统计学教案习题直线相关与回归Word下载.docx
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相关系数又称积差相关系数（coefficientofproduct-momentcorrelation），以符号r表示样
本相关系数，ρ表示总体相关系数。
它是说明具有直线关系的两个变量间，相关关系的密切程度与相关方向的指标。
2.计算公式
相关系数r没有单位，其值为－1≤r≤1。
其绝对值愈接近1，两个变量间的直线相关愈密切；
愈接近0，相关愈不密切。
r值为正表示正相关，说明一变量随另一变量增减而增减，方向相同；
r值为负表示负相关，说明一变量增加、另一变量减少，即方向相反；
r的绝对值等于1为完全相关。
3.样本相关系数r的假设检验
（1）r界值表法；
（2）t检验法。
（三）直线回归与相关的区别与联系
1.区别
（1）资料要求：
直线回归要求因变量Y服从正态分布，X是可以精确测量和严格控制的变量，一般称为Ⅰ型回归；
直线相关要求两个变量X、Y服从双变量正态分布。
这种资料若进行回归分析称为Ⅱ型回归。
（2）应用情况：
直线回归是说明两变量依存变化的数量关系；
直线相关是说明两变量间的相关关系。
（3）意义：
b表示X每增（减）一个单位时，Y平均改变b个单位；
r说明具有直线关系的两个变量间关系的密切程度与相关方向。
（4）计算：
b=lxy/lxx；
r=lxy/
。
（5）取值范围：
—∞＜b＜+∞；
－1≤r≤1。
（6）单位：
b有单位；
r没有单位。
2.联系
（1）方向一致：
对一组数据若能同时计算b和r,它们的符号一致。
（2）假设检验等价：
对同一样本，r和b的假设检验得到的t值相等，即tb=tr。
（3）用回归解释相关：
决定系数
，回归平方和越接近总平方和，
则r2越接近1，说明引入相关的效果越好。
（四）秩相关
秩相关，又称等级相关（rankcorrelation），是用双变量等级数据作直线相关分析，适用于下列资料：
⒈ 不服从双变量正态分布而不宜作积差相关分析；
⒉ 总体分布型未知；
⒊ 用等级表示的原始数据。
三、典型试题分析
1．回归系数的假设检验（）
A．只能用r的检验代替B．只能用t检验
C．只能用F检验D．三者均可
答案：
D[评析]本题考点：
回归系数假设检验方法的理解。
回归系数的假设检验常用的方法有：
①方差分析；
②t检验。
对同一样本，r和b的假设检验等价，r和b的假设检验得到的t值相等，即tb=tr。
故回归系数的假设检验用三者均可。
2．已知r1=r2，那么（）
A．b1=b2B．tb1=tb2
C．tr1=tr2D．两样本决定系数相等
答案：
D[评析]本题考点：
直线相关系数与回归系数关系的理解。
因为相关系数r和回归系数b的计算公式不同，不能推导出b1=b2；
r和b的假设检验等价，即tr1=tb1，tr2=tb2，而不是tb1=tb2，tr1=tr2；
样本决定系数为r2，已知r1=r2，则两样本决定系数相等，即r12=r22。
3．|r|>
r0.05（n-2）时，可认为两变量X与Y间（）
A．有一定关系B.有正相关关系
C．一定有直线关系D.有直线关系
直线相关系数假设检验的理解。
因为直线相关系数r是样本的相关系数，它是相应总体相关系数ρ的估计值。
由于抽样误差的影响，必须进行显著性检验。
r的假设检验是检验两变量是否有直线相关关系。
|r|>
r0.05（n-2）时，P<
0.05，拒绝H0，接受H1，认为总体相关系数ρ≠0，因此可认为两变量X与Y间有直线关系。
4．相关系数检验的无效假设H0是（）
A．ρ=0B.ρ≠0
C．ρ>
0D.ρ<
A[评析]本题考点：
直线相关系数显著性检验中检验假设的理解。
因为r是样本相关系数，它是总体相关系数ρ的估计值。
要判两变量间是否有相关关系，就要检验r是否来自总体相关系数ρ为零的总体。
因为即使从ρ=0的总体作随机抽样，由于抽样误差的影响，所得r值也常不等于零。
5．同一双变量资料，进行直线相关与回归分析，有（）。
A．r>
0，b<
0B.r>
0，b>
C．r<
0D.r与b的符号毫无关系
B[评析]本题考点：
直线相关与回归的区别与联系的理解。
因为对同一资料而言直线相关系数与回归系数的方向一致，若能同时计算b和r,它们的符号一致。
因此，同一双变量资料，进行直线相关与回归分析，有r>
0。
四、习题
（一）单项选择题
1．下列（）式可出现负值。
A．∑（X—
）2B．∑Y2—（∑Y）2/n
C．∑（Y—
）2D．∑（X—
）（Y—
）
2．Y=14+4X是1~7岁儿童以年龄（岁）估计体重（市斤）的回归方程，若体重换成国际单位kg，则此方程（）。
A．截距改变B．回归系数改变
C．两者都改变D．两者都不改变
3．已知r=1，则一定有（）。
A．b=1B．a=1
C．SY.X=0D．SY.X=SY
4．用最小二乘法确定直线回归方程的原则是各观察点（）。
A．距直线的纵向距离相等
B．距直线的纵向距离的平方和最小
C．与直线的垂直距离相等
D．与直线的垂直距离的平方和最小
5．直线回归分析中，X的影响被扣除后，Y方面的变异可用指标（）表示。
A．
B.
