全国中考数学真题解析120考点汇编 一元二次方程根与系数的关系.docx

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全国中考数学真题解析120考点汇编一元二次方程根与系数的关系

全国中考数学真题解析120考点汇编一元二次方程根与系数的关系

一、选择题

1.（2011•南通）若3是关于方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（　　）

A、﹣2B、2C、﹣5D、5

考点：

根与系数的关系。

分析：

由根与系数的关系，即3加另一个根等于5，计算得．

解答：

解：

由根与系数的关系，设另一个根为x，则3+x=5，即x=2．故选B．

点评：

本题考查了根与系数的关系，从两根之和出发计算得．

2.（2011南昌，9，3分）已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是（　　）

A.1B.2C.﹣2D.﹣1

考点：

根与系数的关系.

专题：

计算题.

分析：

根据根与系数的关系得出x1x2==﹣2，即可得出另一根的值．

解答：

解：

∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，∴x1x2==﹣2，∴1×x2=﹣2，则方程的另一个根是：

﹣2，故选C．

点评：

此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．

3.（2011湖北荆州，9，3分）关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，则a的值是（　　）

A、1B、-1C、1或-1D、2

考点：

根与系数的关系；根的判别式．

专题：

计算题．

分析：

根据根与系数的关系得出x1+x2=-ba，x1x2=ca，整理原式即可得出关于a的方程求出即可．

解答：

解：

依题意△＞0，即（3a+1）2-8a（a+1）＞0，

即a2-2a+1＞0，（a-1）2＞0，a≠1，

∵关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，

∴x1-x1x2+x2=1-a，

∴x1+x2-x1x2=1-a，

∴3a+1a-2a+2a=1-a，

解得：

a=±1，又a≠1，

∴a=-1．

故选：

B．

点评：

此题主要考查了根与系数的关系，由x1-x1x2+x2=1-a，得出x1+x2-x1x2=1-a是解决问题的关键．

4.（2011湖北咸宁，6，3分）若关于x的方程x2﹣2x+m=0的一个根为﹣1，则另一个根为（　　）

A、﹣3　　　　B、﹣1　　　　　　　C、1　　　D、3

考点：

根与系数的关系。

专题：

计算题。

分析：

设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+（﹣1）=2，解此方程即可．

解答：

解：

设方程另一个根为x1，

∴x1+（﹣1）=2，

解得x1=3．

故选D．

点评：

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：

若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．

5.（2011•贵港）若关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的一个根为﹣1，则另一个根为（　　）

A、1B、﹣1

C、2D、﹣2

考点：

根与系数的关系。

专题：

计算题。

分析：

根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．

解答：

解：

设x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的两个根，

∴由韦达定理，得x1•x2=﹣2，即﹣x2=﹣2，

解得，x2=2．

即方程的另一个根是2．

故选C．

点评：

此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．

6.（2011年四川省绵阳市，12，3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（　　）

A、x1＜x2＜a＜bB、x1＜a＜x2＜bC、x1＜a＜b＜x2D、a＜x1＜b＜x2

考点：

抛物线与x轴的交点．

分析：

因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x-a）（x-b）=1，再有已知条件x1＜x2、a＜b可得到x1，x2，a，b的大小关系．

解答：

解：

∵x1和x2为方程的两根，

∴（x1-a）（x1-b）=1且（x2-a）（x2-b）=1，

∴（x1-a）和（x1-b）同号且（x2-a）和（x2-b）同号；

∵x1＜x2，

∴（x1-a）和（x1-b）同为负号而（x2-a）和（x2-b）同为正号，可得：

x1-a＜0且x1-b＜0，x1＜a且x1＜b，

∴x1＜a，∴x2-a＞0且x2-b＞0，

∴x2＞a且x2＞b，

∴x2＞b，

∴综上可知a，b，x1，x2的大小关系为：

x1＜a＜b＜x2．

故选C．

点评：

本题考查了一元二次方程根的情况，若x1和x2为方程的两根则代入一定满足方程，对于此题要掌握同号两数相乘为正；异号两数相乘为负．

7（2011年江西省，5，3分）已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是（　　）

A.1B.2C.-2D.-1

考点：

根与系数的关系．

专题：

计算题．

分析：

根据根与系数的关系得出x1x2=-2，即可得出另一根的值．

解答：

解：

∵x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，

∴x1x2=-2，

∴1×x2=-2，

则方程的另一个根是：

-2，

故选C．

点评：

此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．

8.（2011湖北武汉，5，3分）若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两个根，则x1•x2的值是（　　）

