五年级数学思维训练学生.docx
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五年级数学思维训练学生
第一讲因数与倍数
例1：
1+2+3…203+204的和是偶数还是奇数？
随堂练习1：
一串数排成一行，它们的规律是这样的，头两个数都是1，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，……问这串数的前100个数中（包括第100个数）有多少个偶数？
例2：
在2的框内填上两个适当的数字，使得这个数既是2，5的倍数，又是3的倍数。
随堂练习2：
一个四位数52既有因数2，又是3的倍数，同时又能被5整除，这个四位数最大是多少？
例3：
三个质数的和是38，求这三个质数的乘积的最大值是多少？
随堂练习3：
两个质数的和是43，这两个质数的积是多少？
阶梯练习：
1．同学们手拉手围成一圈跳校园集体舞，要求每个男生的两边都是女生，每个女生的两边也都是男生，已知五
（2）班有35个同学，他们能按要求围成一圈跳舞吗？
2．在458后面补上三个数字组成一个六位数，使它是3，4，5的倍数，符合这些条件的六位数中最大的一个是多少？
3．29÷（）=（）……5，在括号内填上适当的数使等式成立，共有多少种不同的填法？
4．猜一猜。
（1）它是一个小于45的两位数，它是一个质数，其各个数位上的数字之和是7，数字之差是1，这个数是。
（2）它是一个三位数，它是9的倍数，它最小是。
（3）一个三位数，百位上是既是奇数又是合数的自然数，十位上是最大的质数，个位上是最小的合数，这个数是。
（4）把一个数分解质因数，这个数含有2个质因数2，1个质因数3和1个质因数7，这个数是。
第二讲相遇问题
一、知识要点：
本讲主要针对行程当中的相遇问题进行讨论，基本关系式:
相遇路程=时间×速度和。
相遇问题在运用数量关系解题时，常常作出线段图帮助理解题意和分析解题。
l、一次相遇：
包括相向相遇和背向相距两种情况。
2、多次相遇：
相遇次数与合走全程的关系分析：
（1）不封闭线路上的相遇问题，到第一次相遇，两人合走一个全程：
以后每一次相遇，两人再合走两个全程。
（2）封闭线路上的相遇问题，出发后每相遇一次，都是两人合走一个全程。
通过图示解题，能够使过程分析更加直观，便于掌握不同类型的问题的分析处理技巧。
二、经典例题
例题l：
两辆汽车从两地相对开出，快车每小时行80千米，慢车每小时行60千米，4小时相遇，两地距离多少千米？
随堂练习1：
甲、乙两人同时从相距1080米的两地相对而行，8分钟相遇，已知甲每分钟走65米，乙每分钟走多少米？
例题2：
A、B两地相距480千米，甲、乙两车同时从两站相对出发，甲车每小时行35千米，乙车每小时行45千米，一只大雁以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙飞去，遇到乙车又折回向甲车返飞去，遇到甲车又返飞向乙车，这样一直飞下去，大雁飞了多少千米两车才能相遇？
随堂练习2：
某边防站甲、乙两哨所相距15千米，一天，两哨所的士兵同时从各自哨所出发相向而行。
他们的速度分别为每小时4.5千米和5.5千米。
乙哨所士兵出发时，他带的一只军犬同时向甲哨所跑去，遇到甲哨所的士兵后立即转身往回跑，遇到乙哨所的士兵后又立即转身向甲哨所的士兵跑去……，这样一直到两哨所士兵相遇为止。
已知军犬每小时跑20千米，那么这只军犬共跑了多少千米？
例题3：
甲、乙两人相距400米，两人同时相向而行，5分钟后，两人相距200米，已知甲的速度是30米每分钟，求乙的速度。
