最后常见的场Word格式.docx
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如果你要下面用格林公式的话
你这个闭曲线的它的方向
作为边界的方向
也就是沿着这个边界走区域在左侧
下面我们来介绍格林公式格林公式
D的边界呢是逐段光滑的正则曲线
它的正方向呢按照我们的规定
就是区域边界的正方向规定
XY作为二元函数在D的内部呢
是连续可微的也就是说X关于xy的偏导数
和Y关于xy的偏导数都是连续函数
在D的闭包上XY都是连续函数
那么就有格林公式
也就是说XY在D的边界上的第二类曲线积分
可以写成或者说等于Y对x偏导数
减去X对y偏导数所构成的新的一个二元函数
在D区域上的二重积分
好下面我们证明这个定理
我们来看一下
格林公式实际上是这么一个公式
它联系着两类积分
左边呢是关于边界上的第二类曲线积分
右边呢是一个二重积分
关于边界呢它的正方向
我们是有严格的规定
沿着边界正方向走
区域在左侧
在这个意义下来讲
格林公式是成立的
我们要证明这个格林公式呢
我们只对一种情况来证明
我们只证明
在D的正边界上走
X关于X的第二类曲线积分
可以写成D负的X对y的偏导数二重积分
也就是说格林公式里面
关于X的内容
同理我们也可以证明
格林公式里面关于Y这方面的等式
两个放在一块的话
就是一个完整的格林公式
我们对D呢做假设
D呢是这么一个区域
如果我们画一下图的话
D区域呢就是这么一个区域
这是D区域
xy这一点呢是A这一点呢是B
这一条线呢是y=y1（x>
这条线呢是y=y2（x>
这两条呢是垂线
那区域的方向是这么一个方向
朝上走然后呢过来再下来
逆时针为正方向
好那么我们来看看
一个二重积分在D的-X对y的偏导数dxdy
我们把这么一个二重积分转化成为二次积分
就可以把它写成x呢是从A点到B点dx
y呢正好是从y1（x>
到y2（x>
负的X对y的偏导数dy
那么你可以发现
我们做的第一个积分实际上是可以积出来的
因为X对y偏导数那么
它的原函数实际上就是X
所以呢就相当于从a点到b点dx
相当于-X（xy>
下限牛顿莱布尼茨公式
下限是y=y1（x>
上限呢是y=y2（x>
或者是我们把它带进去之后
我们可以发现从a到b的积分
那么这有一个负号
所以说上限是放在下面
下限放在上面
X这个函数X（xy1（x>
>
减去X（xy2（x>
的积分
这是我们知道的二重积分的计算
我们现在来看一下
在L的D的边界上X作为xy的函数dx第二类曲线积分
D的边界可以分为几段
我们把底下那段叫做L1
这段叫做L2这段叫做L3左边那段叫做L4
所以呢可以写成在L1+上的积分
加上在L2+的积分加上在L3+的积分加上在L4+的积分
方向呢就是我们图上所规定的那个方向
Xdx
在这四条曲线上的第二类曲线积分
其中有两条是值得注意的
就是L2和L4
在L2和L4的方程里面
L2的方程不就是x=b
所以dx它实际上是等于0的
所以L2上的第二类曲线积分和L4上的
实际上都是等于0的
剩下呢实际上就是等于L1+上的X（xy>
dx
加上L3+上的X（xy>
我们把这个用一下第二类曲线积分的计算
我们可以知道在L1这条曲线上
y不就等于y1（x>
而这时候
它的积分L1这条线你看
正好是x从a到b所以呢
实际上L1这条线就是从a到b
Xx,y呢就等于y1（x>
L3这条线我们知道L3呢
它的方程y是不就是y=y2（x>
我们把方程带进去
L3这条线
实际上它的积分方向对x来讲是从b到a的
所以呢实际上减去从a到b的积分
因为它实际上是从b到a
我们上下限颠倒一下
加一个负号就X（xy2x>
你会发现这两条
一定是就是相等的
完全是一样的
