数字信号处理参考试题3.docx
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数字信号处理参考试题3
第三章离散傅里叶变换
1.如图P3-1所示，序列是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。
图P3-1
解：
由
计算求得,,
,
2.设，，试求，并作图表示，。
解：
由
计算求得,,
,
，如图P3-2所示。
图P3-2
3.设，令，，试求与的周期卷积并作图。
解：
在一个周期内的计算值
N
1
2
3
4
5
0
0
0
1
1
1
1
0
14
1
0
0
1
1
1
1
12
2
1
0
0
1
1
1
10
3
1
1
0
0
1
1
8
4
1
1
1
0
0
1
6
5
1
1
1
1
0
0
10
4.已知如图P3-4（a）所示，为｛1，1，3，2｝，试画出，，，，，等各序列。
解：
各序列如图P3-4（b）所示。
图P3-3
图P3-4（a）
图P3-4（b）
5.试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式）：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解：
（1）因为，所以
（2）因为，所以
（3）因为，所以
（4）因为，所以
所以
（5）由，则
根据第（4）小题的结论
则
所以
6.如图P3-6（a）画出了几个周期序列，这些序列可以表示成傅里叶级数
问：
（1）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的成为实数？
（2）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的）（除外）成为虚数？
（3）哪些序列能做到＝0，k=±2，±4，±6，…
图P3-6（a）
解：
（1）要使为实数，即要求
根据DFT的性质，应满足实部偶对称，虚部奇对称（以n=0为轴）。
又由图知，为实序列，虚部为零，故应满足偶对称
即是以n=0为对称轴的偶对称，可看出第二个序列满足这个条件。
如图P3-6（b）所示。
图P3-6（b）
（2）要使为虚数，即要求
根据DFT的性质，应满足实部奇对称，虚部偶对称（以n=0为轴）。
又已知为实序列，故
即在一个周期内，在一圆周上是以n=0为对称轴的奇对称，所以这三个序列都不满足这个条件。
（3）由于是8点周期序列，对于第一个序列有
当
对于第二个序列有
当
对于第三个序列有
根据序列移位性质可知
当
综上所得，第一，第三个序列满足
7.在图P3-7（a）中画了两个有限长序列，试画出它们的六点圆周卷积。
图P3-7（a）
解：
结果如图P3-7（b）所示。
图P3-7（b）
8.图P3-8（a）表示一个5点序列。
（1）试画出；
（2）试画出；
（4）试画出；
图P3-8（a）
解：
个小题的结果分别如图P3-8（b），P3-8（c）,，P3-8（d）所示。
图P3-8（b）
图P3-8（c）
图P3-8（d）
9.设有两个序列
各作15点的DFT，然后将两个DFT相乘，再求乘积的IDFT，设所得结果为，问的哪些点（用序号n表示）对应于应该得到的点。
解：
序列的点数为N1=6，y（n）的点数为N2=15，故的点数应为
又为与的15点的圆周卷积，即L=15。
所以，混叠点数为N-L=20-15=5。
即线性卷积以15为周期延拓形成圆周卷积序列时，一个周期内在n=0到n=4（=N-L-1）
这5点出发生混叠，即中只有n=5到n=14的点对应于应该得到的点。
10.已知两个有限长序列为
试作图表示，以及。
解：
结果如图P3-10所示。
图P3-10
11.已知是N点有限长序列，。
现将长度变成rN点的有限长序列
试求rN点DFT［y（n）］与X［k］的关系。
解：
由
可得
所以在一个周期内，的抽样点数是的r倍（的周期为Nr），相当于在的每两个值之间插入r-1个其他的数值（不一定为零），而当k为r的整数l倍时，与相等。
12.已知是N点的有限长序列，，现将的每两点之间补进r-1个零值点，得到一个rN点的有限长序列
试求rN点DFT［y（n）］与X［k］的关系。
解：
由
可得
而
所以是将（周期为N）延拓r次形成的，即周期为rN。
13.频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样，计算了512各抽样的DFT，试确定频谱抽样之间的频率间隔，并证明你的回答。
证明：
由
得
其中是以角频率为变量的频谱的周期，是频谱抽样之间的频谱间隔。
又
则
对于本题有
14.设由一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力≤10Hz，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms，试确定：
（1）最小记录长度；
（2）所允许处理的信号的最高频率；（3）在一定记录中的最好点数。
解：
（1）因为，而，所以
而最小记录长度为0.1s。
（2）因为，而
所以
即允许处理的信号的最高频率为5kHz。
（3），又因N必须为2的整数幂，所以一个记录中的最少点数为。
15.序列的共轭对称和共轭反对称分量分别为
，
长度为N的有限长序列（0≤n≤N-1）的圆周共轭对称和圆周共轭反对称分量分别定义如下：
（1）证明
（2）把看作长度为N的序列，一般说，不能从恢复，也不能从恢复。
试证明若把看作长度为N的序列，且n≥N/2时，则从可恢复，从可恢复。
证明
（1）
①方法一
由于只在的范围内有值，则有
n=0时
（a）时
所以
（b）n=0时，
则有
综上所述
同理可证
②方法二
（a）
因为
所以
⑴+⑵得
（b）由于
（4）+（5）得
（3）与（6）比较可知
同理可证
（2）利用
（1）的结果
1按照题意,当时，。
此时
，
所以当时，，，故
所以当时，。
2当时，按共轭对称有
且由
（1）的结论知
当时
所以
综上①、②可得
同理可证
16.令表示N点序列的N点离散傅里叶变换，
（1）证明如果满足关系式，则。
（2）证明当N为偶数时，如果，则。
证明
（1）因为
当时
可以求得
当k=0时
即
（2）依照
（1），当时，可得
当（N为偶数）时
由N为偶数，则有
所以
即
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