随堂练习3：
甲、乙两地相距880千米，小轿车从甲地出发，2小时后，大客车从乙地出发相向而行，又经过4小时两车相遇。
已知小轿车比大客车每小时多行20千米，问：
大客车每小时行多少千米？
例题4：
小斌骑自行车每小时行15千米，小明步行每小时行5千米。
两人同时在某地沿同一条线路到30千米外的学校去上学。
小斌到校后发现忘了带钥匙，就沿原路回家去拿，在途中与小明相遇。
问：
相遇时小明共行了多少千米？
随堂练习4：
兄弟二人同时从家往学校走，哥每分钟走90米，弟每分钟走70米，出发1分钟后，哥哥发现少带铅笔盒，则原路返回，取回立即出发，结果与弟弟同时到达学校，问他们家离学校有多远？
例题5：
甲、乙两站相距360千米，客车与货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行60千米，货车每小时行40千米，客车到达乙站停留半小时，又以原速返回甲站，两车相遇的地点离乙站多少千米？
随堂练习5：
甲，乙两车的速度分别为每小时52千米和40千米，它们同时从A地出发去B地，出发后6小时，甲遇到迎面而来的大卡车，l小时后乙也遇到了这辆大卡车，求大卡车的速度？
例题6：
小冬、小青两人同时从甲、乙两地出发相向而行．两人在离甲地40米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距乙地15米处第二次相遇。
问甲，乙两地相距多远？
随堂练习6：
两列火车同时从甲、乙两站相向而行，第一次相遇在离甲站40千米的地方，两车到站后立即返回，又在离乙站20千米的地方相遇，问甲、乙两地相距多少千米？
第三讲追及问题
一、知识要点：
本讲主要对行程当中的追及问题进行讨论，主要等量关系式：
追及时间=路程差÷速度差。
1、同地不同时，路程差是先走物体的速度乘以先走的时间。
2、同时不同地，路程差是最开始隔的一段距离。
3、同时同地（环形路线），路程差是环形路线的周长。
总的说来．追及过程的实质是后面速度快的物体以自身速度的一部分（比前面速度慢的物体多出的）来逐步消除原来相隔的距离。
因此，其基本数量关系是：
相隔距离÷速度差=追及时间
解追及问题的关键是要先确定关系式中每一个数量的产生及其具体的对应数或表选式。
例题l：
追及之同时不同地
李顺、李利结伴出去春游．每分钟走50米，出发12分钟时，李顺回家取照相机，然后骑自行车以每分钟200米的速度赶李利。
骑车多少分钟追上？
随堂练习1：
在一次战役中，根据我侦察员报告，敌军在我南面6千米的某地正以每小时5.5千米的速度向南逃窜，我军立即以每小时8.5千米的速度追击敌人。
在追上敌人后，只用半小时就全歼敌军。
问：
从开始追击到全歼敌军，共用了多少时间？
例题2：
追及之同地不同时；
甲以每小时4千米的速度步行去县城，乙比甲晚6小时骑自行车从同一地点出发去追甲，乙每小时行12千米。
乙几小时可追上甲？
随堂练习2：
两辆汽车从A地到B地，第一辆汽车每小时行54千米，第二辆汽车每小时行63千米，第一辆汽车先行2小时后，第二辆汽车才出发，问第二辆汽车出发后几小时追上第一辆汽车？
例题3：
追及之同时同地：
甲、乙两人在周长是400米的环形跑道上跑步，甲比乙跑得快，如果两人从同一地点出发背向而行，那么经过2分钟相遇，如果两人从同一地点同向而行，那么经过20分钟甲超过乙，求甲、乙两人跑步的速度各是多少？
随堂练习3：
一条环形跑道长250米，甲、乙两人同时从同一地点同方向跑步，甲每分钟100米，乙每分钟90米，几分钟后甲第一次追上乙？