既然这两个相等
所以呢我们就可以知道
我们要证的格林公式里
关于X的等式是成立的
我们现在这种证明方法
只是仅限于这种简单区域上的证明
如果你要问更复杂的区域怎么办呢
就说我们画一个图
假如说一个区域比较复杂
那我们也知道
我们一个复杂的区域
我们是不是可以通过分割把它分割成两块
这一个呢叫做D1这个区域
这个呢叫做D2这个区域
而D1和D2这两个区域
都可以看做一个简单区域
这样的话我们就可以知道
在D的正边界上的积分
Xdx可以写成在D1的正边界上的积分
加上在D2正边界上的积分
这是我们已经讲过的
原来我们讲
这整个一个区域上的第二类曲线积分
可以写成两个小的闭路径上的第二类曲线积分
而我们已经知道
在D1上是一个简单区域
我们用一下定理我们可以知道
他是可以写成D1上的负的X对y的偏导数dxdy
在D2上呢我们也可以把它写成
再加上在D2这个区域负的X对y的偏导dxdy
那么我们从二重积分关于区域的可加性
我们可以知道
他就等于在D区域上负的X对y的偏导数dxdy
那么这也就告诉我们
我们现在要证的格林公式关于X的那个等式
不光是对这种简单的区域成立
只要是能分成有限个简单区域那种复杂区域
那么这个公式仍然是成立的
同样我们对Y
格林公式关于Y我们有类似的等式
那么这两个等式的和就合并成为一个格林公式
所以对于格林公式来讲
我们最后对区域的要求是什么东西呢
D是一个有界区域
D的边界呢是由逐段光滑正则曲线所构成的
那么这么一个区域里面格林公式通通是对的
格林公式本身的作用
他把一个边界上的第二类曲线积分
变成内部的二重积分
所以呢格林公式
给我们的计算一定会带来好处的
平面第二类曲线积分的计算：
利用GREEN公式
现在我们用格林公式
来算一下平面的第二类曲线积分
我们要算的是这么一个积分
在L+这个上面（1+yex>
dx+（x+ex>
dy
其中呢L+这条线呢
是这么一条线
是一个椭圆的上半椭圆
从A点到B点
x平方除以a方加上y平方除以b方等于1
它的y大于等于0部分
其中这个A点呢是<
a，0）
B点呢是<
-a，0）
我们可以用传统的办法来证来计算这道题
比如说我们把这个方程写成参数方程
很简单x呢等于acost
y呢等于bsint
这样写的话
这种参数方程也可以算
我没算过
我不知道最后的定积分
是不是能积的出来
我们现在要做的事情是用格林公式来算
那么用格林公式
是有这么几个要求
第一个函数要好
要是连续可微的函数
那么这个函数当然都是没有问题
函数没有问题
第二个这个边界是要是闭才行
从A点到B点沿着上半椭圆
这是一条开的曲线不是一条封闭曲线
那我们怎么样才能做到这一点呢
加辅助线
辅助线呢有各种各样的加法
最最简单的一条辅助线
当然就加上从B点到Ａ点的这么一条直线
哎 就是这么一条直线
从Ｂ点到Ａ点的一条直线
所以L和 L我把它写成L1吧
L1这条曲线就构成了一条闭曲线
那么格林公式告诉我们
在L从Ａ点到Ｂ点的第二类曲线积分
加上L1正的第二类曲线积分
被积函数（1+yex>
就构成了Ｄ区域上的
闭路径上的第二类曲线积分
其中这个方向
恰好是与格林公式要求的方向一致
也就是沿着这个方向走
Ｄ区域呢 这就是Ｄ区域
正好在你的左侧
所以用一下格林公式
可以写成一个二重积分
D区域上的二重积分Y对ｘ的偏导数就等于1+ex
减去Ｘ对ｙ的偏导数就是ex的二重积分
那么这么一减被积函数就是１
就相当于在Ｄ区域上的dxdy
这就是上半椭圆的面积
上半椭圆的面积
我们当然知道就等于πab/2
这个不是我们要算的第二类曲线积分
是加上一个L1之后
构成一个新的第二类曲线积分
所以我们如果要把原来要算的第二类曲线积分记成Ｉ
那么这个I呢