A．4B．3C．﹣4D．﹣3

考点：

根与系数的关系。

专题：

方程思想。

分析：

根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=解答并作出选择．

解答：

解：

∵一元二次方程x2+4x+3=0的二次项系数a=1，常数项c=3，

∴x1•x2==3．

故选B．

点评：

此题主要考查了根与系数的关系．解答此题时，注意，一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=中的a与c的意义．

二、填空题

1.（2011江苏苏州，15，3分）巳知a、b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根，则代数式（a-b）（a+b-2）+ab的值等于____．

考点：

根与系数的关系．

专题：

计算题．

分析：

欲求（a-b）（a+b-2）+ab的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．

解答：

解：

∵a、b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根，

∴ab=-1，a+b=2，∴（a-b）（a+b-2）+ab=（a-b）（2-2）+ab=0+ab=-1，

故答案为：

-1．

点评：

此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

2.（2011江苏镇江常州，12，3分）已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=　1　，另一个根是　﹣3　．

考点：

一元二次方程的解；根与系数的关系．

专题：

方程思想．

分析：

根据一元二次方程的解定义，将x=2代入关于x的方程x2+mx﹣6=0，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2=﹣解出方程的另一个根．

解答：

解：

根据题意，得

4+2m﹣6=0，即2m﹣2=0，

解得，m=1；

由韦达定理，知

x1+x2=﹣m；

∴2+x2=﹣1，

解得，x2=﹣3．

故答案是：

1．﹣3．

点评：

本题主要考查了一元二次方程的解．根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣．x1•x2=来计算时，要弄清楚a．b．c的意义．

3.（2011山东日照，14，4分）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是　如：

x2﹣x+1=0　．

考点：

根与系数的关系；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。

专题：

开放型；数形结合。

分析：

连接AD，BD，OD，由AB为直径与四边形DCFE是正方形，即可证得△ACD∽△DCB，则可求得AC•BC=DC2=1，又由勾股定理求得AB的值，即可得AC+BC=AB，根据根与系数的关系即可求得答案．注意此题答案不唯一．

解答：

解：

连接AD，BD，OD，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∵四边形DCFE是正方形，

∴DC⊥AB，

∴∠ACD=∠DCB=90°，

∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°，

∴∠A=∠CDB，

∴△ACD∽△DCB，

∴，

又∵正方形CDEF的边长为1，

∵AC•BC=DC2=1，

∵AC+BC=AB，

在Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2，

∴OD=，

∴AC+BC=AB=，

以AC和BC的长为两根的一元二次方程是x2﹣x+1=0．

故答案为：

此题答案不唯一，如：

x2﹣x+1=0．

点评：

此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．

4.（2011•德州，14，4分）若x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，则x12+x22=．

考点：

根与系数的关系。

专题：

计算题。

分析：

先根据根与系数的关系求出x1+x2和x1•x2的值，再利用完全平方公式对所求代数式变形，然后把x1+x2和x1•x2的值整体代入计算即可．

解答：

解：

∵x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，

∴x1+x2=﹣=﹣1，x1•x2==﹣1，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=1+2=3．

故答案是：

3．

点评：

本题考查了根与系数的关系、完全平方公式．解题的关键是先求出x1+x2和x1•x2的值．

5.（2011四川眉山，17，3分）已知一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1、y2，则（y1﹣1）（y2﹣1）的值为　﹣1　．

考点：

根与系数的关系。

专题：

探究型。

分析：

先根据一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1、y2，求出y1+y2及y1•y2的值，再代入（y1﹣1）（y2﹣1）进行计算即可．

解答：

解：

∵一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1．y2，

∴y1+y2=3，y1•y2=1，

∴（y1﹣1）（y2﹣1），

=y1y2﹣y1﹣y2+1，

=y1y2﹣（y1+y2）+1，

=1﹣3+1，

=﹣1．

故答案为：

﹣1．

点评：

本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．

6.（2011四川泸州，16，3分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为．

考点：

根与系数的关系；解一元二次方程，因式分解法；根的判别式．

分析：

由题意设方程x2+（2k+1）x+k2-2=0两根为x1，x2，得x1+x2=-（2k+1），x1•x2=k2-2，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出k值．

解答：

解：

设方程方程x2+（2k+1）x+k2-2=0设其两根为x1，x2，得x1+x2=－（2k+1），x1•x2=k2-2，

△=（2k+1）2-4×（k2-2）=4k+9＞0，∴k＞－，

∵x12+x22=11，∴（x1+x2）2－2x1•x2=11，∴（2k+1）2－2（k2－2）=11，

解得k=1或－3；∵k＞－，故答案为k=1．

点评：

此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．

7.（2011四川遂宁，12，4分）若x1、x2是方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则x12+x1