例题4：
追及问题的另一种表现形式：
一辆卡车从A城到288千米外的B城，它以每小时32千米的速度行驶一段后，因特殊情况途中停留了2小时，为了能按时到达B城，卡车必须把以后的速度每小时提高到48千米。
问：
卡车是距起点多远处停下的？
随堂练习4：
甲、乙两车的速度分别为每小时52千米和40千米，它们同时从A地出发去B地，出发后6小时．甲遇到迎面而来的大卡车，I小时后乙也遇到了这辆大卡车，求大卡车的速度。
例题5
在周长400米的圆的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每分钟60米和每分钟50米的速度，同时同向出发，沿圆周行走，问2小时内，甲追上乙多少次？
随堂练习5：
在周长为300米的圆形跑道的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每秒7米、每秒5米的骑车速度同时沿顺时针方向行驶．20分钟内甲追上乙几次？
思考与提高：
上午8时8分，小强骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追上他，在离家4千米的地方追上他．然后爸爸立刻回家，到家后又立即回头去追小强，再追上他的时候，离家正好是8千米，这时是几时几分？
第四讲相遇与追及综合
一、知识要点：
这一讲在相遇问题和追及问题的基础上学习一些综合性的问题。
综台性的行程问题最重要的是对行程的过程进行分析，找准距离、时问、速度三个量之间的关系。
最基本的数量关系是：
速度=路程÷时间。
当速度是指平均速度时，便是一般的行程问题，用总路程÷总时间得到；
当速度是指速度和时，便是相遇问题，用相遇路程÷相遇时间得到；
当速度是指速度差时，便是追及问题，用追及路程÷追及时间得到。
二、经典例题：
例题1：
甲，乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。
两车在离中点32千米处相遇，求A、B两地之问的距离。
随堂练习1：
小强和小亮商量，星期四早晨8点整走出家门，相向走来，小强每分钟行48米，小亮每分钟行54米，两人在距离中点30米处相遇,他们两家之间的公路长多少米？
例题2
甲、乙两地相距880千米，小轿车从甲地出发，2小时后，大客车从乙地出发相向而行，又经过4小对两车相遇。
已知小轿车比大客车每小时多行20千米，问：
大客车每小时行多少千米？
随堂练习2：
顺顺和利利住在同一栋楼，一天早晨两人同时上学，顺顺骑自行车每分钟行300米，利利步行每分钟行60米，顺顺到校后10分钟，发现自己的学习用品放在家里，于是骑自行车原速原路返回，如果从家到学校的路程长3000米．利利步行多少分钟与返家的顺顺相遇？
例题3：
甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙两人从A地，丙一人从B地同时相向出发，丙遇到乙后2分钟又遇到甲，A、B两地相距多少米？
随堂练习3：
甲、乙、丙三人都是大学生，甲每分钟行100米，乙每分钟行110米，丙每分钟行120米，一天甲、乙从宿舍去教室，正好丙从教室回宿舍，丙遇到乙后半分钟又遇到甲，教室与宿舍之间的路长多少米？
例题4：
一列慢车在上午9点钟以每小时40千米的速度由甲城开往乙城，另有一列快车在上午9点30分以每小时56千米的速度也从甲城开往乙城，规定同方向前进的两列火车之间相距不能少于8千米，问：
这列慢车最迟应该在什么时候停车让快车超过?