就当然就等于πab/2再减去另外一条线
另外一条线就是L1我们辅助
加上了辅助线上的第二类曲线积分（1+yex>
前面那个πab/2我们把它写下来
减去我们写成两项
第一项的积分我们知道L1这条线
是不是它的方程是不是就是y=0
所以第一项的积分
那么L这条线从B点到A点
也就是从-a到a1dx这是第一项积分
因为这个曲线的方程就是y=0
再加上这个第二项的积分
第二项的积分我们知道现在是直线
x轴方向直线所以在这条直线
不就y=0所以dy一定=0
所以第二个呢
自然不需要你去算了他就是0
所以最后就等于πab/2-2a
这就是我们要算的第二类曲线积分的积分的值
在这里面呢有几件事情要注意
第一件事函数的光滑性是不是足够的好
第二件事情曲线是不是闭的
如果不闭的话我们要加封闭
第三件事情加完封闭之后
那个方向是不是跟我们格林公式要求的方向
也就是沿着正方向走
区域在左侧那个要求是不是一致的
如果不一致的话
实际上我们还要加一个负号
在我们这道例题里面呢
恰好是一致的
好我们再来看一道例题
我们要求一个二重积分sinx平方的dxdy
其中这个D区域呢
是我们现在图上画出来的这么一个区域
这条直线呢是y=x这个呢是1
这个呢当然也是1
这个呢就是我们的D区域
要求在这么一个三角形区域上的二重积分
格林公式是联系了第二类曲线积分和二重积分
那么刚才那道例题呢
我们把一个第二类曲线积分
化成第二类曲线积分来做
那么现在这道例题呢
我们要做的是相反事情
把一个二重积分呢
转化成一个第二类曲线积分来做
我们假如说我们知道
这D的正边界就是我们图上所显示的方向
我们要找一个Xxy的函数Y也是xy的函数
使得Y对x的偏导数
减去X对y的偏导数
就等于sin括弧的x平方
如果说能找到
那么我们在D的正边界上的X（xy>
dx+Y（xy>
就等于我们要求的二重积分sin括弧x平方dxdy
这是格林公式告诉我们的
我们现在要找要找这么个XY这个函数
显然方法是不唯一的
比较简单的呢我们可以找到
X作为xy的函数等于-ysin（x2>
Y作为xy的函数我们取0
那你可以验算一下
Y对x偏导数减去X对y偏导数一定等于它
这我们可以算的
所以我们原来要算的这么我把它叫做I
二重积分呢
就可以写成在D的正边界上的积分X（xy>
加上本来要加一项YY=0写和不写都一样
我们把D的正边界由三条边界组成
第一条边界我把它叫做L1+
这条边界呢是平行于y轴的叫做L2+
那斜的那条边界呢叫L3+
那么在L1+上我们来看一看
在L1+上-ysin（x2>
再加上第二个呢在L2+上-ysin（x2>
加上第三条是在L3+上-ysin（x2>
我们一条一条算
在L1+上的这条直线上
这条直线的方程叫做y=0
我把y=0朝里边一代被积函数等于0
所以呢第一个积分是等于0的
在L2+上的积分也等于0原因很简单
在L2+这条线
是不是就是x=1x=1的话dx自然=0
所以呢只有在L3+上这条曲线上
这个积分有可能不等于0
那么在L3+这条曲线上
L3呢它的方程啊
我们知道xy呢就等于x
其中x呢是从什么地方呢
是从1到0所以呢
我们把它转换成定积分的话
积分下限是起始点是1积分上限起始点是0
负的这个方程L3的方程是y=x-xsin（x2>
我们把它稍微验算一下
他就等于把符号和上下限正好颠倒一下
就等于从0到1的积分xsin（x2>
这个积分就好算了就等于1/2的
负的1/2cos（x2>
下限是x=0上限是x=1
也就等于我们把上限带进去的话等于1/2（1-cos1>
所以呢我们第二道例题
实际上是把一个二重积分
把一个二重积分转化为一个第二类曲线积分
我们可以发现
这个第二类曲线积分反倒可以更容易一点
但是这两道例题第一种呢
