大学物理 动量动量守恒定律习题和解答.docx
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大学物理动量动量守恒定律习题和解答
第二章动量、动量守恒定律
2—1质量为m的子弹以速率v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速
度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：
（1）子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系；
（2）子弹射入沙土的最大深度。
[解]设任意时刻子弹的速度为v，子弹进入沙土的最大深度为s，由题意知，子弹所受的阻力f=-kv
（1）由牛顿第二定律
f=ma=mdv
dt
即-kv==mdvdt
所以dv=-kdt
对等式两边积分
vm
dt
⎰vdv=-k⎰t
v0v
得lnvv0
m0
=-kt
m
因此
（2）由牛顿第二定律
-
kt
v=v0em
f=ma=mdv=mdvdx=mvdv
dt
即-kv=mvdvdx
所以-kdx=dvm
dxdtdx
对上式两边积分
ks
-⎰
dx
=⎰dv
0
m0v0
得到-ks=-vm0
即s=mv0
k
2—2质量为m的小球，在水中受到的浮力为F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f＝kv（k为常数）。
若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v与时间的关系为
ç
mg-F⎛
v=1-e
-
kt⎫
m⎪
k⎝⎭
[证明]任意时刻t小球的受力如图所示，取向下为y轴的正方向，开始沉降处为坐标原
点
由牛顿第二定律
即
mg-F-f=ma=mdv
dt
mg-F-kv=ma=mdv
dt
整理得
dv
mg-F-kv
=dt
m
对上式两边积分
⎰vdv=⎰tdt
0mg-F-kv0m
得ln
mg-F-kvmg-F
=-kt
m
即v=
mg-F⎛
ç
1-e
-
kt⎫
m⎪
k⎝⎭
T
2—3跳伞运动员与装备的质量共为m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即F=kv2。
求跳伞员的运动速率v随时间t变化的规律和极限速率v。
[解]设运动员在任一时刻的速率为v，极限速率为vT，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。
T
此时mg=kv2
mg
k
即vT=
有牛顿第二定律
mg-kv2=mdv
dt
整理得
dvmg-kv2
=dt
m
对上式两边积分
vdv=tdt1
⎰0mg-kv2⎰0m2
mgk
mg-kv
mg+kv
得ln=tm
整理得
2t
mkg
e-1mg
2t
k
v=
mkg
e+1
2t
mkg
=
v
e-1
mkg
2tT
e+1
2—4一根线密度为λ的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面。
现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离s时对桌面的瞬时作用力。
[解]链条对桌面的作用力由两部分构成：
一是已下落的s段对桌面的压力N1，另一部分是正在下落的dx段对桌面的冲力N2，桌面对dx段的作用力为N2'。
显然
N1=λsg
2gs
取正在下落的dx段链条为研究对象，它在dt时间之内速度由v=变为零，根据动量定
理
由
（2）、（3）式得
N2'dt=dp
dp=0-λvdx
dx=vdt
N2'=-2sgλ
N2=-N2'=2sgλ
（1）
（2）
（3）
故链条对桌面的作用力为N=N1+N2=3λsg
2—5一半径为R的半球形碗，内表面光滑，碗口向上固定于桌面上。
一质量为m的小球正以角速度沿碗的内面在水平面上作匀速率圆周运动。
求小球的运动水平面距离碗底的高度。
[分析]小钢球沿碗内壁作圆周运动，其向心力是由内壁对它的支承力的分力提供的，而支承力的方向始终与该点内壁相垂直，显然，不同的角速度对应不同大小和方向的支承力。
[解]设小球的运动水平面距碗底的高度为h，小球受力如图所示，则
Nsinθ=mg
Ncosθ=mω2r
sinθ=R-h
⎭
R
cosθ=r
R
⎝
由以上四式得
h=R⎛1-g⎫
çω2R⎪
2—6一飞车运动员在一个呈锥形内表面的演出舱内进行表演。
若人与车的质量为m，锥面的半顶角为θ。
飞车运动员恰好在一水平面内作匀速率圆周运动，其速率为v0。
忽略摩擦
阻力，试作飞车运动员及车的受力图，并将圆周的半径用v0、g和θ表示之。
[解]飞车运动员的及车的受力如图所示，设其距锥面顶点的高度为h，则
Nsinθ=mg
v
2
Ncosθ=m0
0
r
联立两式得
r=v2ctgθg
2—7在光滑的竖直圆环上，套有两个质量为m的小球A和B，并用轻而不易拉伸的绳子把两球联结起来。