随堂练习4：
甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙，如果两人同时相向而行，6分钟可相遇。
又已知乙每分钟行50米．求A、B两地的距离。
例题5:
{
一只兔子奔跑时，每两步都跑l米，一只狗奔跑时，每两步都跑3米，狗跑一步兔子能跑三步，如果让狗和兔子在1OO米跑道上跑-个来回，那么获胜的一定是谁？
随堂练习5：
一只狮子和狗进行50米来回跑比赛，狗跑一步长2米，狮子跑一步长3米，狗跑三步的时间狮子只能跑两步，谁能胜？
思考与提高：
在400米的环行跑道上．A、B两点相距100米（如图）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟，那么，甲追上乙需要多少秒钟？
第五讲空间与图形
例1：
如图，在三角形ABC中，已知∠A=90°，∠C=60°，∠CBA=30°，把三角形ABC按顺时针方向旋转一个角度后得到三角形A′BC′，
∠C′BA=90°，图中哪一点是旋转点？
图形旋转了多少度？
随堂练习1：
如右下图，三角形ABC顺时针旋转一个角度后是三角形AB′C′，已知∠B′=25°，∠ACB=55°，找出哪一点是旋转中心，并计算出旋转的角度是多少？
例2：
求下图中阴影部分的面积（单位：
cm）
4
2
4
24
4
随堂练习2：
两个完全一样的正方形，边长为4cm，其中一个正方形的顶点在另一个的中心上，求两上正方形不重
叠部分（阴影部分）的面积和。
例3：
教室长9米，宽7米，高4米，门窗黑板的面积一共有38平方米，要粉刷教室的顶面和四周的墙壁，粉刷的面积有多少平方米？
随堂练习3：
一个长方体的金鱼缸，其三条棱长分别为6分米，4分米，3分米，且鱼缸上面没有玻璃，制作这个金鱼缸最少需要多少平方分米，最多呢？
（接口浪费忽略不计）
例4：
如下图，从长为30cm，宽为20cm的长方形硬纸板的四角去掉边长为4cm的正方形，然后沿虚线折叠成一个长方体无盖纸盒，这个纸盒的容积点多少？
随堂练习4：
如上图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长3厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体的纸盒，这个纸盒的体积是多少？
阶梯练习
1．画出三角形AOB逆时针旋转90°后的图形。
A
B
C
2．从镜子中看到一串数字是
，这串数字实际是多少？
3．一块长方形草地，长是10米，宽是8米，中间有人行横道，人行道宽为2m，求草地（阴影部分）的面积。
4．图中各个圆的面积都是20cm2，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？
5．有一个袋饼干的长方体盒子，长是40cm，宽是30cm，高是20cm，在这个盒子四周贴满一圈商标，商标的面积是多少平方厘米？
6．一个长方体水池，宽20米，高2米，如果将四壁和底面用每块是4平方分米的正方形瓷砖贴上，需多少块？
7．一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来增加48平方厘米。
原来长方体的表面积是多少平方厘米？
8．一个正方体木板，棱长10cm，如果在这木块的6个面的中心位置各挖去一个边长为2厘米的正方形小孔直至对面，所得立体图形的体积是多少？
9．一个密封的长方体玻璃缸内装有部分水，这个玻璃缸长15厘米，宽8厘米，高5厘米，把玻璃缸的不同的面放在桌面上，水的最低高度是2厘米。
那么水的最高高度是多少厘米？
10．一根长1米，宽和高都是14厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？
第六讲最大公约数和最小公倍数的应用
一、知识要点
通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。
例题1、兄弟三人在外地工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次，兄弟三人同时在11日回家，三人下次见面要经过多少天？
随堂练习1：
有一个电子表，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子表既响铃又灯，请问下一次既响铃又亮灯是几点钟？
例题2、一张长105厘米、宽75厘米的长方形铁皮，要分成大小完全相等的正方形铁皮且无剩余，这张长方形铁皮最少可以分成多少个正方形铁皮？
随堂练习2：
把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁成多少块？
例题3、有一筐苹果，不论分给8个人，还是分给10个人，都剩3个。
这筐苹果至少有多少个？
随堂练习3：
有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余2个，5个5个数也余2个，问这个盘子里最少有多少个水果？
例题4、五年级学生去春游，他们乘船过河，如果5人一船则多2人，如果6人一船则少4人，如果7人一船则少5人，问五年级至少多少名学生？
随堂练习4：
有一袋水果糖，4块4块地数多3块，6块6块数多5块，15块15块数多14块，这袋糖在150—200块之间，问有多少块？
三、阶梯练习
1．把一张长60厘米，宽40厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米数的小正方形，且无剩余，最少可以剪成多少块？
2．用长5CM，宽3CM的长方形硬纸片摆成一个正方形（中间无空隙），至少要用几个长方形硬纸片？
3一长方体木块，长56CM，宽40CM，高24CM，把它锯成尽可能大，且大小相同的正方体，且无剩余，能锯成多少块？
4、五
（1）班有学生50人，五
（2）班有学生45人参加校外活动，要把他们分别分成人数相等的若干小组，每组最多有多少人？
一共可以分成多少组？
5、五
（1）班同学参加校广播操比赛，如果按16人一排或12人一排都正好分完，全班至少有多少学生。
6、街心公园是1路和3路汽车的起始站。
1路汽车每4分钟发车一次，3路汽车每5分钟发车一次。
这两略汽车同时发车以后，至少再经过多少分钟又同时发车?
