第1章 逻辑代数上命题演算Word格式.docx
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q为真,否则为假。
p«
q读作“p双向蕴涵q”,“p当且仅当q”,“p等价于q”。
由于“当且仅当”“等价”常在其它地方使用,因而用第一种读法更好些。
双向蕴涵词的意义及p«
q的真值状况由表1.5给出。
表1.5
pq
1.1.2命题公式
定义1.1归纳定义命题公式(简称公式propositionformula):
(1)命题常元和命题变元是命题公式,也称为原子公式或原子。
(2)如果A,B是命题公式,那么(A),(A∧B),(A∨B),(A→B),(AB)也是命题公式。
(3)只有有限步引用条款
(1),
(2)所组成的符号串是命题公式。
定义1.2设公式A含有命题变元p1,p2,…,pn(有时用A(p1,p2,…,pn)表示这一状况),称p1,p2,…,pn每一取值状况为一个指派(assignments),用希腊字母,等表示,当A对取值状况为真时,称指派弄真A,或是A的弄真指派,记为(A)=1;
反之称指派弄假A,或是A的弄假指派,记为(A)=0。
1.1.3语句形式化
将自然语言表述的命题“翻译”成命题公式,常称为语句形式化。
语句形式化要注意以下几个方面:
●要善于确定原子命题,不要把一个概念硬拆成几个概念,例如“弟兄”是一个概念,不要拆成“弟”和“兄”、“我和他是弟兄”是一个原子命题。
●要注意语句的语用,不同的语用有不同的逻辑含义。
例如“狗急跳墙”可能说的是一个规律,也可能说的是一个现象。
●要善于识别自然语言中的联结词(有时它们被省略)。
例如“风雨无阻,我去北京”一句,可理解为“不管是否刮风、是否下雨我都去北京”。
●否定词的位置要放准确。
●需要的括号不能省略;
而可以省略的括号,在需要提高公式可读性时亦可不省略。
●注意“只要,就”“只有,才”的正确理解。
因果关系也常常用蕴涵词来表示,这一点是有争议的。
●语句的形式化的结果未必是唯一的。
练习1.1题解
1、选择题
(1)设P:
我将去镇上,Q:
我有时间。
命题“我将去镇上,仅当我有时间”符号化为()
A.P→Q;
B.Q→P;
C.P↔Q;
D.Q∨
P.。
【答案】:
A
(2)设P:
张三可以做这件事,Q李四可以做这件事。
命题“张三或李四可以做这件事”符号化为()
A.P∨Q;
B.P∨
Q;
C.P
↔Q;
D.(
P∨
Q)
(3)设P:
我们划船,Q:
我们跑步。
命题“我们不能既划船又跑步”符号化为()
A.
P∧
B.
C.
(P↔Q);
D.P↔
Q
B
(4)下列语句中哪个是真命题()
A.我正在说谎
B.如果1+2=3,那么雪是黑的
C.如果1+2=5,那么雪是黑的
D.严禁吸烟
C
(5)
P→Q的逆命题是()
A.Q→
PB.P→
QC.
Q→
PD.
P→
(6)下面哪一个命题是命题“2是偶数或3是负数”的否定()
A.2是偶数或3不是负数
B.2是奇数或3不是负数
C.2不是偶数且3不是负数
D.2是奇数且3不是负数
2、填空题
(1)下列句子中,是命题的有.
(a)我是教师。
(b)禁止吸烟。
(c)蚊子是鸟类动物。
(d)上课去!
(a),(c)
(2)设P:
我生病,Q:
我去学校
(a)命题“我虽然生病但我仍去学校”可符号化为。
(b)命题“只有我生病的时候,我才不去学校”可符号化为。
(c)命题“只要我生病,我就不去学校”可符号化为。
(d)命题“当且仅当我生病,我才不去学校”可符号化为。
(a)P∧Q;
(b).
