中考数学圆精讲含答案docWord下载.docx
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（1）要说明AB=CD,只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明
它们的一半相等.
上述结论仍然成立，它的证明思路与上而的题目是一模一•样的.
解：
（1）AB=CD
理由：
过O作OE、OF分别垂直于AB、CD,垂足分别为E、F
・・•ZAPM=ZCPM・・・Z1=Z2OE=OF
连结OD、OB且OB=ODARtAOFD^RtAOEBDF=BE
根据垂径定理可得：
AB=CD
（2）作OE丄AB,OF丄CD,垂足为E、F
•・•ZAPM=ZCPN_n.OP=OP,ZPEO=ZPFO=90°
・・・RtAOPE^RtAOPFOE=OF
连接OA、OB、OC、OD
易证RtAOBE^RtAODF,RtAOAE^RtAOCF
・•・Z1+Z2=Z3+Z4・・・AB=CD
例4.如图，AB是0O的直径，BD是00的弦，延长BD到C,使AC=AB,BD与
CD的大小有什么关系？
为什么？
知识点四、圆与三角形的关系
1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接|员|：
经过三角形三个顶点的闘。
3、三角形的外心：
三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接関的闘心。
4、三角形的内切圆：
与三角形的三边都相切的圆。
5、三角形的内心：
三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。
例1如图，通过防治“非典”，人们增强了卫工意识，大街随地乱扔工活垃圾的人少了,
人们自觉地将牛•活垃圾倒入垃圾桶中，如图24-49所示，A、B、C为市内的三个住宅小
区，环保公司耍建一垃圾回收站，为方便起见，要使得回收站建在三个小区都相等的某处,请问如果你是工程师，你将如何选址.
B
连结AB、BC,作线段AB、BC的屮垂线，两条屮垂线的交点即为垃圾冋
收站所在的位置.
例2如图，点0是厶ABC的内切圆的圆心，若ZBAC=80°
则ZBOC=（）
A.130°
B.100°
C・50°
D.65°
此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，答案A
例3如图，RtAABC,ZC=90°
AC=3cm,BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为
（）.
A・5cmB・2.5cmC.3cmD.4cm
直角三角形外心的位置是斜边的中点，答案B
知识点五、直线和圆的位置关系：
相交、相切、相离
当肓线和圆相交时，d<
r；
反过来，当时，肓线和圆相交。
当直线和圆相切时，d=r；
反过来，当d=r时，直线和圆相切。
当直线和圆相离时，d>
反过來，当d>
r时，直线和圆相离。
切线的性质定理：
圆的切线垂直丁过切点的盲径
切线的判定定理：
经过直径的一端，并几垂直于这条直径的直线是圆的切线。
切线长：
在经过圆外-•点的圆的切线上这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：
从闘外一点引関的两条切线，它们的切线长相等，関心和圆外这点的连线
平分两条切线的夹角。
例1、在中，BC=6cm,ZB=30°
ZC=45°
以A为圆心，当半径r多长时所
作的OA与直线BC相切？
相交？
相离?
作AD丄BC于D
在AAAADip,zb=30°
:
.ffD=yf3AD
在中，ZC=45°
・•・CD=AD
*•*BC=6cm・・・+
・・・当r=3Qf3-gw时，°
A与BC相切；
当r>
3^43一“麻时，°
A与BC相交;
"
i「€又1^5—l）6t吋，G）A与BC相离。
例2.如图，AB为G>
0的直径，C是OO上一点，D在AB的延长线上，且ZDCB=ZA.
（1）CD与。
0相切吗？
如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由.
（2）若CD与0O相切，且ZD=30°
BD=10,求0O的半径.
（1）要说明CD是否是OO的切线，只要说明0C是否垂直于CD,垂足为
C,因为C点已在圆上.
由已知易得：
ZA=30°
又由ZDCB=ZA=30°
得：
BC=BD=10
（1）CD与00相切
①C点在OO±
（已知）
②TAB是直径
AZACB=90°
即ZACO+ZOCB=90°
・・・ZA=ZOCA且ZDCB=ZA
・•・ZOCA=ZDCB・•・ZOCD=90°
综上：
CD是OO的切线.
