高一数学一元二次不等式解法练习题汇编.docx

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高一数学一元二次不等式解法练习题汇编

一元二次不等式

知识梳理

1．三个“二次”间的关系

判别式

Δ＝b2－4ac

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

（a＞0）的图象

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

（a＞0）的根

有两相异实根

x1，x2（x1＜x2）

有两相等实根

x1＝x2＝－

没有实

数根

ax2＋bx＋c＞0

（a＞0）的解集

R

ax2＋bx＋c＜0

（a＞0）的解集

{x|x1＜x＜x2}

∅

∅

解下列不等式

x2－5x＋4≤0x（x＋11）≥3（x＋1）2

（2x＋1）（x－3）＞3（x2＋2）|x2－3x|＞4

（x－3）（x＋2）（x－1）≥0

含参不等式

[]

例2解关于x的不等式（x－2）（ax－2）＞0

例3若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝________，b＝________．

例4关于x的不等式x2－2ax－8a2<0（a>0）的解集为（x1，x2），且x2－x1＝15，则a＝（　　）A.B.C.D.

练习

解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0（k∈R）．

解关于x的不等式：

ax2－2≥2x－ax（a∈R）．

.

考点三　不等式恒成立问题

【例3】设函数f（x）＝mx2－mx－1.

（1）若对于一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；

（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．

二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

知识梳理

1．二元一次不等式表示的平面区域

（1）一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．

（2）由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点（x，y），把它的坐标（x，y）代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点（x0，y0）作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．

2．线性规划相关概念

名称

意义

约束条件

目标函数中的变量所要满足的不等式组

线性约束条件

由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组

目标函数

欲求最大值或最小值的函数

线性目标函数

关于x，y的一次解析式

可行解

满足线性约束条件的解

可行域

所有可行解组成的集合

最优解

使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标

线性规划问题

在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题

自测

1．判断正误（在括号内打“√”或“×”）　

（1）不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．（）

（2）线性目标函数的最优解可能是不唯一的．（）

（3）线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．（）

（4）目标函数z＝ax＋by（b≠0）中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．（）

2．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是（　　）

A．（0，0）B．（－1，1）C．（－1，3）D．（2，－3）

3．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．无数个

4．（2014·天津卷）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为（　　）

A．2B．3C．4D．5

5．（2014·安徽卷）不等式组表示的平面区域的面积为________．

考点一　二元一次不等式（组）表示的平面区域

【例1】

（1）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（　　）

A.B．（0，1]

C.D．（0，1]∪

（2）若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是（　　）

A.B.

C.D.

【训练1】

（1）若函数y＝2x图象上存在点（x，y）满足约束条件则实数m的最大值为（　　）A.B．1C.D．2

（2）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（　　）

A．－5B．1C．2D．3

考点二　简单线性目标函数的最值问题

【例2】

（1）（2014·新课标全国Ⅱ卷）设x，y满足约束条件

则z＝x＋2y的最大值为（　　）

A．8B．7C．2D．1

（2）（2014·新课标全国Ⅰ卷）设x，y满足约束条件

（3）且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝（　　）

A．－5B．3

C．－5或3D．5或－3

【训练2】

（1）（2015·潍坊模拟）若x，y满足条件

当且仅当x＝y＝3时，z＝ax＋y取最大值，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－，）

B．（－∞，－）∪（，＋∞）

C．（－，）

D．（－∞，－）∪（，＋∞）

（2）（2014·湖南卷）若变量x，y满足约束条件

则z＝2x＋y的最大值为________．

考点三　实际生活中的线性规划问题

【例3】某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为（　　）

A．31200元B．36000元

C．36800元D．38400元

微型专题　非线性目标函数的最值问题

与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．常见代数式的几何意义：

（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；

（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；（3）表示点（x，y）到直线Ax＋By＋C＝0的距离；（4）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；（5）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．

