（6）由知而发散，由比较审敛法知发散．
6．用比值判别法判别下列级数的敛散性：
（1）；
（2）；
（3）；
（1）
解：
（1），，
由比值审敛法知，级数收敛．
（2）
所以原级数发散．
（3）
所以原级数发散．
（4）
故原级数收敛．
7．用根值判别法判别下列级数的敛散性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4），其中an→a（n→∞），an，b，a均为正数．
解：
（1），
故原级数发散．
（2），
故原级数收敛．
（3），
故原级数收敛．
（4），
当ba时，>1，原级数发散；当b=a时，=1，无法判定其敛散性．
8．判定下列级数是否收敛若收敛，是绝对收敛还是条件收敛
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；（5）；
（6）．
解：
（1），级数是交错级数，且满足，，由莱布尼茨判别法级数收敛，又是P<1的P级数，所以发散，故原级数条件收敛．
（2），为交错级数，且，，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于
所以，发散，所以原级数条件收敛．
（3）民，显然，而是收敛的等比级数，故收敛，所以原级数绝对收敛．
（4）因为．
故可得，得，
∴，原级数发散．
（5）当α>1时，由级数收敛得原级数绝对收敛．
当0<α≤1时，交错级数满足条件：
；，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时发散，所以原级数条件收敛．
当α≤0时，，所以原级数发散．
（6）由于
而发散，由此较审敛法知级数
发散．
记，则
即
又
由
知，由莱布尼茨判别法，原级数收敛，而且是条件收敛．
9．判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性．
（1），x∈[-3,3]；
（2），x∈[0,1]；
（3），x∈（-∞,+∞）；（4），|x|<5；
（5），x∈（-∞,+∞）
解：
（1）∵，x∈[-3,3]，
而由比值审敛法可知收敛，所以原级数在[-3,3]上一致收敛．
（2）∵，x∈[0,1]，
而收敛，所以原级数在[0,1]上一致收敛．
（3）∵，x∈（-∞,+∞），
而是收敛的等比级数，所以原级数在（-∞,+∞）上一致收敛．
（4）因为，x∈（-5,5），
由比值审敛法可知收敛，故原级数在（-5,5）上一致收敛．
（5）∵，x∈（-∞,+∞），
而是收敛的P-级数，所以原级数在（-∞,+∞）上一致收敛．
10．若在区间Ⅰ上，对任何自然数n．都有|Un（x）|≤Vn（x），则当在Ⅰ上一致收敛时，级数在这区间Ⅰ上也一致收敛．
证：
由在Ⅰ上一致收敛知，ε>0，N（ε）>0，使得当n>N时，x∈Ⅰ有
|Vn+1（x）+Vn+2（x）+…+Vn+p（x）|<ε，
于是，ε>0，N（ε）>0，使得当n>N时，x∈Ⅰ有
|Un+1（x）+Un+2（x）+…+Un+p（x）|≤Vn+1（x）+Vn+2（x）+…+Vn+p（x）≤|Vn+1（x）+Vn+2（x）+…+Vn+p（x）|<ε，
因此，级数在区间Ⅰ上处处收敛，由x的任意性和与x的无关性，可知在Ⅰ上一致收敛．
11．求下列幂级数的收敛半径及收敛域：
（1）x+2x2+3x3+…+nxn+…；
（2）；
（3）；（4）；
解：
（1）因为，所以收敛半径收敛区间为（-1,1），而当x=±1时，级数变为，由知级数发散，所以级数的收敛域为（-1,1）．
（2）因为
所以收敛半径，收敛区间为（-e,e）．
当x=e时，级数变为；应用洛必达法则求得，故有由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x=-e时，级数也发散，故收敛域为（-e,e）．
（3）级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．
所以当x2<1即|x|<1时，级数收敛，x2>1即|x|>1时，级数发散，故收敛半径R=1．
当x=1时，级数变为，当x=-1时，级数变为，由知，发散，从而也发散，故原级数的收敛域为（-1,1）．
（4）令t=x-1，则级数变为，因为
所以收敛半径为R=1．收敛区间为-1当t=1时，级数收敛，当t=-1时，级数为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．
所以，原级数收敛域为0≤x≤2，即[0,2]
12．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数：
（1）；
（2）；
解：
（1）由知，当|x|=<1时，原级数收敛，而当|x|=1时，的通项不趋于0，从而发散，故级数的收敛域为（-1,1）．
记易知的收敛域为（-1,1），记
则
于是，所以
（2）由知，原级数当|x|<1时收敛，而当|x|=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为（-1,1），记，易知级数收敛域为（-1,1），记，则，