7、有一包糖果，不论是分给10个人，还是分给12个人，都剩5块，这包糖果至少有多少块?
第七讲有趣的数字问题
一、知识要点
数字问题是研究有关数字的特殊结构、特殊关系以及数字在运算中的一些变换等问题，今天我们将学习有关数字的解题思路、解题技巧及解答方法。
二、经典例题及练习
例题1、一个两位数，个位数字是十位数字的3倍，如果这个数加上5，则两个数字就相同。
求这个两位数。
随堂练习1：
一个两位数，个位数字是十位数字的4倍，如果这个数加上5，则两个数字就相同，求这个两位数是多少？
例题2、有一个两位数，如果它的左边添上“5”，就得到甲数；如果在它的右边添上“5”就得到乙数。
已知乙数比甲数少72，求这个两位数。
随堂练习2：
有一个两位数，如果在它的左边添上“6”就得到甲数；如果在它的右边添上“6”就得到乙数，已知乙数比甲数少216，求这个两位数是多少？
例题3、印刷某一本书的页码时，所用数码的个数是600个，这本书一共有多少页？
随堂练习3：
给一本书编页码，共用了663个数字，这本书一共有多少页？
例题4、有一本书共有200页，在这本书的页码中，共用了多少个数字？
随堂练习4：
一本书共340页，在这本书的页码中共用了多少个数字？
三、阶梯练习：
1.有一个两位数，十位上的数字是个位上数字的3倍。
如果把这个数减去7，所得的数的个位上的数字与十位上的数字相同。
求这个两位数。
2.有一个两位数，十位上的数字是个位上数字的4倍，如果把这个数字对调位置，组成一个新的两位数，这时，新数比原数少54。
求原数的两位数是多少？
3.有一个三位数，如果在它的左边添上“2”就得到甲数；如果在它的右边添上“2”就得到乙数，已知乙数比甲数多1368，求这个三位数是多少？
4.在一个三位数的右边添上一个“0”，所得到的四位数比这个三位数多4122，求这个三位数是多少？
5.编一部百科全书的页码需要7868个数字。
那么这部书共有多少页？
6.有一本辞典，所编页码共用了3401个数字，这本辞典一共有多少页？
.7.中国一部百科全书共有2004页，在这部百科全书的页码中共用了多少个数字？
8.有一本辞典共有1127页，在这本辞典的页码中共用了多少个数字？
第八讲容斥原理（重复问题）
一、知识要点：
当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它的和中减去重复部分，这就是简单的容斥原理。
（即重复问题）。
二、能力目标：
通过本讲训练让学生认识容斥原理，掌握这类问题的结构特点，从而快而准地找到重复部分，轻松地解决容斥问题。
三、经典例题：
例1、五年级一个班有50名学生，有16人参加英语兴趣班，有20人参加数学思维训练班，有10人两种班都参加。
那么这两个班都没参加的有多少人？
随堂练习1：
某班有46人，其中会打篮球的有17人，会打乒乓球的有14人，既会打篮球又会打乒乓球的有5人，问两样都不会的有几人？
例2、在1-100的全部自然数中，不是3的倍数，也不是5的倍数的数有多少个？
随堂练习2：
在1-100的整数中，能被2整除或通被3整除的整数共有多少个？
（取整数部分）
例3、56名同学参加兴趣小组活动，参加数学小组的有40人，参加作文小组的有30人，两个兴趣小组都参加的有多少人？
只参加数学小组的有多少人？
随堂练习3：
