数学建模必备LINGO在多目标规划和最大最小化模型中的应用Word格式.docx
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个约束条件：
其他原有的约束条件不变，改写后仍然是一个规划，只是增加了
个约束条件，目标函数的形式较为简单。
如果能用LINGO求出它的解，则问题已经解决，如果求解困难，可转入下一步。
第二步，取消目标函数，保留上一步由目标函数改成的
个约束条件和所有原来的约束条件，预设
值为某个常数，此时原规划模型不再是规划，它仅仅包含等式和不等式，没有目标函数，是许多约束条件的组合，可以称它为“混合组”。
求该混合组的解，其实质是求满足所有约束条件并且使目标函数等于给定值的一组决策变量的值，求出来的结果是可行解，它未必是最优解。
在存在可行解的前提下，使目标函数值小的可行解优于使目标函数值大的可行解，使目标函数值越小的可行解越接近最优解。
第三步，对具体问题作出分析，对目标函数可能达到的最小值（即C的最小值）作适当估计，然后在此估计值的基础上由大到小改变C的值进行试算，使可行解越来越接近最优解。
对于目标函数值离散的情况，不难找到最优解。
例：
装配线平衡模型。
一条装配线含有一系列的工作站，在最终产品的加工过程中每个工作站执行一种或几种特定的任务。
装配线周期是指所有工作站完成分配给它们各自的任务所化费时间中的最大值。
平衡装配线的目标是为每个工作站分配加工任务，尽可能使每个工作站执行相同数量的任务，其最终标准是装配线周期最短。
不适当的平衡装配线将会产生瓶颈——有较少任务的工作站将被迫等待其前面分配了较多任务的工作站。
问题会因为众多任务间存在优先关系而变得更复杂，任务的分配必须服从这种优先关系。
这个模型的目标是最小化装配线周期。
有2类约束：
①要保证每件任务只能也必须分配至一个工作站来加工；
②要保证满足任务间的所有优先关系。
例有11件任务（A—K）分配到4个工作站（1—4），任务的优先次序如下图。
每件任务所花费的时间如下表。
任务
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
时间
45
11
9
50
15
12
8
解：
用变量
表示任务
分配给工作站
的情况，
表示分配，
表示不分配，
表示完成各项任务所需时间，则目标函数为
约束条件
（1）：
每项任务只能且必须分配至一个工作站来做，可以表示为：
；
约束条件
（2）：
各项任务间如果有优先关系，则排在前面的任务
对应的工作站（序号）应当小于（或等于）排在后面的任务
所对应的工作站（序号），即对所有有顺序的任务
：
约束条件（3）：
。
这是一个非线性规划（目标函数非线性），但可以化为线性规划，增加一个变量，再增加四个约束条件：
，目标函数变为
LINGO程序为：
model:
!
装配线平衡模型;
sets:
任务集合，有一个完成时间属性t;
task/ABCDEFGHIJK/:
t;
任务之间的优先关系集合（A必须完成才能开始B，等等）;
pred（task,task）/A,BB,CC,FC,GF,JG,J
J,KD,EE,HE,IH,JI,J/;
工作站集合;
station/1..4/;
tsx（task,station）:
x;
x是派生集合txs的一个属性。
如果x（i，k）＝1，则表示第i个任务
指派给第k个工作站完成;
endsets
data:
任务ABCDEFGHIJK的完成时间估计如下;
T=4511950151212121289;
enddata
当任务超过15个时，模型的求解将变得很慢;
每一个作业必须指派到一个工作站，即满足约束①;
@for（task（i）:
@sum（station（k）:
x（i,k））=1）;
对于每一个存在优先关系的作业对来说，前者对应的工作站i必须小于后
者对应的工作站j，即满足约束②;
@for（pred（i,j）:
k*x（j,k）-k*x（i,k））>
=0）;
对于每一个工作站来说，其花费时间必须不大于装配线周期;
@for（station（k）:
@sum（txs（i,k）:
t（i）*x（i,k））<
=cyctime）;
目标函数是最小化转配线周期;
min=cyctime;
指定x（i,j）为0/1变量;
@for（txs:
@bin（x））;
end
计算的部分结果为
Globaloptimalsolutionfoundatiteration:
1255
Objectivevalue:
50.00000
VariableValueReducedCost
CYCTIME50.000000.000000
X（A,1）1.0000000.000000
X（A,2）0.0000000.000000
X（A,3）0.00000045.00000
X（A,4）0.0000000.000000
X（B,1）0.0000000.000000
X（B,2）0.0000000.000000
X（B,3）1.00000011.00000
X（B,4）0.0000000.000000
X（C,1）0.0000000.000000
X（C,2）0.0000000.000000
X（C,3）0.0000009.000000
X（C,4）1.0000000.000000
X（D,1）0.0000000.000000
X（D,2）1.0000000.000000
X（D,3）0.00000050.00000
X（D,4）0.0000000.000000
X（E,1）0.0000000.000000
X（E,2）0.0000000.000000
