最新微分中值定理教案Word格式.docx
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定理1(Rolle)若函数«
SkipRecordIf...»
满足条件
(1)在闭区间«
上连续;
(2)在开区间«
内可导;
(3)«
。
则至少存在一点«
,使得«
几何意义:
在定理的条件下,区间«
内至少存在一点«
,使得曲线在点«
处具有水平切线。
二、拉格朗日中值定理
定理2(Lagrange)设函数«
满足条件:
则在«
,
使得
«
或写成«
上述公式称为拉格朗日中值公式,且对于«
也成立。
如果连续曲线«
上除端点外处处具有不垂直于«
轴的切线,则在曲线弧«
上至少存在一点«
,在该点处曲线的切线平行于弦«
(幻灯片1)
板书标题
(幻灯片2)
首先回顾前面所
学习的内容,然
后通过提问引入
新课的内容:
微
分中值定理的核
心内容---拉格
朗日(Lagrange)
中值定理。
(幻灯片3)
【本节重点】
板书定理内容
解释定理的条
件及结论,指出
定理条件的一
般性。
(幻灯片4为
Lagrange生平简
介。
)
(幻灯片5)
借助于多媒体,
图文并茂地解释
定理几何意义。
由拉格朗日定理的几何意义可以看出,当函数满足«
时,此时弦«
的斜率等于零。
即«
这便是罗尔定理的结论。
所以罗尔定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形。
即
Lagrange中值定理«
Rolle定理
证明分析:
若记«
,要证
(1)式,即证«
也就是是否存在«
,使函数
在«
处的导数为零?
即«
证明:
作辅助函数«
,«
容易验证«
在闭区间«
上连续,在开区间«
内可导,且
«
从而«
满足罗尔定理的条件,即至少存在一点
,使«
即
证毕。
(幻灯片6)
引导学生通过观
察图形的区别引
导学生思考拉格
朗日中值定理与
罗尔定理的关系
【本节难点】
板书分析证明的
思路
引导学生采用
逆向思维的方式
,从结论入手分
析得出需证明的
结论的条件。
(幻灯片7)
此定理的证明关
键是构造辅助函
数满足罗尔定理
条件,然后利用
罗尔定理的结论
证明。
此处提出问题让学生思考是否还有别的方法构造辅助函数满足条件,然后给出提示。
由拉格朗日中值定理还可以得出下面的推论:
推论设函数«
在开区间«
内可导,且
,则在«
内«
为常数。
,其中«
证:
任取«
,不妨设«
,在«
上应用定理2,得«
,其中
因为«
,所以
,从而«
由«
的任意性可知,«
三、定理的应用
例1证明«
设«
上
,由推论1可知
(常数)。
令«
,得
又«
,故所证等式在定义域«
上成立。
练习1:
证明«
设«
上,
(幻灯片8-9)
此处引导学生思考证明的思路与方法,然后由学生回答,最后教师总结完整证明过程。
(幻灯片10)
板书例题的详细证明过程。
此处应提醒学生
注意证明过程的
严谨性和完整
性。
(幻灯片11)
此处可以请一名学生回答,然后教师做点拨。
,由推论可知
得«
故所证等式在定义域«
例2证明不等式«
,则«
上满足拉格朗日中值定理条件,因此有
,又因为«
所以
练习2:
证明不等式
上满足拉格朗日中值定理的条件,因此有
,因为«
所以«
(幻灯片12)
板书证明的分析过程。
指出本题的关键是找出研究的对象——函数,注意观察不等式的特点,找出合适的函数,合理运用定理证明不等式。
(幻灯片13)
此处请一名学生上讲台做练习,然后巡视其他学生的答题情况,最后教师做总结。
例3设«
内可导,且«
,又对于«
内的所有点«
有«
,证明方程
内有唯一实根。
存在性
设«
则«
内可导,连续。
由零点定理知
内至少存在一个零点,即方程
内至少有一个实根。
唯一性(反证法)
假设方程«
内有两个实根«
则有«
对函数«
在
上应用拉格朗日中值定理,知存在«
,与题设«
矛盾,唯一性得证。
课堂小结:
一、拉格朗日中值定理(注意与罗尔定理的关系);
二、拉格朗日中值定理的推论;
三、拉格朗日中值定理的应用。
(证明恒等式、不等式以及方程根的存在情况等)
课后作业:
P96:
9、10、11
(1)、(3)、(4)、(6)。
(幻灯片14-16)
分析:
先证明存在
性,再证明唯一性
引导学生思考证明存在性可能需要用到的定理,而证明唯一性的一种常用方法就是反证法。
(幻灯片17-18)
课堂小结、布置作业