C.
D.
6．直线回归系数假设检验，其自由度为（）。
A．nB．n－1
C．n－2D．2n－1
7．应变量Y的离均差平方和划分，可出现（）。
A．SS剩=SS回B．SS总=SS剩
C．SS总=SS回D．以上均可
8．下列计算SS剩的公式不正确的是（）。
B．
D．
9．直线相关系数可用（）计算。
B．
C．
D．以上均可
10．当r=0时，
回归方程中有（）。
A．a必大于零B.a必等于
C．a必等于零D.a必等于
（二）名词解释
1.直线回归2.回归系数3.剩余平方和4.回归平方和5.直线相关
6.零相关7.相关系数8.决定系数9.曲线直线化10.秩相关
（三）是非题
1．剩余平方和SS剩1=SS剩2，则r1必然等于r2。
2．直线回归反映两变量间的依存关系，而直线相关反映两变量间的相互直线关系。
3．两变量关系越密切r值越大。
（四）简答题
1．用什么方法考察回归直线图示是否正确？
2．剩余标准差的意义和用途？
3．某资料n=100，X与Y的相关系数为r=0.1，可否认为X与Y有较密切的相关关系？
4．r与rs的应用条件有何不同？
5．应用直线回归和相关分析时应注意哪些问题？
6．举例说明如何用直线回归方程进行预测和控制？
7．直线回归分析时怎样确定因变量与自变量？
（五）计算题
1．10名20岁男青年身高与前臂长的数据见表10-2。
⑴计算相关系数并对ρ=0进行假设检验；
⑵计算总体ρ的95%可信区间。
表10-210名20岁男青年身高与前臂长
身高（cm）
170
173
160
155
188
178
183
180
165
前臂长（cm）
45
42
44
41
47
50
46
49
43
2．某单位研究代乳粉营养价值时，用大白鼠作实验，得到大白鼠进食量和增加体重的数据见表10-3。
⑴此资料有无可疑的异常点？
⑵求直线回归方程并对回归系数作假设检验。
⑶试估计进食量为900g时，大白鼠的体重平均增加多少，计算其95%的可信区间，并说明其含义。
⑷求进食量为900g时，个体Y值的95%容许区间，并解释其意义。
表10-3八只大白鼠的进食量和体重增加量
鼠号
1
2
3
4
5
6
7
8
进食量（g）
800
780
720
867
690
787
934
750
增量（g）
185
158
130
134
167
186
133
3．某省卫生防疫站对八个城市进行肺癌死亡回顾调查，并对大气中苯并（a）芘进行监测，结果如下，试检验两者有无相关？
表10-4八个城市的肺癌标化死亡率和大气中苯并（a）芘浓度
城市编号
肺癌标化死亡率（1/10万）
5.60
18.50
16.23
11.40
13.80
8.13
18.00
12.10
苯并（a）芘（μg/100m3）
0.05
1.17
1.05
0.10
0.75
0.50
0.65
1.20
4．就下表资料分析血小板和出血症的关系。
表10-512例病人的血小板浓度和出血症的关系
病例号
9
10
11
12
血小板数（109/L）
120
310
420
540
740
1060
1260
1230
1440
2000
出血症状
++
+++
±
－
+
五、习题答题要点
1.D2.C3.C4.B5.C6.C7.D8.B9.D10.D
1．直线回归（linearregression）建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程，并要求各点与该直线纵向距离的平方和为最小。
2．回归系数（regressioncoefficient）即直线的斜率（slope），在直线回归方程中用b表示，b的统计意义为X每增（减）一个单位时，Y平均改变b个单位。
3．剩余平方和（residualsumofsquares），SS剩即
，它反映X对Y的线性影响之外的一切因素对Y的变异的作用，也就是在总平方和中无法用X解释的部分。
在散点图中，各实测点离回归直线越近，
也就越小，说明直线回归的估计误差越小。
4．回归平方和（regressionsumofsquares），SS回即
，它反映由于X与Y的直线关系而使Y的总变异所减小的部分，也就是在总平方和中可以用X解释的部分。
回归平方和越大，说明回归效果越好。
5．直线相关（linearcorrelation）又称简单相关（simplecorrelation），用于双变量正态分布资料。
6．零相关（zerrocorrelation）是指两变量间没有直线相关关系。
