E4简单的一元高次不等式的解法
E5 简单的线性规划问题
13．[2014·安徽卷]不等式组表示的平面区域的面积为________．
13．4 [解析]不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，S△ABD＝S△ABD＋S△BCD＝×2×（2＋2）＝4.
13．[2014·北京卷]若x，y满足则z＝x＋y的最小值为________．
13．1 [解析]可行域如图，当目标函数线z＝y＋x过可行域内A点时，z有最小值，联立得A（0，1），故zmin＝×0＋1×1＝1.
11．，[2014·福建卷]已知圆C：
（x－a）2＋（y－b）2＝1，平面区域Ω：
若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为（ ）
A．5B．29
C．37D．49
11．C [解析]作出不等式组表示的平面区域Ω（如下图阴影部分所示，含边界），圆C：
（x－a）2＋（y－b）2＝1的圆心坐标为（a，b），半径为1.由圆C与x轴相切，得b＝1.解方程组得即直线x＋y－7＝0与直线y＝1的交点坐标为（6，1），设此点为P.
又点C∈Ω，则当点C与P重合时，a取得最大值，
所以，a2＋b2的最大值为62＋12＝37，故选C.
4．[2014·广东卷]若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值等于（ ）
A．7B．8
C．10D．11
4．D [解析]作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．作出直线l：
2x＋y＝0，平移该直线，当直线经过点A（4，3）时，直线l的截距最大，此时z＝zx＋y取得最大值，最大值是11.
4．[2014·湖北卷]若变量x，y满足约束条件则2x＋y的最大值是（ ）
A．2B．4C．7D．8
4．C [解析]作出约束条件表示的可行域如下图阴影部分所示．
设z＝2x＋y，平移直线2x＋y＝0，易知在直线x＋y＝4与直线x－y＝2的交点A（3，1）处，z＝2x＋y取得最大值7.故选C.
13．[2014·湖南卷]若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为________．
13．7 [解析]依题意，画出可行域，如图所示．
由得点B的坐标为（3，1），则z＝2x＋y在B（3，1）处取得最大值7.
14．[2014·辽宁卷]已知x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋4y的最大值为________．
14．18 [解析]不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由z＝3x＋4y得y＝－x＋，当直线经过点C时，z取得最大值．由得故C点坐标为（2，3），这时z＝3×2＋4×3＝18.
15．[2014·全国卷]设x，y满足约束条件则z＝x＋4y的最大值为________．
15．5 [解析]如图所示，满足约束条件的可行域为△ABC的内部（包括边界），z＝x＋4y的最大值即为直线y＝－x＋z的截距最大时z的值．结合题意知，当y＝－x＋z经过点A时，z取得最大值，联立x－y＝0和x＋2y＝3，可得点A的坐标为（1，1），所以zmax＝1＋4＝5.
9．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值为（ ）
A．8B．7
C．2D．1
9．B [解析]作出约束条件表示的可行域（略），可知该可行域为一三角形区域，当目标函数通过可行域的一个顶点（3，2）时，目标函数取得最大值，zmax＝3＋2×2＝7.
11．[2014·全国新课标卷Ⅰ]设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝（ ）
A．－5B．3
C．－5或3D．5或－3
11．B [解析]当a<0时，作出相应的可行域，可知目标函数z＝x＋ay不存在最小值．
当a≥0时，作出可行域如图，易知当－＞－1，即a＞1时，目标函数在A点取得最小值．由A，知zmin＝＋＝7，解得a＝3或－5（舍去）．
10．[2014·山东卷]已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by（a>0，b>0）在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为（ ）
A．5B．4
C.D．2
10．B [解析]画出关于x，y的不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．
显然当目标函数z＝ax＋by过点A（2，1）时，目标函数z＝ax＋by取得最小值，即2＝2a＋b，所以2－2a＝b，所以a2＋b2＝a2＋（2－2a）2＝5a2－8a＋20.构造函数m（a）＝5a2－8a＋20（06．、[2014·四川卷]执行如图1 2的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（ ）
图1 2
A．0B．1C．2D．3
6．C [解析]题中程序输出的是在的条件下S＝2x＋y的最大值与1中较大的数．结合图像可得，当x＝1，y＝0时，S＝2x＋y取最大值2，2>1，故选C.
