版中考数学真题汇编63 图形的相似含答案.docx

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版中考数学真题汇编63图形的相似含答案

§6.3　图形的相似

A组　2015年全国中考题组

一、选择题

1．（2015·浙江嘉兴，5，4分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则的值为（　　）

A.B．2

C.D.

解析　根据平行线分线段成比例定理，上∶下＝上∶下．

答案　D

2．（2015·黔西南州，5，4分）已知△ABC∽△A′B′C′且＝，则S△ABC∶S△A′B′C′为（　　）

A．1∶2B．2∶1C．1∶4D．4∶1

解析　∵△ABC∽△A′B′C′，

＝，∴＝＝.

答案　C

3．（2015·湖南永州，8，3分）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　）

A．∠ABD＝∠ACB

B．∠ADB＝∠ABC

C．AB2＝AD·AC

D.＝

解析　根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．

答案　D

4．（2015·贵州铜仁市，9，4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连结AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　）

A．3∶4B．9∶16

C．9∶1D．3∶1

解析　∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA.∵DE∶EC＝3∶1，∴DE∶DC＝3∶4，∴DE∶AB＝3∶4，∴S△DFE∶S△BFA＝9∶16.

答案　B

二、填空题

5．（2015·新疆，15，5分）如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则网球的击球的高度h为________．

解析　由题意得，DE∥BC，所以，△ABC∽△AED，

所以，＝，即＝，解得h＝1.4m.

答案　1.4m

6．（2015·江苏连云港，16，3分）如图，在△ABC中，

∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为________．

解析　如图，过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，∵∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，∴tan∠BAC＝＝.∵直线l1∥l2∥l3，∴EF⊥l1，EF⊥l3，∴∠AEB＝∠BFC＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠EAB＝90°－∠ABE＝∠FBC，∴△BFC∽△AEB，∴＝＝.∵EB＝1，∴FC＝.在Rt△BFC中，BC＝＝＝.在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，AC＝＝＝.

答案　

7．（2015·江苏扬州，15，3分）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4cm，则线段BC＝________cm.

解析　如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，

∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，

∴＝，即＝，

∴BC＝12cm.

答案　12

三、解答题

8．（2015·浙江丽水，23，10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N.

（1）当F为BE中点时，求证：

AM＝CE；

（2）若＝＝2，求的值；

（3）若＝＝n，当n为何值时，MN∥BE?

（1）证明　∵F为BE的中点，∴BF＝EF.

∵AB∥CD，∴∠MBF＝∠CEF，∠BMF＝∠ECF.

∴△BMF≌△ECF，

∴MB＝CE.

∵AB＝CD，CE＝DE，

∴MB＝AM.

∴AM＝CE.

（2）解　设MB＝a，∵AB∥CD，

∴△BMF∽△ECF.

∵＝2，∴＝2，∴CE＝2a，∴AB＝CD＝2CE＝4a，AM＝AB－MB＝3a.∵＝2，∴BC＝AD＝2a.

∵MN⊥MC，∠A＝∠ABC＝90°，∴△AMN∽△BCM.

∴＝，即＝，∴AN＝a，ND＝2a－a＝a.∴＝a∶a＝3.

（3）解　∵＝＝n，设MB＝a，由

（2）可得BC＝2a，CE＝na.

当MN∥BE时，CM⊥BE，可证△MBC∽△BCE，∴＝.

∴＝，∴n＝4.

9．（2015·山东青岛，24，12分）已知，如图1，在▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图2，设移动时间为t（s）（0＜t＜4），连结PQ，MQ，MC，解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥MN?

（2）设△QMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4？

若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？

若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

解　

（1）在Rt△ABC中，AC＝＝4，

由平移的性质得MN∥AB.

∵PQ∥MN，∴PQ∥AB，

∴＝，

∴＝，

t＝.

（2）过点P作PD⊥BC于D，

∵△CPD∽△CBA，

∴＝，

∴＝，

∴PD＝－t.

∵PM∥BC，

∴S△QMC＝S△QPC，

∴y＝S△QMC＝QC·PD＝t＝t－t2（0＜t＜4）．

（3）∵S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4，

∴S△QPC∶S四边形ABQP＝1∶4，

∴S△QPC∶S△ABC＝1∶5，

∴∶6＝1∶5，

∴t＝2.

（4）若PQ⊥MQ，则∠PQM＝∠PDQ.