11．相关系数又称积差相关系数（coefficientofproduct-momentcorrelation），以符号r表示样本相关系数，ρ表示总体相关系数。
12．决定系数（coefficientofdetermination）即r的平方，
，说明当SS总固定不变时，回归平方和的大小决定了r平方的大小。
回归平方和越接近总平方和，则r平方值越接近1。
13．曲线直线化（rectification）是曲线拟合的重要手段之一。
对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，用直线回归分析方法来分析。
14.秩相关又称等级相关（rankcorrelation），是用双变量等级数据作直线相关分析，适用于下列资料：
⑴不服从双变量正态分布而不宜作积差相关分析；
⑵总体分布型未知；
⑶用等级表示的原始数据。
（三）是非题
1．错。
两样本剩余平方和SS剩1=SS剩2，但两样本总平方和SS总及回归平方和SS回不一定相等，故两样本相关系数r1与r2不一定相等。
2．正确。
3．错。
相关系数r有正负之分，其值为－1≤r≤1，在总体相关系数不为零，即两变量确有直线关系前提下，r绝对值愈接近1，两个变量间的直线相关愈密切；
1．用以下三种方法判定：
⑴直线必须通过点（
）。
⑵若纵坐标、横坐标无折断号时，将此线左端延长与纵轴相交，交点的纵坐标必等于截距a。
⑶直线是否在自变量X的实测范围内。
2．剩余标准差用sY.X表示：
其意义是指当X对Y的影响被扣除后，Y方面仍有变异。
这部分变异与X无关，纯属抽样变异。
故sY.X是用来反映Y的剩余变异的，即不考虑X以后Y本身的随机变异。
剩余标准差可用于：
⑴估计回归系数b的标准误，
，进行回归系数的区间估计和假设检验。
⑵估计总体中当X为某一定值时，估计值
的标准误。
并可计算
的可信区间，sY.X可作为预报精度的指标。
⑶估计总体中当X为某一定值时，个体Y值的标准差。
，并计算个体Y值的容许区间。
3．n=100，r=0.1时，对相关系数进行t检验，按检验水准α=0.05，拒绝H0（ρ=0），接受H1（ρ≠0），认为两变量有相关关系，但决定系数r2=0.12=0.01，表示回归平方和在总平方和中仅占1%，说明两变量间相关关系实际意义不大。
4．积差相关系数r用于描述双变量正态分布资料的相关关系。
等级相关系数rs适用于下列资料：
⑴不服从双变量正态分布而不宜作积差相关分析的资料；
⑵总体分布型未知的资料；
⑶原始资料是用等级表示的资料。
5．注意以下五个问题
⑴作回归分析和相关分析时要有实际意义，不能把毫无关联的两种现象作回归、相关分析，必须对两种现象间的内在联系有所认识。
⑵在进行回归分析和相关分析之前，应绘制散点图。
但观察点的分布有直线趋势时，才适宜作回归、相关分析。
如果散点图呈明显曲线趋势，应使之直线化再行分析。
散点图还能提示资料有无可疑异常点。
⑶直线回归方程的应用范围一般以自变量的取值范围为限。
若无充分理由证明超过自变量取值范围外还是直线，应避免外延。
⑷双变量的小样本经t检验只能推断两变量间有无直线关系，而不能推断相关的紧密程度，要推断相关的紧密程度，样本含量必须很大。
⑸相关或回归关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，有相关或回归关系不能证明事物间确有内在联系。
6．用直线回归方程进行预测和控制的步骤
⑴根据研究目的确定预报因子（X）和预报量（Y），由X估计Y值，收集资料。
⑵建立预报方程
，并进行回归系数假设检验。
若P小于临界值，则回归方程成立。
⑶根据回归方程在X实测范围内对Y进行预测，并计算X为某定值时，个体Y值波动范围（容许区间）。
例如，1~7岁儿童，X为年龄，Y为体重，可根据年龄预测（估计）体重。
统计控制是利用回归方程进行逆估计，如要求因变量Y值在一定范围内波动，可以通过控制自变量X的取值来实现。
步骤同前。
例如，针刺哑门穴，进针深度Y与颈围X间存在直线关系，可根据X取值达到控制Y的目的。
7．Ⅰ型回归中，X为精密测量和严格控制的变量，Y为正态变量。
Ⅱ型回归中，X、Y均为服从正态分布的随机变量，可计算两个回归方程。
何者为X，何者为Y，根据研究目的确定。
例如，测得某一人群的身高和体重两变量，若目的只是由身高估计体重，则确定X为身高，Y为体重。
（五）计算题
1．由原始数据及散点图的初步分析（图10-1），估计本资料有直线趋势。
（1）计算相关系数
与ρ=0进行假设检验。
H0：