故即，，所以
13．将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间：
（1）f（x）=ln（2+x）；
（2）f（x）=cos2x；
（3）f（x）=（1+x）ln（1+x）；（4）；
（5）；（6）；
（7）f（x）=excosx；（8）．
解：
（1）
由于，（-1故，（-2≤x≤2）
因此，（-2≤x≤2）
（2）
由，（-∞得
所以
，（-∞（3）f（x）=（1+x）ln（1+x）
由，（-1≤x≤1）
所以
（-1≤x≤1）
（4）
由于 （-1≤x≤1）
故
（-1≤x≤1）
（5）
（6）由，x∈（-∞,+∞）
得，x∈（-∞,+∞）
所以
（7）因为为的实部，
而
取上式的实部．得 （-∞（8）由于 |x|<1
而，所以
（|x|<2）
14．将展开成（x+4）的幂级数．
解：
而
又
所以
15．将函数展开成（x-1）的幂级数．
解：
因为
所以
（-1即16．利用函数的幂级数展开式，求下列各数的近似值：
（1）ln3（误差不超过）；
（2）cos20（误差不超过）
解：
（1），x∈（-1,1）
令，可得，
故
又
故
．
因而取n=6则
（2）
∵；
故
17．利用被积函数的幂级数展开式，求定积分
（误差不超过）的近似值．
解：
由于，（-1≤x≤1）
故
而，，．
因此
18．判别下列级数的敛散性：
（1）；
（2）；
（3）．
解：
（1）∵
而
故级数发散，由比较审敛法知原级数发散．
（2）∵
由比值审敛法知级数收敛，由比较审敛法知，原级数收敛．
（3）∵
由
知级数收敛，由比较审敛法知，原级数收敛．
19．若存在，证明：
级数收敛．
证：
∵存在，∴M>0，使|n2Un|≤M，
即n2|Un|≤M，|Un|≤
而收敛，故绝对收敛．
20．证明，若收敛，则绝对收敛．
证：
∵
而由收敛，收敛，知
收敛，故收敛，
因而绝对收敛．
21．若级数与都绝对收敛，则函数项级数在R上一致收敛．
证：
Un（x）=ancosnx+bnsinnx，x∈R有
由于与都绝对收敛，故级数收敛．
由魏尔斯特拉斯判别法知，函数项级数在R上一致收敛．
22．计算下列级数的收敛半径及收敛域：
（1）；
（2）；
（3）
解：
（1）
∴，
又当时，级数变为，
因为
所以当，级数发散，故原级数的收敛半径，收敛域（-,）．
（2）
故，
又∵．
所以当（x+1）=±2时，级数发散，
从而原级数的收敛域为-2（3）
∴，收敛区间-2当x=-1时，级数变为，其绝对收敛，当x=3时，级数变为，收敛．
因此原级数的收敛域为[-1,3]．
23．将函数展开成x的幂级数．
解：
由于
所以
（|x|≤1）
24．判别下列级数在指定区间上的一致收敛性：
（1），x∈[-3,+∞）；
（2），x∈（2,+∞）；
（3），x∈（-∞,+∞）；
解：
（1）考虑n≥2时，当x≥-3时，有
而收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数在[-3,+∞）上一致收敛．
（2）当x>2时，有
由知级数收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数在（2,+∞）上一致收敛．
（3）x∈R有
而收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数在（-∞,+∞）上一致收敛．
25．求下列级数的和函数：
（1）；
（2）；
（3）；（4）．
解：
（1）可求得原级数的收敛半径R=1，且当|x|=1时，级数是收敛的交错级数，故收敛域为[-1,1]
记
则S1（0）=0,
所以
即S1（x）=arctanx，所以S（x）=xarctanx，x∈[-1,1]．
（2）可求得原级数的收敛半径R=1，且当|x|=1时，原级数发散．记则
，即，S（0）=0
所以，（|x|<1）
（3）由知收敛域为（-∞,+∞）．记则，所以
，（-∞（4）由知收敛半径R=1，当x=1时，级数变为，由知级数收敛，当x=-1时，级数变为是收敛的交错级数，故收敛域为[-1,1]．
记则S（0）=0，，
（x≠1）
所以
即
即
当x≠0时，，又当x=1时，可求得S
（1）=1
（∵）
综上所述
26．设f（x）是周期为2π的周期函数，它在（-π,π]上的表达式为
试问f（x）的傅里叶级数在x=-π处收敛于何值
解：
所给函数满足狄利克雷定理的条件，x=-π是它的间断点，在x=-π处，f（x）的傅里叶级数收敛于
27．写出函数的傅里叶级数的和函数．
解：
f（x）满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f（x），在间断点x=0，x=±π处，分别收敛于，，，综上所述和函数．
28．写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f（x）在[-π,π）上的表达式为：
（1）
（2）；
（3）
（4）.
解：
（1）函
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