补课讲义平面向量doc.docx

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平面向量

一、　平面向量的概念及线性运算

基础梳理

1．向量的有关概念

（1）向量：

既有的量叫向量；向量的大小叫做向量的

（2）零向量：

长度等于的向量，其方向．（3）单位向量：

长度等于的向量．

（4）平行向量：

方向的非零向量，又叫共线向量，规定：

0与任一向量共线．

（5）相等向量：

的向量．

（6）相反向量：

向量．

2．向量的线性运算

向量运算

定　义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则

（3）交换律：

a＋b＝b＋a.

（2）结合律：

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则

a－b＝a＋（－b）

3.向量的数乘运算及其几何意义

（1）定义：

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

（2）运算律：

设λ，μ是两个实数，则①λ（μa）＝（λμ）a；②（λ＋μ）a＝λa＋μa；③λ（a＋b）＝λa＋λb.

4．共线向量定理

向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

.方法与要点

1、一条规律

一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．

2、两个防范

（1）向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．

（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

C.双基自测

1．（人教A版教材习题改编）D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于（　　）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．－＋B．－－C.－D.＋

2．判断下列四个命题：

①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.

正确的个数是（　　）．

A．1B．2C．3D．4

3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（　　）．

A.＝＋B.＝－C.＝－＋D.＝－－

4．（2011·四川）如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝（　　）．

A．0B.C.D.

5．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________.

D.考点解析

考点一　平面向量的概念

【例1】►下列命题中正确的是（　　）．

A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线

B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点

C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行

【训练1】给出下列命题：

①若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

②若a＝b，b＝c，则a＝c；③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；

④若a与b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．其中正确命题的序号是________．

考点二　平面向量的线性运算

【例2】►如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（　　）．

A.＋＋＝0B.－＋＝0

【训练2】在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则＝（　　）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.b＋cB.c－bC.b－cD.b＋c

考向三　共线向量定理及其应用

【例3】►设两个非零向量a与b不共线．

（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b）求证：

A，B，D三点共线；

【训练3】（2011·兰州模拟）已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb（λ，μ∈R），那么A，B，C三点共线的充要条件是（　　）．

A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1

二、　平面向量基本定理及其坐标表示

A.基础梳理

1．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量坐标运算

（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则

a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝（λx1，λy1），|a|＝.

（2）向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x2－x1，y2－y1），||＝.

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．

B.方法与要点

1、一个区别

向量坐标与点的坐标的区别：

在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为（x，y），但应注意其表示形式的区别，如点A（x，y），向量a＝＝（x，y）．

当平面向量平行移动到时，向量不变，即＝＝（x，y），但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．

2、两个防范

（1）要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．

（2）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.

C.双基自测

1．（人教A版教材习题改编）已知a1＋a2＋…＋an＝0，且an＝（3,4），则a1＋a2＋…＋an－1的坐标为（　　）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．（4,3）B．（－4，－3）C．（－3，－4）D．（－3,4）

解析　a1＋a2＋…＋an－1＝－an＝（－3，－4）．答案　C

2．若向量a＝（1,1），b＝（－1,1），c＝（4,2），则c＝（　　）．

A．3a＋bB．3a－bC．－a＋3bD．a＋3b

解析　设c＝xa＋yb，则∴∴c＝3a－b.答案　B

3．（2012·郑州月考）设向量a＝（m,1），b＝（1，m），如果a与b共线且方向相反，则m的值为（　　）．

A．－1B．1C．－2D．2

解析　设a＝λb（λ＜0），即m＝λ且1＝λm.解得m＝±1，由于λ＜0，∴m＝－1.答案　A

4．设向量a＝（1，－3），b＝（－2,4），若表示向量4a、3b－2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，

则向量c＝（　　）．

A．（4,6）B．（－4，－6）C．（4，－6）D．（－4,6）

解析　设c＝（x，y），则4a＋（3b－2a）＋c＝0，

∴∴答案　C

5．已知向量a＝（2，－1），b＝（－1，m），c＝（－1,2），若（a＋b）∥c，则m＝________.

解析　a＋b＝（1，m－1）．∵（a＋b）∥c，∴2－（－1）（m－1）＝0，∴m＝－1.答案　－1　　

D.考点解析

考点一　平面向量基本定理的应用

【例1】►如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，

M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.

[审题视点]由B，H，C三点共线可用向量，来表示.

解析　由B，H，C三点共线，可令＝x＋（1－x），又M是AH的中点，所以＝＝x＋（1－x），又＝λ＋μ.所以λ＋μ＝x＋（1－x）＝.答案　

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．

【训练1】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若＝x＋y，

则x＝________，y＝________.

解析　以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图，

令AB＝2，则＝（2,0），＝（0,2），过D作DF⊥AB交AB的延长线于F，

由已知得DF＝BF＝，则＝（2＋，）．

∵＝x＋y，∴（2＋，）＝（2x,2y）．

即有解得

另解：

＝＋＝＋，所以x＝1＋，y＝.答案　1＋　

考点二　平面向量的坐标运算

【例2】►已知A（－2,4），B（3，－1），C（－3，－4），且＝3，＝2.求M，N的坐标和.

[审题视点]求，的坐标，根据已知条件列方程组求M，N.

解　∵A（－2,4），B（3，－1），C（－3，－4），∴＝（1,8），＝（6,3）．

∴＝3＝3（1,8）＝（3,24），＝2＝2（6,3）＝（12,6）．

设M（x，y），则＝（x＋3，y＋4）．

∴得∴M（0,20）．同理可得N（9,2），∴＝（9－0,2－20）＝（9，－18）．

利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．

【训练2】在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝（2,4），＝（1,3），则＝（　　）．　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．（－2，－4）B．（－3，－5）C．（3,5）D．（2,4）

解析　由题意得＝－＝－＝（－）－＝－2＝（1,3）－2（2,4）＝（－3，－5）．答案　B

考点三　平面向量共线的坐标运算

【例3】►已知a＝（1,2），b＝（－3,2），是否存在实数k，使得ka＋b与a－3b共线，且方向相反？

[审题视点]根据共线条件求k，然后判断方向．

解　若存在实数k，则ka＋b＝k（1,2）＋（－3,2）＝（k－3，2k＋2），a－3b＝（1,2）－3（－3,2）＝（10，－4）．

若这两个向量共线，则必有（k－3）×（－4）－（2k＋2）×10＝0.

解得k＝－.这时ka＋b＝，

所以ka＋b＝－（a－3b）．即两个向量恰好方向相反，故题设的实数k存在．

向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值．

【训练3】（2011·西安质检）已知向量a＝（1,2），b＝（2，－3），若向量c满足（c＋a）∥b，c⊥（a＋b），则c＝（　　）．

A.B.C.D.

解析　设c＝（m，n），则a＋c＝（1＋m,2＋n），a＋b＝（3，－1）．

∵（c＋a）∥b，∴－3×（1＋m）＝2×（2＋n），又c⊥（a＋b），∴3m－n＝0，解得m＝－，n＝－.答案　D

三、　平面向量的数量积

A.基础梳理

1．两个向量的夹角

已知两个非零向量a和b（如图），作＝a，＝b，则∠AOB＝θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.

2．两个向量的数量积的定义

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，

即a·b＝|a||b|cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.

3．向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的数量积．

4．向量数量