八年级数学下册 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组教案 北师大版Word格式文档下载.docx

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（2）如果要使圆的面积不小于100cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式？

（3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？

l=12呢？

（4）你能得到什么猜想？

改变l的取值，再试一试.

［师］本题中大家首先要弄明白两个问题，一个是正方形和圆的面积计算公式，另一个是了解“不大于”“大于”等词的含意.

［生］正方形的面积等于边长的平方.

圆的面积是πR2，其中R是圆的半径.

两数比较有大于、等于、小于三种情况，“不大于”就是等于或小于.

［师］下面请大家互相讨论，按照题中的要求进行解答.

［生］

（1）因为绳长l为正方形的周长，所以正方形的边长为，得面积为（）2，要使正方形的面积不大于25cm2，就是

（）2≤25.

即≤25.

（2）因为圆的周长为l，所以圆的半径为

R=.

要使圆的面积不小于100cm2，就是

π·

（）2≥100

即≥100

（3）当l=8时，正方形的面积为=4（cm2）.

圆的面积为≈5.1（cm2）.

∵4＜5.1

∴此时圆的面积大.

当l=12时，正方形的面积为=9（cm2）.

圆的面积为≈11.5（cm2）

此时还是圆的面积大.

（4）我们可以猜想，用长度均为lcm的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即

＞.

因为分子都是l2相等、分母4π＜16，根据分数的大小比较，分子相同的分数，分母大的反而小，因此不论l取何值，都有＞.

做一做

通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干

离地面1.5m的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约为3cm.这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4m？

（只列关系式）.

［师］请大家互相讨论后列出关系式.

［生］设这棵树至少生长x年其树围才能超过2.4m，得

3x+5＞240

议一议

观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？

［生］由≤25

>

100

＞

得，这些关系式都是用不等号连接的式子.由此可知：

一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式（inequality）.

例题.

用不等式表示

（1）a是正数；

（2）a是负数；

（3）a与6的和小于5；

（4）x与2的差小于－1；

（5）x的4倍大于7；

（6）y的一半小于3.

［生］解：

（1）a＞0;

（2）a＜0;

（3）a+6＜5;

（4）x－2＜－1;

（5）4x＞7;

（6）y＜3.

Ⅲ.随堂练习

2.解：

（1）a≥0;

（2）c＞a且c＞b；

（3）x+17＜5x.

补充练习

当x=2时，不等式x+3＞4成立吗？

当x=1.5时，成立吗？

当x=－1呢？

解：

当x=2时，x+3=2+3=5＞4成立，

当x=1.5时，x+3=1.5+3=4.5＞4成立；

当x=－1时，x+3=－1+3=2＞4,不成立.

Ⅳ.课时小结

能根据题意列出不等式，特别要注意“不大于”，“不小于”等词语的理解.

通过不等关系的式子归纳出不等式的概念.

Ⅴ.课后作业

习题1.1

1.解：

（1）3x+8＞5x;

（2）x2≥0;

（3）设海洋面积为S海洋，陆地面积为S陆地，则有S海洋＞S陆地.

（4）设老师的年龄为x，你的年龄为y,则有x＞2y.

（5）m铅球＞m篮球.

满足条件的数组有：

1，3；

1，5；

1，7；

3，5.

3.解：

所需甲种原料的质量为x千克，则所需乙种原料的质量为（10－x）千克，得

600x+100（10－x）≥4200.

4.解：

8x+4（10－x）≤72.

Ⅵ.活动与探究

a,b两个实数在数轴上的对应点如图1－2所示：

图1－2

用“＜”或“＞”号填空：

（1）a__________b;

（2）|a|__________|b|;

（3）a+b__________0;

（4）a－b__________0;

（5）a+b__________a－b;

（6）ab__________a.

由图可知：

a＞0,b＜0,|a|＜|b|.

（1）a＞b;

（2）|a|＜|b|;

（3）a+b＜0;

（4）a－b＞0;

（5）a+b＜a－b;

（6）ab＜a.

VI板书设计

§

1.1不等关系

一、1.投影片§

1.1A（讨论长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆，比较它们的面积的大小）.

