初中数学代数几何解题技巧.docx

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初中数学代数几何解题技巧

如何用好题目中的条件暗示

有一类题目，我们在解前面几小题时，其解题思路和方法往往对解后面问题起着很好的暗示作用，现以一次函数中出现的两道题目为例予以说明，供同学们在学习过程中参考。

【例1】直线与x轴、y轴分别交于B、A两点，如图1。

图1

（1）求B、A两点的坐标；

（2）把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平面上的点C处，以BC为一边作等边△BCD。

求D点的坐标。

      解析：

（1）容易求得，A（0，1）。

（2）如图2，

图2

      ∵，A（0，1），

      ∴OB=，OA=1。

      ∴在Rt△AOB中，容易求得∠OBA=30°

      ∵把△AOB以直线AB为轴翻折，

      ∴∠OBC=2∠OBA=60°，BO=BC。

      ∴△OBC是等边三角形

      以BC为一边作等边△BCD，则D的落点有两种情形，可分别求得D的坐标为（0，0），。

反思：

在求得第

（1）小题中B、A两点的坐标分别为B（，0），A（0，1），实质上暗示着Rt△AOB中，OA=1，OB=，即暗示着∠OBA=30°，为解第

（2）小题做了很好的铺垫。

      【例2】直线与x轴、y轴分别交于A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，且点P（1，a）为坐标系中的一个动点，如图3。

图3

（1）求三解形ABC的面积。

（2）证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；

      （3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值。

      解析：

（1）容易求得：

A（，0），B（0，1），

      ∴。

（2）如图4，连接OP、BP，过点P作PD垂直于y轴，垂足为D，则三角形BOP的面积为，故不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数。

