信号与系统实验报告4文档格式.docx
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条件的周期信号都可以分解成直流分量及许多正弦、余弦分量。
这些正弦、余弦分量的频率必定是基频f1
的整数倍。
通常把频率为f1的分量称为基波，频率为nf的分量称为n次谐波。
周期信号的频谱只会出现在0w2w3w4w…nw等离散的频率点上，这种频谱称为离散谱，是周期信号频谱的主要特点。
F（t）波形变化越剧烈，所包含的高频分量的比重就越大；
变化越平缓，所包含的低频分量的比重就越大。
一般来说，将周期信号分解得到的三角函数形式的傅里叶级数的项数是无限
的。
也就是说，通常只有无穷项的傅里叶级数才能与原函数精确相等。
但在实际
应用中，显然无法取至无穷多项，而只能采用有限项级数来逼近无穷项级数。
而
且，所取项数越多，有限项级数就越逼近原函数，原函数与有限项级数间的方均
误差就越小，而且低次谐波分量的系数不会因为所取项数的增加而变化。
当选取的傅里叶有限级数的项数越多，所合成的波形的峰起就越靠近f（t）的不连续点。
当所取得项数N很大时，该峰起值趋于一个常数，约等于总跳变值的9%，这种
现象称为吉布斯现象
3.主要仪器设备
（1）实验环境
Matlab软件环境
（2）主要用到的matlab函数
Plot：
给定相同长度的一维向量，画出以他们为横轴纵轴的平面图
Abs：
求绝对值
Stem：
散点图绘图函数
Stepfun：
阶跃函数
Max：
返回数组的最大值
Sawtooth：
三角波函数
二、实验操作部分
1.实验数据、表格及数据处理
2.实验操作过程（可用图表示）
3.实验结论
1.实验数据表格及数据处理
四个实验中得到的图展示如下
（1）周期对称方波信号的合成
分别用前1,2，5,100项傅立叶级数来合成方波信号时得到的图如下
（2）观察Gibbs现象
分别取前10、20、30和40项有限级数来逼近奇对称方波，观察Gibbs现
象时得到的图如下
（3）周期三角波的合成
每幅图中还画出了标准的方波信号作为比较
（4）绘制周期信号的频谱
分析奇对称方波信号与偶对称三角信号的频谱，编制程序后画出图像如下所示（左上坐下分别为周期三角波及其频谱，右上右下为周期方波及其频谱）
2.实验操作过程
（1）合成周期方波信号
方波既是一个奇对称信号，又是一个奇谐信号。
根据函数的对称性与傅
里叶系数的关系可知，它可以用无穷个奇次谐波分量的傅里叶级数来表示
选取奇对称周期方波的周期T=0.02s，幅度E=6，请采用有限项级数替代无限级数来逼近该函数。
分别取前1、2、5和100项有限级数来近似，编写程序并把结果显示在一幅图中，观察它们逼近方波的过程。
（2）观察Gibbs现象
象。
程序使用
（1）中提供的方法，将循环次数改为相应的值。
（3）合成周期三角波
偶对称周期三角信号可以用无穷个奇次谐波分量的傅里叶级数表示，我采用的三角波幅值为1，大小在0和1之间，周期同
（1）中的方波，为0.02s分别取前1、2、5和100项有限级数来近似，编写程序并把结果显示在一幅图中，观察它们逼近三角波的过程。
（5）绘制周期信号的频谱
分析奇对称方波信号与偶对称三角信号的频谱，并把它们画出。
由于matlab内置的fft函数算出的结果对于2个参数非常的敏感——采样频率以及数组的范围，而且fft计算的是有限范围的傅立叶级数，由于舍弃了有限范围以外的所有数据，所以得到的结果也必然不是准确的结果，所以我直接使用公式来计算各个频率点的幅值，然后把幅值画出来。
3.实验结论
1.周期方波可以由无限项傅里叶级数来合成，级数越多，合成的波形与原波形就越相似
2.如果波形某处出现了跳变，那么用有限多项级数来合成该波形时会出现一个峰起，这个值趋向于跳变值的9%
3.周期三角波波可以由无限项傅里叶级数来合成，级数越多，合成的波形与原波形就越相似，而且由于三角波没有跳变，所以不存在吉布斯现象
4.偶对称三角波是偶函数，其频率分量包括直流分量，以及奇数倍的余弦分量；
奇对称方波是奇函数，只有奇数项正弦分量。
三、实验效果分析（包括仪器设备等使用效果）
（1）在实验一中，我尝试用不同项数的傅立叶级数来合成方波，从四幅图中可以看出加入的傅立叶级数越多，其波形与方波的相似度就越高。
当我用前100项来合成时，已经非常逼近方波的波形了，由此我可以做出一个判断，当我加入的傅立叶级数有无穷多时，就可以得到标准的方波。
这样一个过程让我认识到时域的信号可以看做是频域信号的叠加，我们通过傅里叶变换可以把时域信号映射到频域上面去，或许有时候这样做可以使我们获取时域上得不到的信息。
（2）在实验二观察吉布斯现象中，我看到用不同的项数来合成方波时，在突变处会有峰起，这个值在不同的图中似乎都是占据着总幅值的一定比例，理论上这个峰起值为总跳变值的9%。
