人教版八年级数学下册第16章《分式方程》教学设计.docx

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人教版八年级数学下册第16章《分式方程》教学设计

分式方程教学设计第一课时

课时安排

2课时

第一课时

教学设计思路

经历从实际问题中建立分式方程模型的过程，从分析分式方程的特点入手，引出解分式方程的基本思路。

通过解分式方程讨论得出分式方程验根的必要性。

通过例题巩固分式方程的解法，总结出解分式方程的步骤。

教学目标

知识与技能

1．通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义。

2．通过观察、思考，归纳分式方程的概念。

3．解分式方程的一般步骤。

4．说出解分式方程验根的必要性。

过程与方法

1．通过具体例子，独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤。

2．进一步体会数学思想中的“转化“思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径。

情感态度与价值观

1．养成自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度。

2．运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信心。

教学重点和难点

教学重点

1．解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解法。

2．明确解分式方程验根的必要性。

教学难点

明确解分式方程验根的必要性。

教学方法

启发引导、小组讨论、合作探究

教学媒体

课件

教学过程设计

（一）复习及引入新课

1．什么叫方程？

什么叫方程的解？

答：

含有未知数的等式叫做方程。

使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

2．在x=0，x=1，x=－1中，哪个是方程的解，为什么？

解：

（1）当x=0时，

左边=，

右边=0，

∴左边=右边，

∴x=0是方程的解。

（2）当x=1时，左式无意义，所以x=1不是方程的解。

（3）当x=－1时，左式≠右边，所以x=－1不是方程的解。

3．回到本章引言中的问题：

一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等。

江水的流速为多少？

设：

江水的流速为千米/时，则：

轮船顺流航行速度为千米/时，逆流航行速度为千米/时，顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用的时间为小时。