Q→P;
(c)P→
Q;
(d)P↔
(3)“a≥0”表示a>
0a=0;
“a是非负实数”表示a≥0a是实数(在空格中填上适当的命题联结词)。
∨;
∧
(4)在空格中填上表(表1.6)各列所定义的命题联结词:
表1.6
PQ
PQ
00
01
10
11
→;
↔
(5)P,Q为两个命题,当且仅当时,P→Q的真值为0。
P真且Q假
(6)公式P→Q的否命题为,逆否命题为。
﹁P→﹁Q;
﹁Q→﹁P
3.将下列命题形式化:
(1)你是博士,但我是硕士。
可表示为(p∧q),其中p:
你是博士;
q:
我是硕士
(2)我今天或明天去泰山的说法是谣传。
可表示为(p∨q),其中p:
我今天去泰山;
我明天去泰山
(3)如果买不到飞机票,我不去海南岛。
可表示为p→q,其中,p:
我买到飞机票,q:
我去海南岛
(4)只要他出门,他必买书,不管他带的钱多不多。
可表示为(p∧q→r)∧(p∧q→r)或q→r,其中p:
他带的钱多,q:
他出门,r:
他买书。
(5)除非你陪伴我或代我雇辆车子,否则我不去。
可表示为(p∨q)↔r,其中p:
你陪伴我,q:
你代我雇车,r:
我去
(6)只要充分考虑一切论证,就可得到正确见解;
必须充分考虑一切论证,才能得到正确见解。
可表示为(p→q)∧(q→p)或pq,其中p:
你充分考虑了一切论证,q:
你得到了正确见解
(7)除非你是成年人,否则只要你身高不超过1米3,就能到儿童游乐场玩耍。
r↔(s→t),其中r:
你是成年人,s:
你身高超过1米3,t:
你到儿童游乐场玩耍
(8)如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图,那么我不了解柏拉图。
可表示为(q→p)→q,其中p:
我懂得希腊文,q:
我了解柏拉图
(9)侈而惰者贫,而力而俭者富。
(韩非:
《韩非子显学》)
可表示为((p∧q)→r)∧((p∧q)→r),其中p:
你奢侈,q:
你懒惰,r:
你贫困
(10)骐骥一跃,不能十步;
驽马十驾,功在不舍;
锲而舍之,朽木不折;
锲而不舍,金石可镂。
(荀况:
《荀子劝学》)
可表示为(p→q)∧(s→r)∧(m∧n→o)∧(m∧n→v),其中p:
骐骥一跃,q:
骐骥行十步,r:
驽马行千里,s:
驽马不断奔跑,m:
你雕刻,n:
你放弃,o:
你将朽木折断,v:
你将金石雕刻
4.根据命题公式的定义和括号省略的约定,判定下列符号串是否为公式,若是,请给出它的真值表,并请注意这些真值表的特点(p,q,r,s为原子命题):
(1)(p)
(p)不是公式
(2)(p∨qr)→s
(p∨qr)→s不是公式
(3)(p∨q)→p
(p∨q)→p是公式,其真值表如表1.7所示:
表1.7
p∨q
(p∨q)→p
(4)p→(p∨q)
p→(p∨q)是公式,其真值表如表1.8所示(恒真):
表1.8
p→(p∨q)
(5)p∧(p→q)→q
p∧(p→q)→q是公式,其真值表如表1.9所示(恒真):
表1.9
p∧(p→q)
p∧(p→q)→q
(6)p∧(p→q)∧(p→q)
p∧(p→q)∧(p→q)是公式,其真值表如表1.10所示(恒假):
表1.10
┐q
p→┐q
p∧(p→q)∧(p→q)
(7)(p∨q)q∧p
(p∨q)q∧p是公式,其真值表如表1.11所示(恒真):
表1.11
(p∨q)
q∧p
(p→q)(q→p)
(8)p∨q(p→q)
p∨q(p→q)是公式,其真值表如表1.12所示(恒真):
表1.12
p∨q(p→q)
(9)(p→q)∧(q→r)→(p→r)
(p→q)∧(q→r)→(p→r)是公式,其真值表如表1.13所示(恒真):
表1.13
r
q→r
p→r
(p→q)∧(q→r)
(p→q)∧(q→r)→(p→r)
(10)(p∨q→r)(p→r)∧(q→r)
(p∨q→r)(p→r)∧(q→r)是公式,其真值表如表1.14所示(恒真):
