闽粤赣三省十校届高三下学期联考数学理试题与答案全解析Word版试题与答案全解析.docx
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闽粤赣三省十校届高三下学期联考数学理试题与答案全解析Word版试题与答案全解析
2019届高三闽粤赣“三省十校”联考理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、单选题：
（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若复数，则在复平面上对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知集合，，则（）
A．B．C．D．
3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了年月至年月期间月接待游客量（单位：
万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（）
A．月接待游客逐月增加
B．年接待游客量逐年减少
C．各年的月接待游客量高峰期大致在月
D．各年月至月的月接待游客量相对于月至月，波动性较小，变化比较稳定
4．已知双曲线的左焦点在圆上，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
5．已知是的重心，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（）
A．B．C．D．
6．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：
“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：
五人各得几何？
”其意思为：
“有个人分个橘子，他们分得的橘子个数成公差为的等差数列，问人各得多少橘子．”根据这个问题，有下列个说法：
①得到橘子最多的人所得的橘子个数是；②得到橘子最少的人所得的橘子个数是；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数是．其中说法正确的个数是（）
A．B．C．D．
7．函数的图象大致是（）
ABCD
8．若，则的值为（）
A．B．C．D．
9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．
C．D．
10.已知中，角所对的边分别是，且，点在边上，且，，则（）
A．B．C．D．
11．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为两点，以线段为直径的圆过点，则圆的方程为（）
A．B．
C．D．
12．若函数的图象上存在两个点关于原点对称，则称点对为的“友情点对”，点对与可看作同一个“友情点对”，若函数恰好有两个“友情点对”，则实数的值为（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13—21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22—23题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题:
（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．已知向量,满足，，，则__________．
14．若的展开式中只有第项的系数最大，则该展开式中的常数项为________．
15．若平面区域是一个梯形，则实数的取值范围是.
16．在三棱锥中，，，侧面为正三角形，且顶点在底面上的射影落在的重心上，则该三棱锥的外接球的表面积为.
三、解答题：
（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，第22、23题为选考题）
17．（本小题满分12分）已知数列中，,,.设.
（1）证明：
数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项的和.
18.（本小题满分12分）如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，平面.
（1）求证：
；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
19.（本小题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明:
两点的横坐标之和为常数.
20．（本小题满分12分）当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．重庆年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、分钟跳绳三项测试，三项考试满分为分，其中立定跳远分，掷实心球分，分钟跳绳分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了名学生进行测试，得到频率分布直方图（如图），且规定计分规则如下表：
每分钟跳绳个数
得分
（1）现从样本的名学生中，任意选取人，求两人得分之和不大于分的概率；
（2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数服从正态分布，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差（各组数据用中点值代替）．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加个，现利用所得正态分布模型：
（ⅰ）预估全年级恰好有名学生时，正式测试每分钟跳个以上的人数；（结果
四舍五入到整数）
（ⅱ）若在全年级所有学生中任意选取人，记正式测试时每分钟跳个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望．
附：
若随机变量服从正态分布，则，，
21．（本小题满分12分）已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若且，求证：
.
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答
时请写清题号.
（22）（本小题满分10分）选修4－4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为，过点作直线的平行线，分别交曲线于两点.
（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；
（2）若成等比数列，求的值.
（23）（本小题满分10分）选修4－5:
不等式选讲
已知，且．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）证明：
．
2019届高三闽粤赣“三省十校”联考理科数学参考答案
1、选择题：
（每题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
D
B
C
A
D
B
A
A
C
2、填空题：
（每题5分，共20分）
13.14.15.16.
3、解答题：
（共70分）
17.
（1）证明：
因为，，
所以，
又因为，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.…………5分
（2）由
（1）知，
因为，
所以，
所以
.…………………………………………………12分
18.
（1）证明：
取的中点,连接.
∵是等边三角形，
∴.………………………………………1分
∵是等腰直角三角形，，
∴.…………………………………………2分
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面.…………………………………3分
∵平面,
∴.
∴四点共面.^………………………………4分
∵,,,
∴平面.………………………………5分
∵平面,
∴.………………………………………………………6分
（2）作,垂足为,则.
∵是等边三角形，,
∴.
在中,.………………7分
∵是等腰直角三角形，，
∴.
∴.…………………………………8分
如图,以点为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,
则,,,.
∴,,.
设平面的法向量为,
由,,得…………………………9分
令,得.
∴是平面的一个法向量.…………………………10分
设直线与平面所成角为,
则.…………………………11分
∴直线与平面所成角的正弦值为.………………………12分
19.
（1）因为椭圆经过点，所以；又因为，所以；又，解得，所以椭圆的方程为．……4分
（2）设三点坐标分别为,,，
设直线斜率分别为，则直线方程为，
由方程组消去，得
，
由根与系数关系可得，
故，
同理可得，
又，
故，
则，
从而.
即两点的横坐标之和为常数.………………………………12分
20.
（1）两人得分之和不大于分，即两人得分均为分，或两人中人分，人分，
………………（3分）
（2）…（5分）
又，所以正式测试时，，∴．
（ⅰ）∴，
∴．（人）………………（7分）
（ⅱ）由正态分布模型，全年级所有学生中任取人，每分钟跳绳个数以上的概率为，
即，∴,
∴的分布列为
………………（12分）
21.
（1）函数的定义域为，
，
①若时，则，在上单调递减；
②若时，当时，；
当时，；
当时，.
故在上，单调递减；在上，单调递増；…………5分
（2）若且，
欲证，
只需证，
即证.
设函数，则.
当时，.故函数在上单调递增.
所以.
设函数，则.
设函数，则.
当时，，
故存在，使得，
从而函数在上单调递增；在上单调递减.
当时，，当时，
故存在，使得，
即当时，，当时，
从而函数在上单调递增；在上单调递减.
因为，
故当时，
所以，
即.……………………………………12分
22．
（1）由,得.
得曲线的直角坐标方程为.
又直线的斜率为，且过点，故直线的直角坐标方程为.……4分
（2）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），
代入得
∴，
∵，，即
得，,由，得.……10分
23.
（1）设，
由，得．
故．
所以．
当时，，得；
当时，，解得，故；
当时，，解得，故；
综上．·········5分
（2）
.……10分
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