有100位学生回答A、B两题，有78人答对A题，81人答对B题，A、B两题都没有回答对的有10人，请问A、B两题都答对的有多少人？
例4、甲、乙、丙都同读一本故事书，书中有100个故事，每个人都是从某一个故事开始按顺序往后读，已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事，那么甲、乙、丙共同读过的故事至少有多少个？
随堂练习4：
某班在一次测验中语文得100分的有7人，数学得100分的有13人，其他科都没有得100分的，上课时，老师说：
全班这次得100分的同学请起立。
试问：
站起来的最多可能有多少人？
最少可能有多少人？
四、阶梯练习：
1、在一次运动会中，甲班参加田赛的有15人，参加径赛的有12人，参加田赛又参加径赛的有7人，没有参加比赛的有21人，问甲班共有多少同学？
2、某班有30名学生参加数学竞赛，25名学生参加英语竞赛，其中有13名学生既参加了数学竞赛，又参加了英语竞赛，又知道这个班学生每人至少参加一项，你知道这个班共有多少名学生吗？
3、某小学五年级学生采集标本，采集昆虫标本的有20人，采集植物标本的有30人，每人至少采集一种，其中有10人两种都采集了，这个五年级共有学生多少人？
4、求不超过100的自然数中，不能被3、5中任何一个数整除的数的个数。
5、在1-400的自然数中，不含数字的5的自然数有多少个？
6、五
（1）班有40名学生，参加围棋班有15人，参加电脑班有11人，参加美术班有13人，同时参加围棋和电脑班的有4人；同时参加围棋和美术班的有5人，同时参加美术和电脑班的有5人，班上有3人三个班都参加了，问班级中没有参加兴趣班的有多少人？
7、五年级选出60个同学参加作文竞赛和数学竞赛结果7人，两项比赛都获奖了，有26人两项比赛都没有获奖，已知俄文比赛获奖的有15人，问数学竞赛获奖的有多少人？
第九讲盈亏问题
一、知识要点：
盈，就是剩余；亏，则是不足。
顾名思义，“盈亏问题”是专门研究“一会多一点，一会又够分”的问题，这类问题看上去好像挺复杂，但掌握了解题方法和窍门，就会感到十分方便。
二、能力目标：
通过这一讲训练，让学生认识盈亏问题的特点与数量关系，学会从算术的角度来理解：
“（余下的数+不足的数）÷（大份-小份）=份数；”再用“份数×小份+余下的数总数，或用“份数×大份-不足的数总数”。
还要让学生学会找准等量关系式列议程解答这类问题。
三、经典例题：
例1、老师将一叠练习本奖给数学竞赛获奖的同学，如果每人奖3本，还多6本，如果每人奖5本，则少4本，问：
一共有几名同学获奖？
这叠练习本共有多少本？
随堂练习1：
某班学生合买一件纪念品，如果每人出6元则多48元，如果每人出5元则少3元。
求这个班级共有学生多少人？
例2、有一个班的同学去西湖划船，他们计算了一下，如果增加一条船，每条船正好坐6人，如果减少一条，每条船正好坐9人，这个班有学生多少人？
随堂练习2：
同学们搬砖块，如果每人搬10块，正好搬完；若每人搬16块，则有3个同学没事干。
问有多少块砖？
例3、星星小学学生乘汽车到烈士公园去参观，如果每车坐65人，则有15人不能乘车；如果每车多坐5人，恰好多出了一辆车，问一共有几辆汽车去参观的？
有多少人？
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