我对于这个峰起值的想法是这样的——我们用有限多项傅立叶级数来逼近波形时，虽然一步一步的在接近原波形，可是由于我们不可能取无限多项级数，我们总会漏掉一些频率项。
如果说我们的波形有突变，也就意味着这个地方包含了一些高频的因子，而这些高频因子我们不可能全部都包括进来，总会有遗漏，这些遗漏导致了我们合成的波形不能发生很完美的跳变，所以我们会看到这个9%的差距。
（3）在实验三中，我画出了标准的三角信号，从而与合成的信号作比较，我画出标准三角信号是采用了三角波函数sawtooth。
从四幅图可以看出，尽管取更多的级数时合成波形愈加的趋向于标准波形，可是还是有一些偏差的，特别是在拐角处。
虽然这个波形没有突变值，可是在拐角处我认为还是包含了一些高频分量的，而我们没有把所有的分量纳入合成波中，所以我认为这正是偏差的原因所在。
（4）实验四中观察频谱可以发现，偶对称三角波是偶函数，其频率分量包括直流分量，以及奇数倍的余弦分量。
没有正弦分量的原因是因为它是偶函数，而他没有偶数倍分量的原因是化简后可以看出当n为偶数时该项为0。
奇对称方波是奇函数，这导致他没有直流分量和余弦分量，而化简后可以看出当n为偶数时这一项也是等于0，所以他只有奇数项正弦分量。
另外，这两种波一个共同的特点是他们的前几项的频率分量都很大，集中了大部分的能量，我的图中只画出了前15项级数，因为再往后的话，他们的幅值就非常的小了。
（5）通过这次的实验，我最大的感觉是上学期在信号与系统课堂上学习的东西好像“活过来了”，上学期虽然知道时域的信号可以转换到频域上面去，但是却从没像今天这样真实的体会到这样的转换有什么用。
当我看到方波三角波在频域上的分布能量集中在几个频率点时，我觉得或许在信号传输的时候我们可以只传输这些频率的信号，一来可以节省信道，二来也不会丢失太多的信息。
四、教师评语
指导教师年月日
附件——matlab源文件
实验三
%周期三角信号的傅里叶级数
%author郑程耀
clearall;
clc;
t=0:
0.00001:
0.04;
period=0.02;
%周期
amplitude=1;
%振幅
AC_coe=（4*amplitude）/（pi^2）;
%交流分量的系数
DC_coe=amplitude/2;
%直流分量的系数
fre_w=（2*pi）/period;
%圆频率
p=[125100];
%t_z=0:
0.01:
t（end）;
%最简单的三角波
z=abs（sawtooth（t*（pi/period）,0.5））;
%
figure
forind_p=1:
length（p）
y=DC_coe;
fork=1:
p（ind_p）
y=y+DC_coe*cos（（2*k-1）*fre_w*t）/（2*k-1）^2;
end
subplot（2,2,ind_p）
plot（t,y）
holdon
plot（t,z,'
r'
）
axis（[0,0.04,-0.5,1.5]）;
xlabel（'
time'
）;
ylabel（strcat（'
前'
num2str（p（ind_p））,'
项有限级数'
））;
实验四
%直接用公式计算各频率分量的振幅，并将他们画出来
%周期三角信号，方波信号的傅里叶级数
%author：
郑程耀
N=15;
fre_n=1:
2:
2*N-1;
fre_n=[0fre_n];
amplitude_w=DC_coe;
length（fre_n）-1
amplitude_k=AC_coe/（2*k-1）^2;
amplitude_w=[amplitude_wamplitude_k];
subplot（223）
stem（fre_n,amplitude_w,'
*'
axis（[-5fre_n（end）0max（amplitude_w）*1.1]）
title（'
三角波频谱'
w'
ylabel（'
幅值'
%三角波波形
subplot（221）
三角波波形'
amplitude'
%周期方波信号傅里叶级数
amplitude=6;
AC_coe=2*amplitude/pi;
DC_coe=0;
amplitude_w=zeros（1,length（fre_n））;
amplitude_w
（1）=DC_coe;
amplitude_k=AC_coe/（2*k-1）;
amplitude_w（k+1）=amplitude_k;
subplot（224）
方波频谱'
%方波波形
subplot（222）
z_s=3*stepfun（t,0）-6*stepfun（t,0.01）+6*stepfun（t,0.02）-6*stepfun（t,0.03）+3*stepfun（t,0.04）;
plot（t,z_s）
方波波波形'
axis（[00.04-3.53.5]）
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