2.做一做（投影片§

根据已知条件列不等式

3.归纳不等式的定义

4.例题

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

《不等式的基本性质》教案

教学目的

掌握不等式的基本性质，会用不等式的基本性质进行不等式的变形。

师：

我们已学过等式，不等式，现在我们来看两组式子（教师出示小黑板中的两组式子），请同学们观察，哪些是等式？

哪些是不等式？

第一组：

1+2=3;

a+b=b+a;

S=ab;

4+x=7.

　　　第二组：

-7<

-5;

3+4>

1+4;

　2x≤6,a+2≥0;

3≠4.

生：

第一组都是等式，第二组都是不等式。

那么，什么叫做等式？

什么叫做不等式？

表示相等关系的式子叫做等式；

表示不等式的式子叫做不等式。

在数学炽，我们用等号“=”来表示相等关系，用不等式号“〈”、“〉”或“≠”表示不等关系，其中“＞”和“＜”表示大小关系。

表示大小关系的不等式是我们中学教学所要研究的。

前面我们学过了等式，同学们还记得等式的性质吗？

等式有这样的性质：

等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式。

很好！

当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除经（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？

让我们先做一些试验练习。

练习1（回答）用小于号“<

”或大于号“>

”填空。

（1）7___4;

（2）-2____6;

　　（3）-3_____-2；

（4）-4_____-6

练习2（口答）分别从练习1中四个不等式出发，进行下面的运算。

（1）两边都加上（或都减去）5，结果怎样？

不等号的方向改变了吗？

（2）两边都乘以（或都除以）5，结果怎样？

（3）两边都乘以（或都除以）（-5），结果怎样？

我们发现：

在练习2中，第

（1）、

（2）题的结果是不等号的方向不变；

在第（3）题中，结果是不等号的方向改变了！

同学们观察得很认真，大家再进一步探讨一下，在什么情况下不等号的方向就会发生改变呢？

生甲：

在原不等式的两边都乘以（或除以）一个负数的情况下，不等号的方向要改变。

有没有不同的意见？

大家都同意他的看法吗？

可能还有同学不放心，让我们再做一些试验。

练习3（口答）分别在下面四个不等式的两边都以乘以（可除以）-2，看看不等号的方向是否改变：

　　7＞4；

-2＜6；

-3＜-2；

-4＞-6。

现在我们可以归纳出不等式的基本性质，一般地说，不等式的基本性质有三条：

性质1：

不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向　　。

（让同学回答。

）

性质2：

不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向　　。

性质3：

不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向　　。

现在请大家翻开课本，一起朗读用黑体字写的三条基本性质。

不等式的这三条基本性质，都可以用数学语言表达出来，先请一位同学说一说第一条基本性质。

如果a＜b。

那么a+c＜b+c（或a-c＜b-c；

如果a＞b，那么a+c＞b+c（或a-c＞b-c）。

对a和b有什么要求吗？

对c有什么要求？

没有什么要求。

哪位同学来回答第二、三条性质？

如果a<

b,且c>

0,那么ac<

bc（或　　）；

如果a>

0,那么ac>

bc（或

生乙：

b,且c<

0,那么ac>

0,那么ac<

这两条性质中，对a、b、c有什么要求？

对a、b没什么要求，特别要注意c是正数还是负数。

很好，c可以为零吗？

c不能为零。

因为c为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了。

好！

应用刚才学到的基本性质，我们来看下面的例题。

[例1]按照下列条件，写出仍能成立的不等式：

（1）5＜9，两边都加上-3；

（2）9＞4，两边都减去10；

（3）-5＜3，两边都乘以4；

（4）14＞-8，两边都除以-2。

解

（1）根据不等式基本性质1，在不等式59的两边都加上-3，不等号的方向不变，所以

　　　5+（-3）＜9+（-3），

　　　　2＜6

（2）根据不等式基本性质1，得

9-10＞4-10

　　　-1＞-6

（3）根据不等式基本性质2，得

　　　-5×

4＜3×

4

　　　-20＜12

（4）根据不等式基本性质3，得

　　　14÷

（-2）＜（-8）÷

（-2）

　　　-7＜4

[例2]设a＞b，用不等号连结下列各题中的两式：

（1）a-3与b-3;

（2）2a与2b;

（3）-a与-b.