2．[2014·天津卷]设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．B [解析]作出可行域，如图中阴影部分所示．
联立解得可得点A（1，1）．
当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值z＝1×1＋2×1＝3.
12．[2014·浙江卷]若实数x，y满足则x＋y的取值范围是________．
12．[1，3] [解析]实数x，y满足的可行域如图中阴影部分（包括边界）所示，图中A（1，0），B（2，1），C.令z＝x＋y，则y＝－x＋z.当直线y＝－x＋z经过A点时，z取最小值1；经过B点时，z取最大值3.故x＋y的取值范围是[1，3]．
E6 基本不等式
9．、[2014·重庆卷]若log4（3a＋4b）＝log2，则a＋b的最小值是（ ）
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
9．D [解析]由log4（3a＋4b）＝log2，得3a＋4b＝ab，则＋＝1，所以a＋b＝（a＋b）＝7＋＋≥7＋2 ＝7＋4 ，当且仅当＝，即a＝4＋2 ，b＝2 ＋3时等号成立，故其最小值是7＋4 .
16．[2014·湖北卷]某项研究表明：
在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：
辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：
米/秒）、平均车长l（单位：
米）的值有关，其公式为F＝.
（1）如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；
（2）如果限定车型，l＝5，则最大车流量比
（1）中的最大车流量增加________辆/小时．
16．
（1）1900
（2）100 [解析]
（1）依题意知，l>0，v>0，所以当l＝6.05时，
F＝＝≤＝1900，当且仅当v＝11时，取等号．
（2）当l＝5时，
F＝＝≤2000，
当且仅当v＝10时，取等号，此时比
（1）中的最大车流量增加100辆/小时．
14．、[2014·江苏卷]若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是______．
14. [解析]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则由正弦定理得a＋b＝2c.故
cosC＝＝＝＝－≥－＝，
当且仅当3a2＝2b2，即＝时等号成立．
16．[2014·辽宁卷]对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，＋＋的最小值为________．
16．－1 [解析]因为4a2－2ab＋b2－c＝0，所以（2a＋b）2－c＝6ab＝3×2ab≤3×，所以（2a＋b）2≤4c，当且仅当b＝2a，c＝4a2时，|2a＋b|取得最大值．故＋＋＝＋＝－1，其最小值为－1.
21．，，[2014·山东卷]在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为.
（1）求椭圆C的方程．
（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．
（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；
（ii）求△OMN面积的最大值．
21．解：
（1）由题意知，＝，可得a2＝4b2.
椭圆C的方程可简化为x2＋4y2＝a2.
将y＝x代入可得x＝±.
因此×＝，即a＝2，所以b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
（2）（i）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（－x1，－y1）．
因为直线AB的斜率kAB＝，且AB⊥AD，
所以直线AD的斜率k＝－.
设直线AD的方程为y＝kx＋m，
由题意知k≠0，m≠0.
由消去y，得（1＋4k2）x2＋8mkx＋4m2－4＝0，
所以x1＋x2＝－，
因此y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2m＝.
由题意知x1≠－x2，
所以k1＝＝－＝.
所以直线BD的方程为y＋y1＝（x＋x1）．
令y＝0，得x＝3x1，即M（3x1，0）．
可得k2＝－.
所以k1＝－k2，即λ＝－.
因此，存在常数λ＝－使得结论成立．
（ii）直线BD的方程y＋y1＝（x＋x1），
令x＝0，得y＝－y1，即N.
由（i）知M（3x1，0），
所以△OMN的面积S＝×3|x1|×|y1|＝
|x
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