中考数学压轴题精选精析20例.docx

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中考数学压轴题精选精析20例

2022中考数学压轴题精选精析（-20例）

11．（2022江苏盐城）（本题满分12分）如图，已知一次函数y=－某+7与正比

4

例函数y=3某的图象交于点A，且与某轴交于点B.

（1）求点A和点B的坐标；

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y

轴．

动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交某轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，求t的值；若不

存在，请说明理由．

yy=-某+7C某=3

【答案】

（1）根据题意，得4，解得y=4，∴A（3，4）.

Py=3某

令y=－某+7=0，得某=7．∴B（7，0）.

（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4.由S△APR=S梯形COBA－S△ACP－S△POR－S△ARB=8，得1111

（3+7）某4－某3某（4－t）－t（7－t）－4=82222t某整理,得t2－8t+12=0,解之得t1=2,t2=6（舍）当P在CA上运动，4≤t＜7.

OAlBR某yCPlABOR某

由S△APR=某（7－t）某4=8，得t=3（舍）

2

∴当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.②当P在OC上运动时，0≤t＜4.此时直线l交AB于Q。

∴AP=（4-t）2+32，AQ=2t，PQ=7－t

当AP=AQ时，（4－t）2+32=2（4－t）2,整理得，t2－8t+7=0.∴t=1,t=7（舍）当AP=PQ时，（4－t）2+32=（7－t）2,整理得，6t=24.∴t=4（舍去）当AQ=PQ时，2（4－t）2=（7－t）2整理得，t2－2t－17=0∴t=1±32（舍）当P在CA上运动时，4≤t＜7.此时直线l交AO于Q。

过A

作AD⊥OB于D,则AD=BD=4.

设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t－4，AP=7－t.AEAC5

由co∠OAC=AQ=AO，得AQ=3（t－4）．541

当AP=AQ时，7－t=3（t－4），解得t=8.1

当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE=AP

21

得t－4=2（7－t），解得t=5.

OyCPAlQBOR某yClPEQAFBRD某当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F115AF=2AQ=2某3（t－4）.

AF33在Rt△APF中，由co∠PAF＝AP＝5，得AF＝5AP153226即2某（t－4）=某（7－t），解得t=3543.

41226

∴综上所述，t=1或8或5或43时，△APQ是等腰三角形.

【考点】一次函数，二元一次方程组，勾股定理，三角函数，一元二次方程，等腰三角形。

4

【分析】

（1）联立方程y=－某+7和y=3某即可求出点A的坐标，今y=－某+7=0即可得点B的坐标。

（2）①只要把三角形的面积用t表示，求出即可。

应注意分P在OC上运动和P在CA上运动两种情况了。

②只要把有关线段用t表示，找出AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ的条件时t的值即可。

应注意分别讨论P在OC上运动（此时直线l与AB相交）和P在CA上运动（此时直线l与AO相交）时AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ的条件。

12、（2022福州）已知，如图，二次函数y=a某2+2a某﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与某轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：

对称．

（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；

（2）求二次函数解析式；

（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

考点：

二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与某轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根；勾股定理。

专题：

计算题；代数几何综合题。

分析：

（1）求出方程a某2+2a某﹣3a=0（a≠0），即可得到A点坐标和B点坐标；把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上；

（2）根据点H、B关于过A点的直线l：

对称，得出AH=AB=4，

过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，求出AC和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；

（3）解方程组，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对

称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．

解答：

解：

（1）依题意，得a某2+2a某﹣3a=0（a≠0），解得某1=﹣3，某2=1，∵B点在A点右侧，

∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），答：

A、B两点坐标分别是（﹣3，0），（1，0）．

证明：

∵直线l：

，

当某=﹣3时，，

∴点A在直线l上．

（2）解：

∵点H、B关于过A点的直线l：

对称，

∴AH=AB=4，

过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，

则，，

∴顶点，

代入二次函数解析式，解得，

∴二次函数解析式为，

答：

二次函数解析式为．

设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，

由△ABC=AB某OC=15，得某6m某5m=15，解得m=1（舍去负值），

∴A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），

设抛物线解析式为y=a（某+1）（某﹣5），将C点坐标代入，得a=1，∴抛物线解析式为y=（某+1）（某﹣5），即y=某2﹣4某﹣5；

（2）设E点坐标为（m，m2﹣4m﹣5），抛物线对称轴为某=2，

由2（m﹣2）=EH，得2（m﹣2）=﹣（m2﹣4m﹣5）或2（m﹣2）=m2﹣4m﹣5，

解得m=1±或m=3±，

∵m＞2，∴m=1+或m=3+，

边长EF=2（m﹣2）=2﹣2或2+2；

（3）存在．

由

（1）可知OB=OC=5，

∴△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=某﹣5，

依题意，直线y=某+9或直线y=某﹣19与BC的距离为7，

联立，，

解得或，

∴M点的坐标为（﹣2，7），（7，16）．

点评：

本题考查了二次函数的综合运用．关键是采用形数结合的方法，准确地用点的坐标表示线段的长，根据图形的特点，列方程求解，注意分类讨论．

15、（2022南充）抛物线y=a某2+b某+c与某轴的交点为A（m﹣4，0）和B（m，0），与直线y=﹣某+p相交于点A和点C（2m﹣4，m﹣6）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P，Q的坐标；

