湖南省醴陵二中醴陵四中学年高二数学下学期期中联考试题理.docx
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湖南省醴陵二中醴陵四中学年高二数学下学期期中联考试题理
湖南省醴陵二中、醴陵四中2017-2018学年高二数学下学期期中联考试题理
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题：
（每小题5分，共计60分）
1、设是虚数单位,若,则复数（）
A．B．C．D．
2、下列推理正确的是（）
（A）把与类比，则有
（B）把与类比，则有
（C）把与类比，则有
（D）把与类比，则有
3、用反证法证明命题：
“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是（）
A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度
4、若大前提是：
任何实数的平方都大于0，小前提是：
，结论是：
，
那么这个演绎推理（）
A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．没有错误
5、在极坐标系中，直线被圆ρ＝4截得的弦长为（ ）
A.B.C.4D.5
6、,,则,的大小关系为（）
A．B．C．D．由的取值确定
7、,则（ ）
A.1B.2C.4D.8
8、设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
9、为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为，其中（），传输信息为，，，运算规则为：
，，，．例如原信息为，则传输信息为．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（）
（A）（B）（C）（D）
10、用数学归纳法证明“”时,由的假设证明时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为（）
A．B．
C．D．
11、平面几何中,有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值,类比上述命题,棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）
A．B．C．D．
12、曲线在点处的切线为,则由曲线、直线及轴围成的封闭图形的面积是（）．
A．B．C．1D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、已知复数，且有，则________．
14、已知x∈R＋，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为__________．
15、曲线的参数方程是，它的普通方程是．
16、如下面数表为一组等式：
某学生猜测,
若该学生回答正确,则．
三、解答题：
（共70分）
17、（本题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
（1）判断直线l与曲线C的位置关系;
（2）设M为曲线C上任意一点,求的取值范围.
18、（本题满分12分）在中，内角、、的对边分别为，且，
已知，
求：
（1）和的值；
（2）的值．
19、（本题满分12分）在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设.
（1）求的值；
（2）求三棱锥的体积．
20、（本题满分12分）已知{an}是公差为d的等差数列,∀n∈N*,an与an+1的等差中项为n.
（1）求a1与d的值;
（2）设bn=2n·an,求数列{bn}的前n项和Sn.
21、（本题满分12分）已知动点P到定点F（2,0）的距离和它到定直线x=4的距离的比值为.
（1）求动点P的轨迹Ω的方程;
（2）若过点F的直线与点P的轨迹Ω相交于M,N两点（M,N均在y轴右侧）,点A（0,2）,B（0,-2）,设A,B,M,N四点构成的四边形的面积为S,求S的取值范围.
22、（本题满分12分）已知函数）.
（1）讨论的单调性;
（2）若对任意恒成立,求实数a的取值范围（e为自然常数）;
答案
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题：
（每小题5分，共计60分）
1、设是虚数单位,若,则复数（C）
A．B．C．D．
2、下列推理正确的是（D）
（A）把与类比，则有
（B）把与类比，则有
（C）把与类比，则有
（D）把与类比，则有
3、用反证法证明命题：
“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是（B）
A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度
4、若大前提是：
任何实数的平方都大于0，小前提是：
，结论是：
，
那么这个演绎推理（A）
A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．没有错误
5、在极坐标系中，直线被圆ρ＝4截得的弦长为（ A ）
A.B.C.4D.5
6、,,则,的大小关系为（C）
A．B．C．D．由的取值确定
7、,则（ D ）
A.1B.2C.4D.8
8、设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（A）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
9、为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为，其中（），传输信息为，，，运算规则为：
，，，．例如原信息为，则传输信息为．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（C）
（A）（B）（C）（D）
10、用数学归纳法证明“”时,由的假设证明时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为（D）
A．B．
C．D．
11、平面几何中,有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值,类比上述命题,棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（B）
A．B．C．D．
12、曲线在点处的切线为,则由曲线、直线及轴围成的封闭图形的面积是（A）．
A．B．C．1D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、已知复数，且有，则________．
14、已知x∈R＋，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为__________．
15、曲线的参数方程是，它的普通方程是．
16、如下面数表为一组等式：
某学生猜测,
若该学生回答正确,则8．
三、解答题：
（共70分）
17、（本题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
（1）判断直线l与曲线C的位置关系;
（2）设M为曲线C上任意一点,求的取值范围.