ρ=0，即身高与前臂长间无直线相关关系
H1：
ρ≠0，即身高与前臂长间有直线相关关系
α=0.05
，查t界值表，得0.002<
P<
0.005，按α=0.05水准拒绝H0，接受H1，故可认为20岁男青年身高与前臂长呈正直线相关。
⑵算总体ρ的95%可信区间。
对r作z变换：
或，z=tanh—10.8227=1.1651
z的95%可信区间：
按r=tanhz对z作反变换，得20岁男青年身高与与前臂长总体相关系数的95%可信区间为（0.4005，0.9567）。
2．由原始数据及散点图初步分析（图10-2），估本资料有直线趋势，故作下列计算。
∑X=6328，∑X2=5048814，
∑Y=1273，∑Y2=206619，
，∑XY=1018263
图10-2大白鼠的进食量与增加体重散点图
（1）回归系数假设检验：
β＝0，即进食量与增重之间无直线关系
β≠0，即进食量与增重之间有直线关系α＝0.05
1方差分析，见表10-6。
表10-6方差分析表
变异来源
SS
υ
MS
F
总变异
4052.875
回归
2954.905
16.147
剩余
1097.970
182.995
计算得F=16.147，查F界值表，得P<
0.01，按α＝0.05水准，拒绝H0，接受H1，可认为大白鼠的进食量与增加体重间有直线关系。
2t检验：
按υ=6，查t界值表，得0.01>
P>
0.05，按α＝0.05水准，拒绝H0，接受H1，结论同上。
本题
故可用直线回归方程
来描述大白鼠的进食量与增加体重的关系。
异常点即对应于残差（Y－
）绝对值特大的观测数据见表10-7。
表10-7残差的计算
序号
X
Y
Y－
161.474
23.526
156.254
1.746
140.594
－10.594
178.961
1.039
132.764
1.236
158.081
8.919
196.448
－10.448
148.424
－15.424
由散点图及残差分析，第一号点（X=800，Y=185）为可疑的异常点。
⑵根据以上的计算结果，进一步求其总体回归系数的95%可信区间。
绘制回归直线并图示回归系数95%可信区间。
总体回归系数β的95%可信区间：
（b－t0.05（n－2）Sb，b＋t0.05（n－2）Sb）
=（0.261－2.447×
13.5107∕
，0.261＋2.447×
=（0.1022，0.4198）
取X1=690，代入回归方程
=－47.326+0.261X，得Y1=132.76；
X2=934，Y2=196.45。
在图上确定（690，132.76）和（934，196.45）两个点，以直线连接即得回归直线的图形见图10-2。
按回归系数的95%可信区间下限和上限分别代入
，得
=78.285，
=－172.937。
回归系数的95%可信区间上、下限对应的两条直线，即图10-2中两条回归直线，回归方程为：
=78.285+0.1022X，
=－172.937+0.4198X
⑶估计进食量为900g时，大白鼠的体重平均增加多少，计算其95%的可信区间，并说明其含义。
当X=900时，
的95%可信区间：
（
－t0.05（6）
，
＋t0.05（6）
=（187.574－2.447×
8.5446，187.574＋2.447×
8.5446）=（166.67，208.48）
即总体中，进食量为900g时，大白鼠的体重平均增加187.574g，其95%的可信区间为166.67~208.48g。
其含义为：
当进食量为900g时，相应的平均增重服从一个正态分布（此正态分布的样本均数估计值为187.574g），如果从此正态分布中重复抽样100次，这100个可信区间中理论上将有95个区间包含真正的总体均数（虽然这个总体均数真值是未知的）。
=－47.326+0.261X=187.574，个体Y值的95%容许区间：
－t0.05（6）SY，
＋t0.05（6）SY）
16.0002，187.574＋2.447×
16.0002）=（148.42，226.73）
即估计总体中，进食量为900g时，有95%的大白鼠增加体重在148.42~226.73g范围内。
3．本题资料不服从双变量正态分布，宜计算等级相关系数。
计算过程见表10-8
表10-8八个城市的肺癌标化死亡率和大气中苯并（a）芘的相关分析
苯并（a）芘
⑴
⑵
等级
⑶
⑷
⑸
d
⑹=⑶－⑸
d2
⑺
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