高中数学第一章立体几何初步141空间图形基本关系的认识142空间图形的公理一学案.docx

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高中数学第一章立体几何初步141空间图形基本关系的认识142空间图形的公理一学案

4.1　空间图形基本关系的认识

4.2　空间图形的公理

（一）

学习目标　1.理解空间中点、线、面的位置关系（重点）；2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念（重点）；3.掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题（重、难点）.

知识点一　点、线、面之间的位置关系

一些文字语言与数学符号的对应关系：

位置关系

图形表示

符号表示

点与直线的位置关系

点A在直线a外

A∉a

点B在直线a上

B∈a

点与平面的位置关系

点A在平面α内

A∈α

点B在平面α外

B∉α

直线与直线的位置关系

平行

a∥b

相交

a∩b＝O

异面

a与b异面

直线与平面的位置关系

线在面内

aα

线面相交

a∩α＝A

线面平行

a∥α

平面与平面的位置关系

面面平行

α∥β

面面相交

α∩β＝a

异面直线

不同在任何一个平面内的两条直线，叫作异面直线

【预习评价】

（1）若A∈a，aα，是否可以推出A∈α？

提示　根据直线在平面内定义可知，若A∈a，aα，则A∈α.

（2）长方体的一个顶点与12条棱和6个面分别有哪些位置关系？

提示　顶点与12条棱所在直线的关系是在棱上，或不在棱上；顶点和6个面的关系是在面内，或在面外.

（3）长方体的棱所在直线与面之间有几种位置关系？

提示　棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交.

知识点二　平面的基本性质及作用

公理

内容

图形

符号

作用

公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒lα

既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的

公理2

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面）

A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α，使A，B，C∈α

一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据

公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线

P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l

一是判断两个平面相交的依据；二是证明点共线问题的依据；三是证明线共点问题的依据

【预习评价】

（1）两个平面的交线可能是一条线段吗？

提示　不可能.由公理3知，两个平面的交线是一条直线.

（2）经过空间任意三点能确定一个平面吗？

提示　不一定.只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面.

题型一　三种语言间的相互转化

【例1】　用符号语言表示下列语句，并画出图形.

（1）三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；

（2）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.

解　

（1）符号语言表示：

α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图①.

（2）符号语言表示：

平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图②.

规律方法　

（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.

（2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.

【训练1】　如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.

解　在

（1）中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.

在

（2）中，α∩β＝l，aα，bβ，a∩l＝P，b∩l＝P.

题型二　空间点、线、面的位置关系

【例2】　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD相交于点M，则下列说法中正确的是（　　）

①点M在直线AC上，点B在直线A1B1外；②直线AC与BD相交，直线AC与A1D1相交；③平面AA1B1B与平面D1DCC1平行；④直线AC与平面A1B1C1D1相交；⑤直线BC与A1B1异面.

A.①③④B.①②⑤

C.①③⑤D.②③④⑤

解析　①中，点M是直线AC与BD的交点，点M在直线AC上，点B显然在直线A1B1外，故①正确；②中，直线AC与A1D1异面，故②错误；③中，两平面没有公共点，即互相平行，故③正确；④中，直线AC与平面A1B1C1D1平行，故④错误；⑤中，直线BC与A1B1既不平行也不相交，只能为异面，故⑤正确.

答案　C

规律方法　

（1）正确理解点、线、面之间的位置关系.

（2）异面直线是一种特殊的关系，它们不同在任何一个平面内.（3）通过观察图形，能够更准确地判断点、线、面的位置关系.

【训练2】　正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（　　）

A.3条B.4条

C.6条D.8条

解析　与AC1异面的棱是A1B1，DC，BC，A1D1，BB1，DD1.

答案　C

方向1　共面问题

【例3－1】　已知：

如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：

直线l1、l2、l3在同一平面内.

证明　方法一　（纳入平面法）

∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.

∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.

又∵l2α，∴B∈α.同理可证C∈α.

又∵B∈l3，C∈l3，∴l3α.

∴直线l1、l2、l3在同一平面内.

方法二　（辅助平面法）

∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.

∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.