∵∠MPQ＝∠PQD，

∴△PDQ∽△MQP，

∴＝，∴PQ2＝MP·DQ，

∴PD2＋DQ2＝MP·DQ.

由△PDC∽△BAC得＝，

∴＝，∴CD＝，

∴DQ＝CD－CQ＝－t＝，

∴＋＝5×，

∴t1＝0（舍去），t2＝，

∴t＝时，PQ⊥MQ.

B组　2014～2011年全国中考题组

一、选择题

1．（2013·浙江温州，9，4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.已知AE＝6，＝，则EC的长是（　　）

A．4.5B．8

C．10.5D．14

解析　∵DE∥BC，∴＝＝.∵AE＝6，∴EC＝8.故选B.

答案　B

2．（2013·浙江台州，8，4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且＝＝，则S△ADE∶S四边形BCED的值为（　　）

A．1∶B．1∶2

C．1∶3D．1∶4

解析　∵＝＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，

∴＝＝（）2＝，∴＝.

答案　C

3．（2011·浙江台州，5，4分）若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．1∶2B．1∶4

C．1∶5D．1∶16

解析　∵两个相似三角形的面积之比为1∶4，∴它们的相似比为1∶2，∴它们的周长之比为1∶2.

答案　A

4．（2011·浙江嘉兴，7，3分）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（　　）

A．2　　　　　　　　B．3

C．4　　　　　　　　D．6

解析　作DF⊥BC，∵边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，∴DE＝2，BD＝2，∴DF＝BD·sin∠B＝2×＝，∴四边形BCED的面积为：

DF×（DE＋BC）＝×（2＋4）＝3.

答案　B

5.（2014·江苏宿迁，8，3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P个数是（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

解析　∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝90°.设AP的长为x，则BP长为8－x.若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：

①若△PAD∽△PBC，则AP∶BP＝AD∶BC，即x∶（8－x）＝3∶4，解得x＝；②若△PAD∽△CBP，则AP∶BC＝AD∶BP，即x∶4＝3∶（8－x），解得x＝2或x＝6.故满足条件的点P有3个，故选C.

答案　C

二、填空题

6．★（2013·山东潍坊，18，3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1.若△E1FA1∽△E1BF，则AD＝________．

解析　在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8.设AD＝A1D＝4x，则DF＝3x，AF＝A1F＝5x，AE＝ED＝DE1＝A1E1＝2x，E1B＝10－6x.∵△E1FA1∽△E1BF，∴＝，∴E1F2＝E1A1·E1B.在Rt△DFE1中，E1F2＝DF2＋E1D2，∴DF2＋E1D2＝E1A1·E1B，即（3x）2＋（2x）2＝2x·（10－6x），解得x1＝0（舍去），x2＝，∴AD＝4x＝.

答案　

7．（2014·浙江舟山，14，4分）如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB，CA′相交于点D，则线段BD的长为________．

解析　由旋转的性质可得△A′B′C≌△ABC，∴A′C＝AC＝4，A′B′＝AB＝2，∠B′A′C＝∠A.∵CB′∥AB，∴∠A′CB′＝∠D.∴△A′B′C∽△ACD，∴＝，即＝，∴AD＝8，∴BD＝AD－AB＝8－2＝6.

答案　6

三、解答题

8．（2013·浙江绍兴，22，12分）若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形．如图1，矩形ABCD中，BC＝2AB，则称ABCD为方形．

（1）设a，b是方形的一组邻边，写出a，b的值（一组即可）；

（2）在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结线为一边作矩形，使得这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图2所示．

①若BC＝25，BC边上的高为20，判断以B4C4为一边的矩形是不是方形？

为什么？

②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．

图1　　　　　　　　图2

解　

（1）答案不唯一，如a＝3，b＝6.

（2）①由题意，可知＝，B4C4＝25×＝20，

∵20÷4＝5≠2，

∴此矩形不是方形．

②设BC边上的高为h，由题意可知，＝，

若B3C3＝2×h，∴＝，若B3C3＝×h，

∴＝.

所以BC与BC边上的高之比为2∶3或1∶6.

9．（2014·浙江湖州，24，12分）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N.点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF，过点P作PE⊥PF交y轴于点E.设点F运动的时间是t秒（t>0）．

（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：

PE＝PF；

（2）在点F运动过程中，设OE＝a，OF＝b，试用含a的代数式表示b.

（3）作点F关于点M的对称点F′.经过M，E，F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连结QE.在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q，O，E为顶点的三角形与以点P，M，F为顶点的三角形相似，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

（1）证明