把一个第二类曲线积分
转化成一个二重积分呢
转化的方式是唯一的
被积函数就是Y对x偏导数减去X对y偏导数
而第二种呢
则转化的方式我们这个X取-ysin（x2>
Y取0
实际上是转化方式之一
还有其他的方式
至少我们这种方式可以保证
我们这个二重积分最后把他做出来
其他方式那就不知道了
有可能做得出来有可能就做不出来
曲面的定向
我们现在开始讲
我们这学期的最后一类积分
第二类曲面积分
在讲第二类曲面积分之前
我们先介绍一个空间曲面的定向
假如说有一张空间曲面S
S呢是一个光滑C1类的光滑曲面
光滑的正则曲面
也就是说假如说
我们S给一个参数方程
x=x（uv>
y=y（uv>
z=z（uv>
uv呢
是一个平面上的一个集合D（uv>
所谓的C1类的光滑曲面
我们已经讲过
这三个函数都是连续可微函数
也就是他们所有的偏导数都是连续函数
并且我们原来讲过
有叫一个ABC的东西
A呢等于
偏y偏u偏y偏v偏z偏u偏z偏v
B呢就等于
偏z偏u偏z偏v偏x偏u偏x偏v
C呢就等于
偏x偏u偏x偏v偏y偏u偏y偏v
满足A方加上B方加上C方是不得0的
那么对于这么一个光滑的正则曲面
我们定向是这么定的
随便找一个（x0y0z0>
属于S
我们知道在这一点他的法向量
正好是等于±
（A,B,C>
单位法向量呢
是除以根号A方加上B方加上C方
假如说我们取定某一侧为正法方向
那么也就意味着
我们取定某一个正负号做为正法向量
举个例子呢
我们记这个方向为正法方向
那么我们可以知道这一点的方向定完了之后
在这个光滑曲面上
任意一点的方向我们是这么来定
P点的方向呢
我们从P0点到P点
在这光滑的曲面上找一条连线
那么P点的方向呢
是由这个正法方向连续的这么变化过来
得到了P点的正法方向
如果说一张曲面给了一个点的正法方向
其他点的正法方向
都可以用这种办法唯一的确定的
那么我们就把这张曲面呢
叫做可定向曲面
确实现实中存在着一类叫做可定向曲面
大部分曲面我们看到都是可定向的
但也确确实实存在另外一类曲面
叫做不可定向曲面
比如说我们讲莫比乌斯带
那么我们在第二类曲面积分里面
所有的曲面都是指可定向曲面
那么我们把一个确定了方向的曲面
我们把它记作是S上面一个+号
表示这个曲面的方向我们已经确定了的
那么这是一张简单曲面的定向问题
比如说我们举个例子
一个球面或者说一个闭曲面
这当然是一个可定向曲面
原因很简单
我在某一点我给他指定了一个正法方向
比如说外侧为正
那么整个一个闭曲面上是不是都是外侧为正
那么这当然是一个可定向曲面
假如说某一种曲面
它是由几张光滑曲面拼接而成的
我们画的简单一点就画这么一个曲面
第一张是上面那个曲面我们把它叫做S1
是一个光滑曲面
第二张呢是侧面那张曲面叫做S2
假如说一旦
我把S1的可定向曲面的单位正方向
我把它叫做n1定下来之后
那么通过右手螺旋法则
我们可以确定它的边界方向
就是四个手指头是边界方向
大拇指是曲面方向
那么我们可以知道边界方向是它
通过边界方向
我们再规定了一种方向叫协调方向
协调性所谓协调方向的话
在S1和S2公共的边界线上使得这个方向相反
所以S2的边界的方向就是这个方向
然后通过S2的边界的方向
再通过右手螺旋法则
我们可以推出S2的正法方向
那么通过几张曲面拼接而成的曲面
通过方向的协调性
我们同样可以定义这个曲面的方向
所以呢现在我们可以知道
对于一个曲面来讲
如果是一个单一的光滑正则曲面
我们可以通过一点的方向
确定整个曲面的方向
同样如果这个曲面由若干张
光滑正则曲面拼接而成的
我们可以通过协调方向
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