（2）在RtAOCD中，ZD=30°
・•・ZCOD=60°
・•・ZA=30°
ZBCD=30°
.\BC=BD=10
AAB=20,・\r=10
答：
（1）CD是G）O的切线，
（2）OO的半径是10.
知识点六、圆与圆的位置关系
重点：
两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用.
难点：
探索两个圆Z间的五种关系的等价条件及应用它们解题.
外离：
两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离：
内含：
两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的内部
相切：
外切：
两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部
内切：
两圆只有一个公共点，除公共点'
外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部
相交：
两関只冇两个公共点。
设两関的半径分别为口、r2,圆心距（两圆圆心的距离）为d,则有两圆的位置关系，d与口和门之间的关系.
外离Od>
ri+r2
外切Od=ri+r2
相交O|ri—r21<
d<
内切Qd=|r】一h|
内含O0<
|T]—r21（其中d=0,两圆同心）
例1.两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点0,0,是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求ZTPN的人小.
耍求ZTPN,其实就是求ZOPO,的角度，很明显，ZPOOr是正三角形，如图2所示.
VPO=OOr=POz・・・△POO是一个等边三角形・・・ZOPOr=60o
乂TTP与NP分别为两圆的切线，・•・ZTPO=90°
ZNPOr=90°
・•・ZTPN=360°
-2x90°
-60°
=120°
例2・如图1所示，0O的半径为7cm,点A为<
30外一点，OA=15cm,
求：
（1）作OA与。
0外切，并求OA的半径是多少？
（2）作OA与（D0相内切，并求出此时OA的半径.
（1）作OA和外切，就是作以A为圆心的圆与。
0的圆心距d=r0+rA；
（2）作0A与G）O相内切，就是作以A为圆心的圆与OO的圆心距d=rA-ro・
如图2所示，
（1）作法：
以A为圆心，rA=15-7=8为半径作圆，则OA的半径为
8cm
（2）作法：
以A点为圆心,広'
=15+7=22为半径作圆,则OA的半径为22cm
例3・如图所示，点A处标为（0,3）,0A半径为1,点B在x轴上.
（1）若点B坐标为（4,0）,OB半径为3,试判断OA与OB位置关系;
①设OB与OA外切，则a/9+x2=|x+2|+1,
当x>
—2时，+x?
=x+3,平方化简得：
x=0符题意，「.B（0,0）,
当x<
—2时，十X1=—X—1,化简得x=4>
—2（舍）,
②设OBA/OA内切，则V9+x?
=|x+2|-1,
当x>
—2时，（9+x1=x+l,得x=4>
—2,/.B（4,0）,
当x<
—2时，（9+X1=—x—3,得x=0,
知识点七、正多边形和圆
讲清正多边形和関中心止多边形半径、中心角、弦心距、边长Z间的关系.
使学生理解四者：
正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系.
正多边形的屮心：
所有对称轴的交点；
正多边形的半径：
正多边形外接圆的半径。
正多边形的边心距：
正多边形内切圆的半径。
正多边形的中心角：
止多边形每一条边所对的鬪心角。
正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三和形，每个等腰三和形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。
例1.如图，已知正六边形ABCDEF,其外接圆的半径是a,求正六边形的周长和而积.
要求止六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接関半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很白然应连接0A,过0点作0M丄AB垂于M,在RtAAOM屮便可求得AM,乂应用垂径定理可求得AB的长.正六边形的而积是由六块正三角形面积组成的.
360°
如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于——=60°
AOBC6
是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.・
a/3a2
因此，所求的正六边形的周长为6a
yA宀11在RtAOAM中，OA=a,AM=—AB=—a
22
利用勾股定理，可得边心距
o皆仁©
汀冷風
1|Fi3
所求止7X边形的面积=6x—xABXOM=6x—xaxa=—
2222
例2.在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB,顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8,现要建造一个内接于AABC的矩形水池DEFN,其中D、E在AB上，如图24—94的设计方案是使AC=8,BC=6.
（1）求AABC的边AB上的高h.
（2）设DN=x,Hh~DN=—t当x取何值时，水池DEFN的而积最大?
（3）实际施工时，发现在AB±
距B点1.85的M处有一-棵人树，问：
这棵人树是否位于最大矩形水池的边上？
如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.