解:
（1）由题意可得,直线l的普通方程为x-y+4=0,
曲线C的直角坐标系下的方程为=1,是以为圆心,1为半径的圆,该圆圆心到直线x-y+4=0的距离为d==5>1,
所以直线l与曲线C的位置关系为相离.5分
（2）由
（1）得曲线C的参数方程为（θ为参数）,
因为M为曲线上任意一点,故设M,
则x+y=cosθ+sinθ=sin∈[-].10分
18、（本题满分12分）在中，内角、、的对边分别为，且，
已知，
求：
（1）和的值；
（2）的值．
解：
（1）由·＝2得c·acosB＝2．又cosB＝，所以ac＝6．2分
由余弦定理得a2＋c2＝b2＋2accosB．
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13．
解，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2．5分
因为a>c，所以a＝3，c＝2．6分
（2）在△ABC中，sinB＝＝＝．
由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝．8分
因为a＝b>c，所以C为锐角，
因此cosC＝＝＝．10分
于是cos（B－C）＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝．12分
19、（本题满分12分）在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设.
（1）求的值；
（2）求三棱锥的体积．
解：
【解答】如图建立空间直角坐标系，则由题意得，
，
所以。
3分
设向量所成角为，则，或，
由于，所以，得，解得6分
（2）连接，则三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
的面积，的面积，（10分）
又平面，
所以，所以（12分）
20、（本题满分12分）已知{an}是公差为d的等差数列,∀n∈N*,an与an+1的等差中项为n.
（1）求a1与d的值;
（2）设bn=2n·an,求数列{bn}的前n项和Sn.
解:
（1）依题意,an=a1+（n-1）d.
（方法一）由an与an+1的等差中项为n得=n,
即=a1+d=n.所以解得a1=,d=1.5分
（方法二）由an与an+1的等差中项为n得,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2.
解得a1=,d=1.
（2）由
（1）得an=n-,bn=2n·an=n×2n-2n-1.7分
（方法一）记Tn=1×2+2×22+3×23+…+（n-1）×2n-1+n×2n,则
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+（n-1）×2n+n×2n+1.
两式相减得,Tn=-2-22-23-…-2n+n×2n+1=n×2n+1-2n+1+2.10分
数列的前n项和1+2+22+…+2n-1=2n-1.
∴Sn=（n×2n+1-2n+1+2）-（2n-1）=n×2n+1-3×2n+3.12分
（方法二）
Sn=（1×2-20）+（2×22-21）+（3×23-22）+…+[（n-1）×2n-1-2n-2]+（n×2n-2n-1）,
2Sn=（1×22-21）+（2×23-22）+（3×24-23）+…+[（n-1）×2n-2n-1]+（n×2n+1-2n）,两式相减得
Sn=-（1×2-20）-（1×22+1×23+…+1×2n）+（n×2n+1-2n）=n×2n+1-3×2n+3.
21、（本题满分12分）已知动点P到定点F（2,0）的距离和它到定直线x=4的距离的比值为.
（1）求动点P的轨迹Ω的方程;
（2）若过点F的直线与点P的轨迹Ω相交于M,N两点（M,N均在y轴右侧）,点A（0,2）,B（0,-2）,设A,B,M,N四点构成的四边形的面积为S,求S的取值范围.
解:
（1）设动点P（x,y）,则,化简得=1.4分
（2）由
（1）知,轨迹Ω是以F（2,0）为焦点,离心率为的椭圆,如图,连接OM,ON,设直线MN的方程为x=my+2,点M（x1,y1）,N（x2,y2）.
联立
消去x,得（m2+2）y2+4my-4=0,
则y1+y2=-,y1y2=-,6分
所以|y1-y2|==.
由于M,N均在y轴右侧,则x1>0,x2>0,且0≤|m|<1,
则S=S△OAM+S△OBN+S△OMN=×2（x1+x2）+×2|y1-y2|
=m（y1+y2）+4+|y1-y2|
=-+4+
=,8分
令t=,则1≤t<,则S=.
方法一:
S'=<0,10分
故面积函数S=在1≤t<上单调递减,所以S∈,
所以面积S的取值范围是.12分
方法二:
S===,
因为1≤t<,则t+,
所以（t+）+-2,则,
即S∈,
所以面积S的取值范围是.
22、（本题满分12分）已知函数f（x）=alnx-ax-3（a≠0）.
（1）讨论f（x）的单调性;
（2）若f（x）+（a+1）x+4-e≤0对任意x∈[e,e2]恒成立,求实数a的取值范围（e为自然常数）;
（1）解:
f'（x）=（x>0）,1分
当a>0时,f（x）的单调增区间为（0,1],单调减区间为[1,+∞）;3分
当a<0时,f（x）的单调增区间为[1,+∞）,单调减
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