哪一位同学来做这题？

解题时，要讲清一步的理由。

因为a＞b，两边都减去3，由不等式的基本性质1，得

a-3＞b-3．

很好，大家都是这样做的吗？

我是这样做的，因为a＞b,两边都加上（-3），由基本性质1，得

这两位同学从不同的角度来分析题目，都得到了正确的结论。

生丙：

因为a＞b，2＞0，由基本性质2，得2a＞2b。

生丁：

因为a＞b，-1＞0，由基本性质3，得-a＞-b。

下面我们来看一组较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析。

[例3]判断以下各题的结论是否正确，并说明都理由：

（1）如果a>

0，那么ac>

bd;

（2）如果a>

b,那么ac2>

bc2;

（3）如果ac2>

bc2,那么a>

b;

（4）如果a>

b,那么a-b>

0;

（5）如果ax>

b,且a≠0，那么x<

　　;

（6）如果a+b>

a;

（1）不对，当c=d≤0时，ac＞bd不成立。

（2）也不对，因为c2是一个非负数，当c=0时，ac2＞bc2不成立。

（3）对，因为ac2＞bc2成立，则c2一定大于零，根据不等式基本性质2，得a＞b出。

（4）对，根据不等式基本性质，由a＞b，两边减去b得a-b＞0。

（5）不对，当a＜0时，根据不等式基本性质3，得。

（6）不对，因为当b＜0时，根据不等式基本性质1，得a+b＜a；

而当b=0时，则有a+b=a。

同学们回答得很好。

今天我们学习了不等式的基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用。

课外做以下作业：

略。

教案说明

（1）　　　不等式的基本性质的教学，是分成两个阶段进行的。

在初中阶段，对不等式的基本性质，并不作证明，只引导学生用试验的方法，归纳出三条基本性质。

通过试验，由特殊到一般，由具体到抽象，这是一种认识事物规律的重要方法。

科学上的许多发现，大多离不开试验和观察。

大数学家欧拉说过：

“数学这门科学，需要观察，也需要试验。

”通过教学培养学生掌握由试验发现规律的方法，具有重要的意义。

当然通过几个特殊的试验，就得出一般的结论，是不严密的。

但对初中学生来说，初次接触不等式，是不能要求那么严密的。

（2）　　　不等式的基本性质的教学，还应采用对比的方法。

学生已学过等式和等式的性质，为了便于和加深对不等式基本性质的理解，在教学过程中，应将不等式的性质与等式的性质加以比较：

强调等式的两边都加上或减去，都乘以或除以（除数不能为零）同一个数，所得到的仍是等式，这个数可以是正数、负数或零；

而在不等式的两边都加上或减去，都乘以或除以（除数不能为零）同一个数，当这个数是正数、负数或零时，对不等式的方向，有什么不同的影响。

通过这样的对比，不但可以复习已学过的等式有关知识，便于引入新课，而且也有利于掌握不等式的基本性质。

对比的方法，也是学习数学的一种重要方法。

（3）　　　在应用不等式的基本性质对不等式进行变形时，学生对不等式两边是具体数，判定大小关系比较容易。

因为这实际上是有理数大小的比较。

对于不等式两边是含字母的代数式时，根据题给的条件，运用不等式基本性质判别大小关系或不等号方向，就比较困难。

因为它比较抽象，特别是在运用不等式的基本性质2和性质3时，学生必须考虑不等式两边同乘（或同除）的这个用字母表示的数的符号是什么，或者还要对这个用字母表示的数，按正数、负数或零三种情况加以讨论。

在教学过程中，对于这类题目，采用讨论法是比较好的。

因为在讨论时，学生可以充分发表各种见解。

对于正确的见解，教师可以让学生说出解题的依据；

对于错误的见解，教师可以进行启发引导，发动学生自己找出错误的原因，自己修正见解。

这样，有利于发现问题，有的放矢地解决问题，有利于深化对不等式基本性质的认识。