两球由图示位置开始释放，试求此时绳上的张力。
[解]小球A和B受力如图，因绳子不可伸长，开始释放时球的速度为零，小球A和B的切向加速度at相等，法向加速度为零，则
p
对A球对B球
Tsin4=mat
=mat
2mg
mg-Tsinπ
4
由上面两式得T=
2
2—8一人造地球卫星质量m=1327kg，在离地面h=1.85⨯106m的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。
求：
（1）卫星所受向心力f的大小；
（2）卫星的速率v；（3）卫星的转动周期T。
[解]卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力
f=G
M地m
e
（R+h）2
R
2
g=GM地
e
R2
由上面两式得f=mge=1327⨯9.8⨯
（6378⨯103）2
=7.82⨯103N
e
（R+h）2
（6378⨯103+1.85⨯106）2
（2）由牛顿第二定律
f=m
v2
Re+h
f（R+h）
e
m
7.82⨯103⨯（6378⨯103+1.85⨯106）
1327
v===6.96⨯103ms
（3）卫星的运转周期
T=
2π（R+h）=
e
v
2π（6378⨯103+1.85⨯106）
6.96⨯103
=7.43⨯103s=2h3min40s
2—9试求赤道上方的地球同步卫星距地面的高度。
[解]设同步卫距地面高度为h，距地心为R+h，则
GMm=mrω2
r2
GMm=mgR2
所以GM=gR2
⎛gR2⎫13
çω2
代入第一式中
r=ç⎪
⎝⎭
ω=2π
=7.27⨯10-5rads
24⨯3600
解得r=4.22⨯107m
h=r-R=4.22⨯107-6.37⨯106=3.58⨯104m
2—10自动步枪连发时每分钟射出120发子弹，每颗子弹的质量为m＝7.90g，出口速率为
735ms，求射击时（以分钟计）抢托对肩的平均压力。
[解]取∆t时间之内射出的子弹为研究对象，作用在子弹上的平均力为N'，根据动量定理
N'∆t=∆p
∆m120∆tv-0
所以N'=p=60=2mv=2⨯7.90⨯10-3⨯735=11.6N
∆t∆t
故枪托对肩部的平均压力为
N=N'=11.6N
2—11水力采煤是利用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层。
设水柱直径为D=30mm，水速v=56ms，水柱垂直射到煤层表面上，冲击煤层后速度变为零。
求水柱对煤层的平均冲力。
[解]取长为dx的一段水柱为研究对象，设它受到的煤层的作用力为N'，根据动量定理
N'dt=dp
所以N'=dp=
dt
dt
（30⨯10-3）2
=-πD
0-dx⋅π⋅（D2）2ρv
2
4
ρv2
故水柱对煤层的平均冲力
=-π⨯
⨯1⨯103⨯562=-2.22⨯103N
4
N=-N'=2.22⨯103N
2—12F＝30+4t的力作用在质量为10kg的物体上，求：
（1）在开始两秒钟内，此力的冲量是多少?
（2）要使冲量等于300N⋅s，此力作用的时间为多少?
（3）若物体的初速度为10
ms，方向与F相同，在t=6.86s时，此物体的速度是多少?
[解]根据冲量定义
I=⎰Fdt=⎰（30+4t）dt=30t+2t2
tt
00
（1）开始两秒钟此力的冲量
（2）当I=300N⋅s时
I=30t+2t2=30⨯2+2⨯22=68N⋅s
2
30t+2t2=300
解得t=6.86s
（3）当t=6.86s时，I=300N⋅s，根据动量定理
I=∆p=mv-mv0
因此v=I+mv0=300+10⨯10=40ms
m10
2—13质量为m的质点，以不变速率v沿图示三角形ABC的水平光滑轨道运动。
求质点越过角A时，轨道作用于质点冲量的大小。
[解]如图所示，质点越过A角时动量的改变为
21
∆p=m（v-v）
由图知∆p的大小
∆p=2mvsin600=
3mv
根据动量定理
I=∆p=
3mv
2—14质量为m的质点在xOy平面内运动，其运动方程r=acosωti+bsinωtj，试求：
（1）
2π
质点的动量；
（2）从t＝0到t=ω
点的动量是否守恒?
为什么?
[解]质点的速度
这段时间内质点受到的合力的冲量；（3）在上述时间内，质
（1）质点的动量
v=dr=-aωsinωti+bωcosωtjdt
p=mv=mω（-asinωti+bωcosωtj）
（1）
（2）由
（1）式得t=0时，质点的速度v0=bωj
t=2π
w
时，质点的速度为
vt=-aωsin2πi+bωcos2πj=bωj
根据动量定理
I=∆p=mvt-mv0=0
（3）质点的动量不守恒，因为质点的速度随时间t变化，故动量也随时间t变化。
2—15将一空盒放在台秤盘上，并将台秤的读数调节到零，然后从高出盒底h处将石子以每秒n个的速率连续注入盒中，每一石子的质量为m。
假定石子与盒子的碰撞是完全非弹性的，试求石子开始落入盒后t秒时，台秤的
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