经过分析得到问题的量为两个分式：

、，

根据量间的关系列出方程：

思考

这个方程和我们以前所见过的方程有什么不同？

引出分式方程的概念。

（二）讲授新课，探索分式方程的解法

活动1

思考

1．分式方程的主要特点是什么？

2．通过分析分式方程的特点，找出与其他方程不同之处。

3．结合方程的特点，探索如何解分式方程？

教师提出问题，学生思考、讨论；师生共同得出结论：

分式方程的特征：

分母中含有未知数。

这是与前面我们学习的整式方程的最大区别点。

（整式方程的未知数不在分母中。

）

在探讨分式方程的解法时，可联系一元一次方程的解法。

如：

解方程

解：

去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得：

去括号，得：

移项，得：

合并同类项，得：

系数化为1，得：

由上述解法，我们自然会想到通过“去分母”实现把分式方程转化为整式方程。

“去分母”是将分式方程转化成整式方程的关键步骤。

解方程：

去分母，方程两边同时乘以各分母的最简公分母得

解得：

检验：

将代入原方程中，左边右边，因此是分式方程的解。

由此可知：

江水的流速为5千米/时。

归纳：

解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。

活动2

解方程：

教师出示例题，学生动手操作，思考，然后分组交流。

教师进行评价，提出质疑，然后进行说明强调。

解：

去分母，在方程两边同时乘以最简公分母，，得整式方程

解得：

。

师是原方程的解吗？

生将代入原分式方程检验，发现这时分母和的值都为0，相应的分式无意义，所以……。

师对，因此虽是整式方程的解，但不是原方程的解，实际上，这个分式方程无解。

活动3

思考：

在上面两个分式方程中，为什么①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？

学生思考，分母讨论，发表自己的见解。

通过讨论总结出问题的答案。

活动4

问题1：

在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根：

那么是不是就不要这样的解呢？

采用什么样的方法补救？

问题2：

怎么检验较简单呢？

还需要将整式方程的解分别代入原方程的左、右两边吗？

教师提出问题，学生讨论、回答。

问题1的解答：

还是要把分式方程转化为整式方程来解，解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解。

问题2的解答。

不用，产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的。

因此最简单的检验方法是：

把整式方程的解代入最简公分母。

若使最简公分母为零，则是原方程的增根，若使最简公分母不为零，则是原方程的解。

是增根，必舍去。

一般地，说明原方程无解。

归纳：

一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0。

因此应如下检验：

将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是增根，舍去。

活动5

例1解方程：

例2解方程：

教师出示例题，学生动手操作

教师强调：

去分母时，方程两边的每一项都要乘同一整式，不要漏乘某项。

归纳：

解分式方程的一般步骤如下：

（三）练习

练习：

教科书第35页练习

（四）小结

学习了哪些知识？

解分式方程的一般步骤是什么？

强调解分式方程的三个步骤：

（一去分母；二解整式方程；三检验）缺一不可。

其次使学生明白、体验“转化”思想。

（五）板书设计

分式方程

（一）

1．分式方程

特征：

分母中含未知数

2．分式方程的解法

（1）

（2）

例1：

例2：

3．解分式方程的一般步骤

（1）去分母

（2）解整式方程

（3）检验

4．练习

5．小结

分式方程教学设计第二课时

教学设计思路

本节是用分式方程解决实际问题，目的是深入感受分式方程的模型思想。

经历用分式方程解决实际问题的过程，寻求实际问题中的等量关系，寻找不同的解决问题的方法。

教学目标

知识与技能

1．用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题。

2．用分式方程来解决现实情境中的问题。

3．解一类含已知字母的分式方程。

过程与方法

1．经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力。

2．认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型。

3．会解一类字母方程，发展符号感。

情感态度与价值观

经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣；

教学重点和难点

教学重点

1．审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型；

2．根据实际意义检验解的合理性。

教学难点

寻求实际问题中的等量关系，寻找不同的解决问题的方法。

教学方法

启发引导、小组讨论、合作探究

教学媒体

课件

教学过程设计

（一）复习

1．分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2．分式方程的解法

（1）解分式方程的基本思想方法：

（2）解分式方程的一般方法和步骤：

一般解法是去分母，具体步骤如下：

①去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；

②解这个整式方程；

③验根：

把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去。

（二）讲授新课

上节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程。

接下来，我们就用分式方程来解决生活中的实际问题。

例3两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？

教师展示例题。

学生读题。

因为理解问题本身是解决问题的基础。

然后让学生思考、分析、讨论。

师生共析：

这是一道工程问题，有工作效率、工作时间和工作总量等三个等量，其关系是：

工作总量＝工作效率×工作时间。

这里把总工程量为1。

甲队1个月完成总工程的，设乙队如果单独施工1个月完成总工程的那么甲队半个月完成总工程的，乙队半个月完成总工程的。

两队半个月完成总工程的。

思考

问题中的哪个等量关系可以用来列方程？

找出等量关系，根据分析，列出分式方程，并求解。

补充

某单位将沿街的一部分房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元。

第二年为10.2万元。

（1）你能找出这一情境的等量关系吗?

（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？

（3）你能解决

（2）中提出的问题吗？

学生思考，交流，解出答案。

解

（1）等量关系：

第二年每间房屋的租金＝第一年第间房屋的租金+500元

第一年租出的房屋间数＝第二年租出的房屋间数。

（2）提出的问题如下：

①每年各有多少间房屋出租？

②这两年每年房屋的租金各是多少？

（3）①设每年各有间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为，第二年每间房屋的租金为元，根据题意，得

解这个方程，得

经检验是原方程的解，也符合题意，所以每年各有12间房屋出租。

②第一年每间房屋的租金为（元）

第二年每间房屋的租金为（元）

例4从2004年5月起某列车平均提速v千米/时，用同样的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？

这是一个行程问题，它有三个量：

路程、时间、速度。

结合它们之间的关系：

路程=速度×时间，及其题中的含义建立数学模型。

根据行驶时间的等量关系即可列出方程。

解略。

说明：

在本例中，出现了用一些字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现。

此例的方程是以x为未知数的分式方程，其中v、s是已知常数，根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数。

（三）练习

教科书37页的练习。

教师在本次活动中重点关注

（1）学生能否会解含字母的分式方程；

（2）学生能否找到能反映实际问题的数量关系，即：

等量关系；

（3）学生能否有条理地表达自己的思考过程；

（4）学生能否通过自我评价了解自己对知识的掌握程度。

（四）小结

本节课学习了哪些内容？

你有何收获？

列方程解应用题的关键是寻找等量关系。

（五）板书设计

分式方程

（二）

1．工程问题

例3工作总量＝工作效率×工作时间

2．行程问题

例4

（1）路程、时间、速度。

（2）字母v、s表示已知数据。

3．练习

4．小结

审请题意，找出等量关系