X（E,3）1.00000015.00000
X（E,4）0.0000000.000000
X（F,1）0.0000000.000000
X（F,2）0.0000000.000000
X（F,3）0.00000012.00000
X（F,4）1.0000000.000000
X（G,1）0.0000000.000000
X（G,2）0.0000000.000000
X（G,3）0.00000012.00000
X（G,4）1.0000000.000000
X（H,1）0.0000000.000000
X（H,2）0.0000000.000000
X（H,3）1.00000012.00000
X（H,4）0.0000000.000000
X（I,1）0.0000000.000000
X（I,2）0.0000000.000000
X（I,3）1.00000012.00000
X（I,4）0.0000000.000000
X（J,1）0.0000000.000000
X（J,2）0.0000000.000000
X（J,3）0.0000008.000000
X（J,4）1.0000000.000000
X（K,1）0.0000000.000000
X（K,2）0.0000000.000000
X（K,3）0.0000009.000000
X（K,4）1.0000000.000000
工件的安装与排序问题。
某设备由24个工件组成，安装时需要按工艺要求重新排序。
I．设备的24个工件均匀分布在等分成六个扇形区域的一圆盘的边缘上，放在每个扇形区域的4个工件总重量与相邻区域的4个工件总重量之差不允许超过一定值。
II．工件的排序不仅要对重量差有一定的要求，还要满足体积的要求，即两相邻工件的体积差应尽量大，使得相邻工件体积差不小于一定值。
问题1：
按重量排序算法；
问题2：
按重量和体积排序算法；
请按下表中的工件数据（重量单位：
g，体积单位：
cm3）进行实时计算。
表工件的重量和体积数据
序号
1
2
3
4
5
6
7
10
重量
348
352
347
349
347.5
330
329
327.5
体积
101.5
102
105
105.5
106
104
94
98
100.5
98.5
13
14
16
17
18
19
20
331.5
348.5
346.5
333
99
104.5
107.5
97
21
22
23
24
332.5
332
96.5
94.5
对问题1和2分别求解。
（1）对问题1，仅考虑重量进行排序。
用
表示24个工件，
表示各工件的重量，
表示圆盘上的6个扇区，
表示各扇区上4个工件的总重量，
是0-1型决策变量，表示工件
是否放在扇区
上，
表示放，
表示不放。
每个工件必须且只能放到一个位置上，每个位置放一个且仅放一个工件，每个扇区放4个工件，重量之和为
目标函数是：
相邻扇区上的
之差的（绝对值）最大值达到最小，建立0-1规划模型如下：
模型中的
是虚拟的，
使得1-6-1扇区构成圆盘，引入
的目的只是使目标函数的表达式简洁。
该0-1规划模型的目标函数是相邻扇区上的
之差（绝对值）的最大值达到最小，属于最大最小化模型。
按照前面所述把规划模型转化为混合组的步骤，去掉目标函数，增加约束条件：
保留原来的约束条件，并令C为某个常数，原规划就转化成了一个包含150个变量，36个等式约束，6个不等式约束的非线性混合组。
由于24个工件的重量数据多数为整数，部分有小数，小数的最小计数单位为0.5，所以相邻扇区重量之差的基本计数单位是0.5，即
的可能取值是离散的。
令C取0，0.5，1，1.5，2，……中的具体值（C值越小越好）。
用LINGO编程求解，不难求得当C=0.5时有可行解，因C=0时无可行解，故C=0.5时的可行解就是最优解。
用第一组工件的重量数据，编写LINGO程序如下：
sets:
gj/1..24/:
w;
shq/1..6/:
d;
bl（gj,shq）:
endsets
data:
w=348352347349347.5347330329329327.5329331.5348.5
347346.5348347.5348333330332.5331.5331.5332;
enddata
@for（bl:
c=0.5;
常数C可以设定不同的值试一试;
@for（gj（i）:
@sum（shq（j）:
x（i,j））=1）;
@for（shq（j）:
@sum（gj（i）:
x（i,j））=4）;
d（j）=@sum（gj（i）:
w（i）*x（i,j）））;
@for（shq（j）|j#lt#6:
d（j+1）-d（j）<
=c）;
d（j+1）-d（j）>
=-c）;
d
（1）-d（6）<
=c;
d
（1）-d（6）>
=-c;
运行结果如下：
Feasiblesolutionfoundatiteration:
15994
VariableValue
C0.5000000
W
（1）348.0000
W
（2）352.0000
W（3）347.0000
W（4）349.0000
W（5）347.5000
W（6）347.0000
W（7）330.0000
W（8）329.0000
W（9）329.0000
W（10）327.5000
W（11）329.0000
W（12）331.5000
W（13）348.5000
W（14）347.0000
W（15）346.5000
W（16）348.0000
W（17）347.5000
W（18）348.0000
W（19）333.0000
W（20）330.0000
W（21）332.5000
W（22）331.5000