耍求矩形的而积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求授值.（3）的设计要冇新意，应用圆的对称性就能圆满解决此题.
V-—（x-2.4）2<
0・・・一一（x-2.4）2+12<
12且当x=2.4时，収等号
xx
・••当x=2.4时,Sdefn最大.
（3）当Sdefn最大时,x=2.4,此时,F为BC中点,在RtAFEB中,EF=2.4,BF=3.
・•・BE=yjDE2-EF2=yji2-2A2=1.8
VBM=1.85,ABM>
EB,即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案.
•・•当x=2.4吋，DE=5・・・AD=3.2,
由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示：
此时，AC=6,BC=8,AD=1.8,BE=3.2,这样设计既满足条件，又避开大树.
知识点八、弧长和扇形.圆锥侧面积面积
n。
的圆心角所对的弧“需’扇形面积$扇=密、圆锥侧面积面积及其它们的应用.
公式的应用.
1.n。
的圆心角所对的弧长L=^
180
_i^2
2.圆心角为n。
的扇形而积是S扇形=
360
3.全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以金面积二兀也+已.
例1.操作与证明：
如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的屮心，将一•块半径足够长，圆心角为肓角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：
正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.
如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、
N,连结OA、OD.•・•四边形ABCD是正方形
r.OA=OD,ZAOD=90°
ZMAO=ZNDO,
又ZMON=90°
ZAOM=ZDONAAAMO^ADNO
・•・AM=DN・•・AM+AN=DN+AN=AD=a
特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此吋AM+AN仍为定值a.故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.
例2.已知扇形的鬪心角为120°
面积为300^-cm2.
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
⑴由“需求出R,再代入“鬻求得.
（2）若将此扇形卷成
一个圆锥，扇形的弧长就是関锥底面I员啲周长，就口J求関的半径，其截面是一个以底是直径，圆锥母线为腰的等腰三角形.
（1）如图所示:
（2）如图所示:
因此，扇形的弧长是20〃cm卷成圆锥的轴截而是200^2cm2・
最新考题
中考要求及命题趋势
1、理解圆的基木概念与性质。
2、求线段与角和弧的度数。
3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。
4、直线和圆的位置关系。
5、圆的切线的性质和判定。
6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。
7、圆和圆的五种位置关系。
8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距Z间的关系式。
两圆相切、相交的性质。
9、掌握弧长、扇形面积计算公式。
10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。
11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。
2010年中考将继续考查圆的有关性质，其中圆与三角形相似（全等）。
三角函数的小综合题为考查重点；
直线和圆的关系作为考查重点，其中直线和圆的位置关系的开放题、探究题是考查重点；
继续考查圆与圆的位置五种关系。
对弧长、扇形面积计算以及圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算是考查的重点。
应试对策
闘的综合题，除了考切线必须的问题。
一般闘主要和前面的相似三角形，和前面大的知识点接触。
就是说几何所有的东西都是通的，伤〈学后面的就自然牵扯到前面的，前面的忘掉了，简单的东酋忘掉了，后面要用就不会用了，所以儿何前面学到的知识、常用知识，后面随时都在用。
直线和圆以询的部分是重点内容，后而扇形的而积、圆锥、圆柱的侧而积，这些都是必考的，后面都是一些填空题和选择题，对于扇形而积公式、圆锥、圆柱的侧面积的公式记住了就可以了。
闘这一章，特别是有关I员I的性质这两个单元，重要的概念、定理先掌握了，你首先要掌握这些，题目就是定理的简单应用，所以概念和定理没有掌握就谈不到应用，所以你首先应该掌握。
掌握Z后，再掌握一些这两章的解题思路和解题方法就可以了。
你说你己经把一些这个单元的基木定理都学握了，那么我可以在这里而介绍一些掌握的解题思路，这样你把这些都掌握了，解决一些中等难题。
都是哪些思路呢？
我暂认为你基本知识掌握了，那么，在I员1的冇关性质这一章，你需要掌握哪些解题思路、解题方法呢？
第一，这两章有三条常用辅助线，一章是圆心距，第二章是在径圆周角，第三条是切线径，就是连接圆心和切点的，或者是连接圆周角的距离，这是一条常用的辅助线。
有儿个分析题目的思路,在圆中有一个非常重要，就是弧、常与圆周角互相转换，那么怎么去应用，就根据题目条件而定。
考查目标一、主要是指圆的基础知识，包括圆的对称性，圆心角与弧、弦之间的相等关系，圆周角与圆心角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，以及垂径定理等内容。
这部分内容是圆的基础知识，学生要学会利用相关知识进行简单的几何推理和几何计算
C
例1、如图，43是的直径，BC是弦,0D丄BC于E,交BC于
D.