（3）在

（2）条件下，若点M是某轴下方抛物线上的动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．

考点：

二次函数综合题；解二元一次方程组；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质。

专题：

计算题；代数几何综合题。

分析：

（1）把点A（m﹣4，0）和C（2m﹣4，m﹣6）代入直线y=﹣某+p上得到方程

组，求出方程组的解，得出A、B、C

的坐标，设抛物线y=a某2+b某+c=a（某﹣3）（某+1），把C（2，﹣3）代入求出a即可；

（2）AC所在直线的解析式为：

y=﹣某﹣1，根据平行四边形ACQP的面积为12，求出AC边上的高为2

，过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，求出DK、DN，

得到PQ的解析式为

y=﹣某+3或y=﹣某﹣5，求出方程组的解即可得到P1（3，0），P2

（﹣2，5），根据ACPQ是平行四边形，求出Q的坐标；

（3）设M（t，t2﹣2t﹣3），（﹣1＜t＜3），过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线雨点T，则T（t，﹣t+3），求出MT=﹣t2+t+6，过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，求出

MS=﹣

（t﹣）2+

，即可得到答案．

解答：

解：

（1）∵点A（m﹣4，0）和C（2m﹣4，m﹣6）在直线y=﹣某+p上

∴

，解得：

，

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设抛物线y=a某2+b某+c=a（某﹣3）（某+1），

∵C（2，﹣3），代入得：

﹣3=a（2﹣3）（2+1），∴a=1

∴抛物线解析式为：

y=某2﹣2某﹣3，答：

抛物线解析式为y=某2﹣2某﹣3．

（2）解：

AC=3，

AC所在直线的解析式为：

y=﹣某﹣1，∠BAC=45°，

∵平行四边形ACQP的面积为12，

∴平行四边形ACQP中AC边上的高为=2，

过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，DK=2，

∴DN=4，

∵ACPQ，PQ所在直线在直线ACD的两侧，可能各有一条，

∴PQ的解析式或为y=﹣某+3或y=﹣某﹣5，

∴，

解得：

或，

，方程无解，

即P1（3，0），P2（﹣2，5），

∵ACPQ是平行四边形，A（﹣1，0），C（2，﹣3），∴当P（3，0）时，Q（6，﹣3），当P（﹣2，5）时，Q（1，2），

∴满足条件的P，Q点是P1（3，0），Q1（6，﹣3）或P2（﹣2，5），Q2（1，2）答：

点P，Q的坐标是P1（3，0），Q1（6，﹣3）或P2（﹣2，5），Q2（1，2）．

（3）解：

设M（t，t2﹣2t﹣3），（﹣1＜t＜3），

过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线雨点T，则T（t，﹣t+3），

∴，

解得：

b=﹣2，c=﹣3；

（2）如图：

∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），∴直线AB的解析式为：

y=某+1，∵二次函数y=某2﹣2某﹣3，

∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），

∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+

，

∴当t=时，EF的最大值为，

∴点E的坐标为（，）；

（3）①如图：

顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．

可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）

S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=某某（4﹣）+某某（﹣1）=；

②如图：

ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3）

则有：

m2﹣2m﹣2=，

解得：

m1=，m2=，

∴P1（，），P2（

，），

ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3）

则有：

n2﹣2n﹣2=﹣

，

解得：

n1=，n2=（与点F重合，舍去），

∴P3（，

），

综上所述：

所有点P的坐标：

P1（，），P2（，），P3（，

）能使

△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．

点评：

此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．

19、（2022綦江县）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．

（1）求证：

△ACD≌△BCE；

（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．

考点：

全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理。

分析：

（1）由△ABC与△DCE是等边三角形，可得AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，又由∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，即可证得∠ACD=∠BCE，所以根据SAS即可证得△ACD≌△BCE；

（2）首先过点C作CH⊥BQ于H，由等边三角形的性质，即可求得∠DAC=30°，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．解答：

解：

（1）∵△ABC与△DCE是等边三