W（23）331.5000
W（24）332.0000
D
（1）1357.000
D
（2）1356.500
D（3）1357.000
D（4）1357.500
D（5）1357.000
D（6）1357.500
X（1,1）0.000000
X（1,2）1.000000
X（1,3）0.000000
X（1,4）0.000000
X（1,5）0.000000
X（1,6）0.000000
X（2,1）0.000000
X（2,2）0.000000
X（2,3）0.000000
X（2,4）1.000000
X（2,5）0.000000
X（2,6）0.000000
X（3,1）0.000000
X（3,2）0.000000
X（3,3）0.000000
X（3,4）0.000000
X（3,5）1.000000
X（3,6）0.000000
X（4,1）0.000000
X（4,2）0.000000
X（4,3）1.000000
X（4,4）0.000000
X（4,5）0.000000
X（4,6）0.000000
X（5,1）0.000000
X（5,2）0.000000
X（5,3）1.000000
X（5,4）0.000000
X（5,5）0.000000
X（5,6）0.000000
X（6,1）0.000000
X（6,2）1.000000
X（6,3）0.000000
X（6,4）0.000000
X（6,5）0.000000
X（6,6）0.000000
X（7,1）0.000000
X（7,2）1.000000
X（7,3）0.000000
X（7,4）0.000000
X（7,5）0.000000
X（7,6）0.000000
X（8,1）0.000000
X（8,2）0.000000
X（8,3）1.000000
X（8,4）0.000000
X（8,5）0.000000
X（8,6）0.000000
X（9,1）1.000000
X（9,2）0.000000
X（9,3）0.000000
X（9,4）0.000000
X（9,5）0.000000
X（9,6）0.000000
X（10,1）0.000000
X（10,2）0.000000
X（10,3）0.000000
X（10,4）1.000000
X（10,5）0.000000
X（10,6）0.000000
X（11,1）0.000000
X（11,2）0.000000
X（11,3）0.000000
X（11,4）0.000000
X（11,5）1.000000
X（11,6）0.000000
X（12,1）0.000000
X（12,2）1.000000
X（12,3）0.000000
X（12,4）0.000000
X（12,5）0.000000
X（12,6）0.000000
X（13,1）1.000000
X（13,2）0.000000
X（13,3）0.000000
X（13,4）0.000000
X（13,5）0.000000
X（13,6）0.000000
X（14,1）0.000000
X（14,2）0.000000
X（14,3）0.000000
X（14,4）0.000000
X（14,5）0.000000
X（14,6）1.000000
X（15,1）0.000000
X（15,2）0.000000
X（15,3）0.000000
X（15,4）0.000000
X（15,5）0.000000
X（15,6）1.000000
X（16,1）0.000000
X（16,2）0.000000
X（16,3）0.000000
X（16,4）0.000000
X（16,5）1.000000
X（16,6）0.000000
X（17,1）1.000000
X（17,2）0.000000
X（17,3）0.000000
X（17,4）0.000000
X（17,5）0.000000
X（17,6）0.000000
X（18,1）0.000000
X（18,2）0.000000
X（18,3）0.000000
X（18,4）1.000000
X（18,5）0.000000
X（18,6）0.000000
X（19,1）0.000000
X（19,2）0.000000
X（19,3）0.000000
X（19,4）0.000000
X（19,5）1.000000
X（19,6）0.000000
X（20,1）0.000000
X（20,2）0.000000
X（20,3）0.000000
X（20,4）1.000000
X（20,5）0.000000
X（20,6）0.000000
X（21,1）0.000000
X（21,2）0.000000
X（21,3）0.000000
X（21,4）0.000000
X（21,5）0.000000
X（21,6）1.000000
X（22,1）0.000000
X（22,2）0.000000
X（22,3）0.000000
X（22,4）0.000000
X（22,5）0.000000
X（22,6）1.000000
X（23,1）0.000000
X（23,2）0.000000
X（23,3）1.000000
X（23,4）0.000000
X（23,5）0.000000
X（23,6）0.000000
X（24,1）1.000000
X（24,2）0.000000
X（24,3）0.000000
X（24,4）0.000000
X（24,5）0.0000
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