG=FG=EF=X,得到BF=:
x,根据△BFG的周长为4,列方程
【点睛】本题考查了菱形的性质,也涉及了勾股定理,要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法,及菱形的对角线互相垂直且平分.
D135,BECD于E,交AC于F,FGBC
X+X+-x=4,即可得到结论.
【答案】解:
•••菱形ABCD中,/D=135°,•••/BCD=45°,
•/BE丄CD于E,FG丄BC于G,
•△BFG与厶BEC是等腰直角三角形,
•••/GCF=/ECF,/CGF=/CEF=90°,
CF=CF,
•••△CGF◎△CEF(AAS),
•FG=FE,CG=CE,
设BG=FG=EF=X,
•-BF=.■:
X,
•••△BFG的周长为4,
•x+x+:
:
x=4,
二X=4-2二,
•••BE=2:
BC==4,
•菱形ABCD的面积=4X2■:
=8.:
■:
故选:
B.
【点睛】本题考查了菱形的性质,等腰三角形的性质,求FG的长是本题的关键.
【考点2矩形的性质】
【方法点拨】矩形具有平行四边形的一切性质;矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等。
40,
【例2】(2019春?
庐阳区期末)如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CEBD,连接AE,若ADB
CAD=
40°,可得/E度数.
A.20B.25C.30D.35
【分析】连接AC,由矩形性质可得/E=ZDAE、BD=AC=CE,知/E=ZCAE,而/ADB=Z
•••四边形ABCD是矩形,
•AD//BE,AC=BD,且/ADB=ZCAD=40
•••/E=ZDAE,
又•••BD=CE,
•CE=CA,
•/E=ZCAE,
•••/CAD=ZCAE+/DAE,
•/E+ZE=40°,即/E=20°.
故选:
A.
【点睛】本题主要考查矩形性质,熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键.
若AE23,则OD()
【变式2-1】(2019春?
黄冈期末)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点C,AE垂直平分BO,
D.6cm
【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB,由勾股定理求出OD即可.
【答案】解:
•••四边形ABCD是矩形,
•••OB=OD,OA=OC,AC=BD,
•••OA=OB,
•/AE垂直平分OB,
•AB=AO,
OA=AB=OB,
•••AE=2■:
cm,
•OE=2,
OD=OB=2OE=4;
故选:
C.
【点睛】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理;熟练
掌握矩形的性质,证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.
【变式2-2】(2019?
红河州二模)如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF//BC,分
别交AB,CD于E,F,连接PB,PD,若AE3,PF9,则图中阴影部分的面积为()
【答案】解:
作PM丄AD于M,交BC于N.
则有四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形,
二S^ADC=S^ABC,S^AMP=S^AEP,S^PBE=S^PBN,S^PFD=S^PDM,S^pfc=S^PCN,
S阴=13.5+13.5=27,
故选:
C.
【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识,解题的关键是证明SaPEB=SaPFD.
【变式2-3】(2019春?
侯马市期末)如图,矩形ABCD对角线AC、BD相交于点0,点P是AD边上的一
个动点,过点P分别作PEAC于点E,PFBD于点F,若AB3,BC4,贝UPEPF的值为(
)
AOP+S^DOP求得答案.
【答案】解:
连接op,
•••矩形ABCD的两边AB=3,BC=4,
•••PE+PF=茎=2.4.
5
故选:
d.
【点睛】此题考查了矩形的性质•此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应
用.
【考点3正方形的性质】
【方法点拨】正方形是最特殊的四边形,它具有矩形的性质,也具有菱形的性质。
【例3】(2019春?
蚌埠期末)如图,在正方形ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E,若
【分析】先证明△ABE◎△ADE,得到/ADE=ZABE=90°-25°=65°,在厶ADE中利用三角形内角和180°可求/AED度数.
【答案】解:
•••四边形ABCD是正方形,
•••/ABC=90°,BA=DA,/BAE=ZDAE=45°.
又AD=AD,
•△ABE◎△ADE(SAS).
•••/ADE=ZABE=90°-25°=65°.
•••/AED=180°-45°-65°=70°.
故选:
C.
【点睛】本题主要考查了正方形的性质,解决正方形中角的问题一般会涉及对角线平分对角成45°.
【变式3-1】(2019春?
诸暨市期末)已知:
如图,M是正方形ABCD内的一点,且MCMDAD,贝UAMB的度数为()
【分析】利用等边三角形和正方形的性质求得/ADM=30°,然后利用等腰三角形的性质求得/MAD的
度数,从而求得/BAM=ZABM的度数,利用三角形的内角和求得/AMB的度数.
【答案】解:
•••MC=MD=AD=CD,
•••△MDC是等边三角形,
•••/MDC=ZDMC=ZMCD=60°,
•••/ADC=ZBCD=90°,
•••/ADM=30°,
•••/MAD=ZAMD=75°,
•••/BAM=15°,
同理可得/ABM=15°,
•••/AMB=180°—15°—15°=150°,
故选:
D.
【点睛】本题考查了正方形的性质及等边三角形的性质,解题的关键是根据等腰三角形的性质求得有关
角的度数,难度不大.
【变式3-2】(2019春?
越城区期末)如图,在正方形ABCD中,AB3,点EF分别在CD,AD上,CEDF,BE,CF相交于点G•若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:
3,贝卩BCG的周长为()
A.7B.313C.8D.315
【分析】根据阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:
3,得出阴影部分的面积为6,空白部分
的面积为3,进而依据厶BCG的面积以及勾股定理,得出BG+CG的长,进而得出其周长.
【答案】解:
•••阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:
3,
•••阴影部分的面积为二X9=6,
3
•空白部分的面积为9-6=3,
由CE=DF,BC=CD,/BCE=ZCDF=90°,可得△BCE^ACDF,
•△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等,均为J-X3=旦,
22
/CBE=ZDCF,
•••/DCF+/BCG=90°,
•••/CBG+/BCG=90°,即/BGC=90°,
设BG=a,CG=b,则_ab=厶,
22
又•••a2+b2=32,
22
•-a+2ab+b=9+6=15,
即(a+b)2=15,
•a+b=届,即BG+CG=厢,
•△BCG的周长=.~+3,
故选:
D.
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题•解题时注意数形结
合思想与方程思想的应用.
【变式3-3】(2019春?
沧州期末)正方形ABCD的边长为2,在其的对角线AC上取一点E,使得AEAB,
以AE为边作正方形AEFG,如图所示,
若以B为原点建立平面直角坐标系,点A在y轴正半轴上,点C在
根据正方形对角线平分内角的性质可证明△AGH是等腰直角三角形,计算GH和BH
的长,可解答.
【答案】解:
过G作GH丄x轴于H,
V
•••四边形ABCD是正方形,
•••/BAC=45°,
•••四边形AEFG是正方形,AE=AB=2,
:
丄EAG=90°,AG=2,
.•./HAG=45°,
•••/AHG=90°,
••AH=GH=■'■,
•gr:
2+:
),
故选:
D.
【点睛】本题考查了正方形的性质,等腰直角三角形的性质和判定等知识,掌握等腰直角三角形各边的
关系是关键,理解坐标与图形性质.
【考点4菱形的判定