表1.14
p∨q→r
(p→r)∧(q→r)
(p∨q→r)(p→r)∧(q→r)
5.给出弄真下列命题公式的指派:
(1)((p→q)∧q)→┐p
弄真指派有(0,0),(0,1),(1,0)
(2)((p→q)→r)→((q→p)→r)
弄真指派有(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)
(3)((pq)→r)→((q→p)r)
弄真指派有(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)
(4)((p∨q)∧r)→(r→p)
弄真指派有(0,0,0),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)
1.2逻辑等价式和逻辑蕴涵式
1.2.1重言式
定义1.3如果对命题公式A中命题变元的一切指派均弄真A,那么,称A为重言式(tautology);
重言式又称永真式;
如果至少有一个这样的指派弄真A,那么,称A为可满足式(satisfactableformula),否则称A为不可满足式或永假式、矛盾式。
1.2.2逻辑等价式和逻辑蕴涵式
定义1.4当命题公式AB为永真式时,称A逻辑等价于B,记为A┝┥B,它又称为逻辑等价式(logicallyequivalent)。
以下是一些重要的逻辑等价式,其中A,B,C表示任意命题公式:
E1A┝┥A双重否定律
E2A∨A┝┥A,A∧A┝┥A幂等律
E3A∨B┝┥B∨A,A∧B┝┥B∧A交换律
E4(A∨B)∨C┝┥A∨(B∨C)结合律
(A∧B)∧C┝┥A∧(B∧C)
E5A∧(B∨C)┝┥(A∧B)∨(A∧C)分配律
A∨(B∧C)┝┥(A∨B)∧(A∨C)
E6(A∨B)┝┥A∧B德摩根律
(A∧B)┝┥A∨B
E7A∨(A∧B)┝┥A吸收律
A∧(A∨B)┝┥A
E8A→B┝┥A∨B
E9AB┝┥(A→B)∧(B→A)
E10A∨t┝┥t,A∧f┝┥f
E11A∨f┝┥A,A∧t┝┥A
E12A∨A┝┥t,A∧A┝┥f
E13t┝┥f,f┝┥t
E14A∧B→C┝┥A→(B→C)
E15A∨B→C┝┥(A→C)∧(B→C)
E16A→B┝┥B→A
E17(A→B)∧(A→B)┝┥A
E18AB┝┥(A∧B)∨(A∧B)
定义1.5当命题公式A→B为永真式时,称A逻辑蕴涵B,记为A┝B,它又称为逻辑蕴涵式(logicallyimplication)。
一些十分重要的逻辑蕴涵式:
I1A┝A∨B,B┝A∨B
I2A∧B┝A,A∧B┝B
I3B┝A→B
I4A∧(A→B)┝B
I5(A→B)∧B┝A
I6A∧(A∨B)┝B,B∧(A∨B)┝A
I7(A→B)∧(B→C)┝A→C
I8(A→B)∧(C→D)┝(A∧C)→(B∧D)
I9(AB)∧(BC)┝AC
I10A┝t;
f┝A
逻辑等价式与逻辑蕴涵式有如下明显性质。
定理1.1对任意命题公式A,B,C,A'
,B'
,
(1)A┝┥B当且仅当┝AB
(2)A┝B当且仅当┝A→B
(3)若A┝┥B,则B┝┥A
(4)若A┝┥B,B┝┥C,则A┝┥C
(5)若A┝B,则┐B┝┐A
(6)若A┝B,B┝C,则A┝C
(7)若A┝B,A┝┥A'
,B┝┥B'
,则A'
┝B'
定理1.2设A为永真式,p为A中命题变元,A(B/p)表示将A中p的所有出现全部代换为公式B后所得的命题公式(称为A的一个代入实例),那么A(B/p)亦为永真式。
定理1.2常被称为代入原理(ruleofsubstitution),简记为RS
定理1.3设A为一命题公式,C为A的子公式,且C┝┥D。
若将A中子公式C的某些(未必全部)出现替换为D后得到的公式记为B,那么A┝┥B。
定理1.3常被称为替换原理(ruleofreplacement)简记为RR。
请注意RS与RR的区别,详见表1.15。
表1.15
代入原理RS
替换原理RR