图4

      （3）如图4，①当点P在第四象限时由第

（2）小题中的结果：

，和第（3）小题的条件可得：

      ∴，

      ∵，

      ∴，∴。

      ②如图5，当点P在第一象限时，用类似的方法可求得a=。

图5

      反思：

由第

（1）小题中求得的和第

（2）小题中证明所得的结论：

三角形BOP的面积是一个常数，实质上暗示着第（3）小题的解题思路：

利用

来解。

通过这两道题目的分析可以发现，在解题过程中，如果经常回头看一看、想一想，我们往往会发现，很多题目的解题思路原来就在题目之中。

双人旁：

得、往、很分式运算的几点技巧

分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。

但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。

一.分段分步法

 例1.计算：

解：

原式

说明：

若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。

同类方法练习题：

计算

（答案：

）

二.分裂整数法

 例2.计算：

   解：

原式

说明：

当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。

同类方法练习题：

有一些“幸福”牌的卡片（卡片数目不为零），团团的卡片比这些多6张，圆圆的卡片比这些多2张，且知团团的卡片是圆圆的整数倍，求团团和圆圆各多少张卡片？

（答案：

团团8张，圆圆4张）

三.拆项法

 例3.计算：

解：

原式

说明：

对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。

在解某些分式方程中，也可使用拆项法。

同类方法练习题：

计算：

（答案：

）

四.活用乘法公式

 例4.计算：

解：

当且时，

原式

说明：

在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。

同类方法练习题：

计算：

（答案：

）

五.巧选运算顺序

 例5.计算：

解：

原式

说明：

此题若按两数和（差）的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号内的。

同类方法练习题：

解方程

（答案：

）

六.见繁化简

 例6.计算：

解：

原式

说明：

若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。

同类方法练习题：

解方程

（答案：

）

在分式运算中，应根据分式的具体特点，灵活机动，活用方法。

方能起到事半功倍的效率。

多边形内角和问题的求解技巧

彳双人旁（徐往）目目字旁（眼睛盯）1、多边形的每个内角与和它相邻的外角互为补角。

这个条件在题目中一般不会作为已知条件给出，因此，在解题时应根据需要加以利用。

      例1 一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°，求此正多边形的边数。

      分析：

由于这个正多边形的每个外角与和它相邻的内角互为邻补角，根据题意，可先求出外角的大小，再求边数。

      解：

设每个外角的大小为x°，则与它相邻的内角的大小为（3x+20）度。

根据题意，得

      解得，即每个外角都等于40°。

      所以，即这个正多边形的边数为9。

 2、利用多边形内角和公式求多边形的边数时，经常设边数为n，然后列出方程或不等式，利用代数方法解决几何问题。

      例2 已知一个多边形的每个内角都等于135°，求这个多边形的边数。

      解法1：

设多边形的边数为n，依题意，得

解得n=8，即这个多边形的边数为8。

解法2：

依题意知，这个多边形的每个外角是180°－135°=45°。

所以，多边形的边数，即这个多边形的边数为8。

 3、正多边形各内角相等，因此各外角也相等。

有时利用这种隐含关系求多边形的边数，比直接利用内角和求边数简捷（如上题解法2）。

解题时要注意这种逆向思维的运用。

例3 一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2570°，求这个多边形的边数。

分析：

从已知条件可知这是一个与多边形内角和有关的问题。

由于除去一个内角后，其余内角之和为2570°，故该多边形的内角和比2570°大。

又由相邻内、外角间的关系可知，内角和比2570°+180°小。

可列出关于边数n的不等式，先确定边数n的范围，再求边数。

解：

设这个多边形的边数为n，则内角和为（n－2）·180°。

依题意，得

解这个不等式，得。

所以n=17，即这个多边形的边数为17。

说明：

这类题都隐含着边数为正整数这个条件。

 4、把不规则图形转化为规则图形是研究不规则图形的常用方法，其解题关键是构造合适的图形。

      例4 如图1，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的大小。

图1

      分析：

解题关键是把该图形与凸多边形联系起来，从而利用多边形内角和定理来解决，因此可考虑连接CF。

      解：

连接CF。

      ∵∠COF=∠DOE

      ∴∠1+∠2=∠OCF+∠OFC

      ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7

      =∠OCF+∠OFC+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7

      =（5－2）×180°

证明三角形全等的一般思路

一、当已知两个三角形中有两边对应相等时，找夹角相等（SAS）或第三边相等（SSS）。

例1.如图1，已知：

AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，且B、C、D在同一条直线上。

求证：

AD＝BE

分析：

要证AD＝BE

注意到AD是△ABD或△ACD的边，BE是△DEB或△BCE的边，只需证明△ABD≌△DEB或△ACD≌△BCE，显然△ABD和△DEB不全等，而在△ACD和△BCE中，AC＝BC，CD＝CE，故只需证它们的夹角∠ACD＝∠BCE即可。

而∠ACD＝∠ACE＋60°，∠BCE＝∠ACE＋60°

故△ACD≌△BCE（SAS）

二、当已知两个三角形中有两角对应相等时，找夹边对应相等（ASA）或找任一等角的对边对应相等（AAS）

例2.如图2，已知点A、B、C、D在同一直线上，AC＝BD，AM∥CN，BM∥DN。

求证：

AM＝CN

分析：

要证AM＝CN

只要证△ABM≌△CDN，在这两个三角形中，由于AM∥CN，BM∥DN，可得

∠A＝∠NCD，∠ABM＝∠D

可见有两角对应相等，故只需证其夹边相等即可。

又由于AC＝BD，而

故AB＝CD

故△ABM≌△CDN（ASA）

三、当已知两个三角形中，有一边和一角对应相等时，可找另一角对应相等（AAS，ASA）或找夹等角的另一边对应相等（SAS）

例3.如图3，已知：

∠CAB＝∠DBA，AC＝BD，AC交BD于点O。

求证：

△CAB≌DBA

分析：

要证△CAB≌△DBA

在这两个三角形中，有一角对应相等（∠CAB＝∠DBA）

一边对应相等（AC＝BD）

故可找夹等角的边（AB、BA）对应相等即可（利用SAS）。

四、已知两直角三角形中，当有一边对应相等时，可找另一边对应相等或一锐角对应相等

例4.如图4，已知AB＝AC，AD＝AG，AE⊥BG交BG的延长线于E，AF⊥CD交CD的延长线于F。

求证：

AE＝AF

分析：

要证AE＝AF

只需证Rt△AEB≌Rt△AFC，在这两个直角三角形中，已有AB＝AC

故只需证∠B＝∠C即可

而要证∠B＝∠C

需证△ABG≌△ACD，这显然易证（SAS）。

五、当已知图形中无现存的全等三角形时，可通过添作辅助线构成证题所需的三角形

例5.如图5，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是中线，AE⊥BD于F，交BC于E。

求证：

∠ADB＝∠CDE

分析：

由于结论中的两个角分属的两个三角形不全等，故需作辅助线。

注意到AE⊥BD，∠BAC＝90°，有∠1＝∠2，又AB＝AC。

故可以∠2为一内角，以AC为一直角边构造一个与△ABD全等的直角三角形，为此，过C作CG⊥AC交AE的延长线于G，则△ABD≌△CAG，故∠ADB＝∠CGA。

对照结论需证∠CGA＝∠CDE

又要证△CGE≌△CDE，这可由

CG＝AD＝CD，∠ECG＝∠EBA＝∠ECD，CE＝CE而获证。

王字旁：

玩、球

计算线段长度的方法技巧

王马日巴义里那力对云心日线段是基本的几何图形，是三角形、四边形的构成元素。

初一同学对于线段的计算感到有点摸不着头绪。

这是介绍几个计算方法，供同学们参考。

1.利用几何的直观性，寻找所求量与已知量的关系

例1.如图1所示，点C分线段AB为5：

7，点D分线段AB为5：

11，若CD＝10cm，求AB。

图1

分析：

观察图形可知，DC＝AC－AD，根据已知的比例关系，AC、AD均可用所求量AB表示，这样通过已知量DC，即可求出AB。

解：

因为点C分线段AB为5：

7，点D分线段AB为5：

11

所以

又

又因为CD＝10cm，所以AB＝96cm

2.利用线段中点性质，进行线段长度变换

例2.如图2，已知线段AB＝80cm，M为AB的中点，P在MB上，N为PB的中点，且NB＝14cm，求PA的长。

图2

分析：

从图形可以看出，线段AP等于线段AM与MP的和，也等于线段AB与PB的差，所以，欲求线段PA的长，只要能求出线段AM与MP的长或者求出