∵A∈l2，l2α，∴A∈α.

∵A∈l2，l2β，∴A∈β.

同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.

∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内.

∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内.

方向2　点共线问题

【例3－2】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：

D、A、Q三点共线.

证明　∵MN∩EF＝Q，

∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，

又∵M∈直线CD，N∈直线AB，

CD平面ABCD，AB平面ABCD.

∴M、N∈平面ABCD，

∴MN平面ABCD，∴Q∈平面ABCD.

同理，可得EF平面ADD1A1，∴Q∈平面ADD1A1.

又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，

∴Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线.

方向3　线共点问题

【例3－3】　如图所示，在四面体A－BCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求证：

EF，GH，BD交于一点.

证明　∵E，G分别为BC，AB的中点，∴GE∥AC.

又∵DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，

∴FH∥AC，从而FH∥GE.

故E，F，H，G四点共面.

∵FH∥AC，DH∶DA＝2∶5，

∴FH∶AC＝2∶5，即FH＝AC.

又∵E，G分别为BC，AB的中点，

∴GE＝AC，∴FH≠GE，

∴四边形EFHG是一个梯形，

GH和EF交于一点，设为O.

∵O∈GH，GH平面ABD，O∈EF，EF平面BCD，

∴O在平面ABD内，又在平面BCD内，

∴O在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，

∴点O在直线BD上.

故EF，GH，BD交于一点.

规律方法　

（1）证明点、线共面问题：

一般先由部分点线确定一个平面，再证其他的点和线在所确定的平面内.

（2）证明点共线：

证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.

（3）证明三线共点：

证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.

课堂达标

1.在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是（　　）

A.黑板面B.乒乓球桌面

C.篮球的表面D.平静的水面

解析　平面的各部分都是“平”的，那么不能作为平面的部分只能是“曲”的，所以黑板面、乒乓球桌面和平静的水面均可作为平面的一部分，而篮球的表面是一个曲面，不能作为平面的一部分.

答案　C

2.若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α之间的关系可记为（　　）

A.M∈a，a∈αB.M∈a，aα

C.Ma，aαD.Ma，a∈α

解析　点与直线的关系为元素与集合的关系，能用“∈”，直线与平面的关系为集合间的关系，不能用“∈”.

答案　B

3.设平面α与平面β相交于l，直线aα，直线bβ，a∩b＝M，则M________l.

解析　因为a∩b＝M，aα，bβ，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.

答案　∈

4.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________.

解析　因为P∈AB，AB平面ABC，

所以P∈平面ABC.

又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，

所以P∈直线DE.

答案　P∈直线DE

5.已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：

a，b，c和l共面.

证明　如图，∵a∥b，

∴a与b确定一个平面α.

∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.

又∵A∈l，B∈l，∴lα.

∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理lβ.

∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，

由公理2的推论：

经过两条相交直线有且只有一个平面，

∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.

课堂小结

1.三个公理的作用：

公理1——判定直线在平面内的依据；

公理2——判定点共面、线共面的依据；

公理3——判定点共线、线共点的依据.

2.证明几点共线的方法：

先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点.或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上.

3.证明点线共面的方法：

先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点（或线）在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合.注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用.

4.证明几线共点的方法：

先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线.

基础过关

1.下列命题中正确的是（　　）

A.空间三点可以确定一个平面

B.三角形一定是平面图形

C.若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合

D.四条边都相等的四边形是平面图形

解析　共线的三点不能确定一个平面，故A错；两个平面有公共点，这两个平面可以是相交的，故C错；四边都相等的四边形可以是空间四边形.

答案　B

2.下列图形表示两个相交平面，其中，画法正确的是（　　）

解析　A中没有画出平面α与平面β的交线，也没有完全按照实、虚线的画法法则作图，故A不正确；B，C中交线的画法不对，且实、虚线的画法也不对，故B，C都不正确.

答案　D

3.如图，平面α∩β＝l，A∈α，B∈α，C∈β且C∉l，AB∩l＝R，设过A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ是（　　）

A.直线AC

B.直线BC

C.直线CR

D.以上都不对

解析　由C，R是平面β和γ的两个公共点，