使用对象
任意永真式
任一命题公式
被代换对象
任一命题变元
任一子公式
代换对象
任一与代换对象等价的命题公式
代换方式
代换同一命题变元的所有出现
代换子公式的某些出现
代换结果
仍为永真式
与原公式等价
当然,证明逻辑蕴涵式A┝B不成立的方法只有一个,那就是:
找出一个指派使得A为真,却使B为假。
证明逻辑等价式A┝┥B不成立的方法是:
证明A┝B不成立或者证明B┝A不成立。
推而广之,为证┝B(为公式集合)不成立,只要找出一个指派使得中所有公式为真,却使B为假。
1.2.3对偶原理
定义1.6设公式A仅含联结词,∧,∨,A*为将A中符号∧,∨,t,f分别改换为∨,∧,f,t后所得的公式,那么称A*为A的对偶(dual)。
下面两定理所描述的事实常称为对偶原理。
定理1.4设公式A中仅含命题变元p1,…,pn,及联结词,∧,∨,那么
A┝┥A*(p1/p1,…,pn/pn)
这里,A*(p1/p1,…,pn/pn)表示在A*中对p1,…,pn分别作代入p1,…,pn后所得的公式。
定理1.5设A,B为仅含联结词,∧,∨和命题变元p1,…,pn的命题公式,且满足A┝B,那么有B*┝A*。
进而当A┝┥B时有A*┝┥B*。
定义1.7B*┝A*,A*┝┥B*分别称为A┝B和A┝┥B的对偶式。
1.2.4应用逻辑
命题逻辑的相关知识,特别是逻辑等价式和逻辑蕴含式所反映的逻辑思维规律,如,排中律、矛盾律、双重否定律、德摩根律等,是人们逻辑推理的基础,在逻辑训练和实际生活中有十分广泛的应用。
练习1.2题解
1.选择题
(1)K是重言式,那么K的否定是()
A.重言式B.矛盾式C.可满足式D.不能确定
(2)K不是重言式,那么它是()
A.永假式B.矛盾式C.可满足式D.不能确定
(3)命题公式(P∧(P→Q))→Q是()
A.矛盾式B.可满足式C.重言式D.不能确定
(4)命题公式(P∧(P∨Q))∧Q是()
(5)如果P→Q为真时我们称命题P强于Q,那么最强的命题是(),最弱的命题是()。
A.永假式B.可满足式C.永真式D.不能确定
A,C
2.填空题
(1)两个重言式的析取是,一个重言式与一个矛盾式的析取是。
两个重言式的合取是,一个重言式与一个矛盾式的合取是。
一个重言式蕴涵一个矛盾式的是,一个矛盾式蕴涵一个重言式的是。
重言式,重言式,重言式,矛盾式,矛盾式,重言式
(2)在下列各式中,是永真式的有。
(a)(P∧(P→Q))→Q
(b)P→(P∨Q)
(c)Q→(P∧Q)
(d)(﹁P∧(P∨Q))→Q
(e)(P→Q)→Q
(a),(b),(d)
(3)化简下列各式:
(a)(﹁P∧Q)∨(﹁P∧﹁Q)可化简为。
(b)Q→(P∨(P∧Q))可化简为。
(c)((﹁P∨Q)↔(Q∨﹁P))∧P可化简为。
(a)﹁P;
(b)Q→P;
(c)P
(4)公式(P∨Q)→R的只含联结词
,∧的等价式为,它的对偶式为。
(
Q)∧
R);
(P∧Q)∧R
3.试判定以下各式是否为重言式:
(1)(p→q)→(q→p)
否
(2)﹁p→(p→q)
是
(3)q→(p→q)
(4)p∧q→(pq)
(5)(p→q)∨(r→q)→((p∨r)→q)
(6)(p→q)∨(r→s)→((p∨r)→(q∨s))
4.试用真值表验证E6,E8,E15,E17。
(1)
E6﹁(A∨B)┝┥﹁A∧﹁B的真值表如表1.16所示:
表1.16
A∨B
﹁(A∨B)
﹁A
﹁B
﹁A∧﹁B
﹁(A∨B)﹁A∧﹁B
﹁(A∧B)┝┥﹁A∨﹁B的真值表如表1.17所示:
表1.17
A∧B
﹁(A∧B)
﹁A∨﹁B
﹁(A∧B)﹁A∨﹁B
(2)
E8A→B┝┥﹁A∨B的真值表如表1.18所示:
表1.18
A→B
﹁A∨B
A→B﹁A∨B
(3)
E15A∨B→C┝┥(A→C)∧(B→C)的真值表如表1.19所示:
表1.19
A∨B→C
A→C
B→C
(A→C)∧(B→C)
(A∨B→C)(A→C)∧(B→C)