但这些困难并非能够否定我们创业项目的可行性。

盖茨是由一个普通退学学生变成了世界首富，李嘉诚是由一个穷人变成了华人富豪第一人，他们的成功表述一个简单的道理：

如果你有能力，你可以从身无分文变成超级富豪；如果你无能，你也可以从超级富豪变成穷光蛋。

【例4】实数x，y满足

（1）若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；

（2）若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．

2003年，上海市人均GDP按户籍人口计算就达到46700元，是1995年的2.5倍；居民家庭人均月可支配收入为14867元，是1995年的2.1倍。

收入不断增加的同时，居民的消费支出也在增加。

2003年上海居民人均消费支出为11040元，其中服务性消费支出为3369元，是1995年的3.6倍。

培养动手能力□学一门手艺□打发时间□兴趣爱好□基础巩固题组

1．（2015·泰安模拟）不等式组所表示的平面区域的面积为（　　）

2、传统文化对大学生饰品消费的影响A．1B.C.D.

2．（2014·湖北卷）若变量x，y满足约束条件则2x＋y的最大值是（　　）

大学生的消费是多种多样，丰富多彩的。

除食品外，很大一部分开支都用于。

服饰，娱乐，小饰品等。

女生都比较偏爱小饰品之类的消费。

女生天性爱美，对小饰品爱不释手，因为饰品所展现的魅力，女人因饰品而妩媚动人，亮丽。

据美国商务部调查资料显示女人占据消费市场最大分额，随社会越发展，物质越丰富，女性的时尚美丽消费也越来越激烈。

因此也为饰品业创造了无限的商机。

据调查统计，有50%的同学曾经购买过DIY饰品，有90%的同学表示若在学校附近开设一家DIY手工艺制品，会去光顾。

我们认为：

我校区的女生就占了80%。

相信开饰品店也是个不错的创业方针。

A．2B．4C．7D．8

3．（2013·陕西卷）若点（x，y）位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为（　　）

A．－6B．－2C．0D．2

6、你购买DIY手工艺制品的目的有那些？

4．（2014·大连模拟）在平面直角坐标系xOy中，P为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线OP斜率的最大值为（　　）

（三）DIY手工艺品的“自助化”A．2B．1C.D.

5．（2015·济南模拟）已知变量x，y满足约束条件目标函数z＝x＋2y的最大值为10，则实数a的值为（　　）

A．2B.C．4D．8

2、消费者分析

图1-1大学生月生活费分布

5、就业机会和问题分析

能力提升题组

（建议用时：

25分钟）

11．（2014·福建卷）已知圆C：

（x－a）2＋（y－b）2＝1，平面区域Ω：

若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为（　　）

A．5B．29

C．37D．49

解析　由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界．∵圆C与x轴相切，∴b＝1.显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点（6，1）处时，amax＝6.∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37.故选C.

答案　C

12．已知实数x，y满足不等式组若目标函数z＝y－ax取得最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围为（　　）

A．（－∞，－1）B．（0，1）

C．[1，＋∞）D．（1，＋∞）

解析　作出不等式组对应的平面区域BCD，由z＝y－ax，得y＝ax＋z，要使目标函数y＝ax＋z仅在点（1，3）处取最大值，则只需直线y＝ax＋z仅在点B（1，3）处的截距最大，由图象可知a＞kBD，因为kBD＝1，所以a＞1，即a的取值范围是（1，＋∞）．

答案　D

13．（2013·广东卷）给定区域D：

令点集T＝{（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．

解析　线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为（0，1），最大值时点为（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0），点（0，1）与（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0）中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条，又（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0）都在直线x＋y＝4上，故T中的点共确定6条不同的直线．

答案　6

14．变量x，y满足

（1）设z＝，求z的最小值；

（2）设z＝x2＋y2，求z的取值范围；

（3）设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．

解　由约束条件作出（x，y）的可行域如图阴影部分所示．

由解得A.

由解得C（1，1）．

由解得B（5，2）．

（1）∵z＝＝.∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝.

（2）z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，

dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝.

故z的取值范围是[2，29]．

（3）z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝（x＋3）2＋（y－2）2的几何意义是可行域上的点到点（－3，2）的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到（－3，2）的距离中，dmin＝1－（－3）＝4，dmax＝＝8.

故z的取值范围是[16，64].