（1）请写出五个不同类型的正确结论；
⑵若BC=8,ED=2f求00的半径.
运用圆的垂径定理等内容
（1）不同类型的正确结论冇：
®
BE=CE;
②弧BD=^CD③ZBEZ）=90°
ZB0D=乙打⑤AC〃0D,⑥AC丄BC;
⑦0段+B段=0B\⑧S/mbc=〃C0E；
⑨厶BOD是等腰三角形，⑩厶B0Es/\rac；
（2）•・•0D丄BC,.IBE=CE=-BC=4.
2
设OO的半径为R,则0E=0D~DE=R~2.
在RtAOEB中，由勾股定理得
OE2+BE2=OB\即（R-2）2+42=R2.解得R=5.：
・00的半径为5
例2・己知：
如图等边△ABC内接于0（7,点P是劣弧PC±
的一点（端点除外），延长
BP至D,使BD=AP,连结CQ.
（1）若AP过圆心0,如图①，请你判断/XPDC是什么三角形？
并说明理由.
（2）
若4P不过圆心0,如图②，'
PDC乂是什么三角形？
・・・ZBAP=ZPAC=-ZBAC=30°
.IZBAP=ZBCP=30°
ZPBC=ZPAC=30°
・•・乙CPD=ZPBC+乙BCP=30°
+30°
=60°
Z./XPDC为等边三角形.
（2）\PDC仍为等边三角形
先证△APCU'
BDC（过程同上）PC=DC
•・・ZBAP+ZPAC=60°
乂JZBAP=ZBCP,ZPAC=ZPBC
:
.ZCPD=ZBCP+ZPBC=ZBAP+ZPAC=60°
又JPC=DC:
./XPDC为等边三角形.
例3・
（1）如图OA、OB是（DO的两条半径，且OA丄OB,点C是OB延长线上任意一点:
过点C作CD切。
0于点D,连结AD交DC于点E.求证：
CD=CE
（2）若将图中的半径OB所在总线向上平行移动交OA于F,交OO于B\其他条件不变,那么上述结论CD=CE述成立吗?
（3）若将图中的半径OB所在直线向上平行移动到OO外的CF,点E是DA的延长线与
CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?
为什么解题思路：
本题主要考查圆的有关知识，考查图形运动变化中的探究能力及推理能力.解答：
（1）证明：
连结0D则0D丄CD,AZCDE+ZODA=90°
在RtAAOE中，ZAEO+ZA=90°
在00'
h0A=0D.\ZA=Z0DA,.\ZCDE=ZAEO
乂VZAEO=ZCED,ZCDE=ZCED・\CD=CE
（2）CE=CD仍然成立.
•・•原來的半径0B所在直线向上平行移动・・・CF丄AO于F,
在RtAAFE中，ZA+ZAEF=90°
.
连结0D,有ZODA+ZCDE=90°
且OA=OD.ZA=ZODA
・•・ZAEF=ZCDE乂ZAEF=ZCEDZCED=ZCDEACD=CE
（3）CE=CD仍然成立.
•・•原来的半径0B所在直线向上平行移动.A0丄CF
延长0A交CF于G,在RtAAEG中，ZAEG+ZGAE=90°
连结0D,有ZCDA+ZODA=90°
J=LOA=OD.\ZADO=ZOAD=ZGAE
・•・ZCDE=ZCED・•・CD=CE
考査目标二、主要是指点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关
系的相关内容。
学生要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。
例1、是OO的直径，P4切于A,0P交©
0于C,连BC.若ZP=30°
求,B的度数.
A
运用切线的性质.
CoL
=p
・・・P4切OO于A,AB是。
0的直径，AZPAO=
：
90°
丿
vZP=30°
AZAOP=60°
.AZB=-ZAOP-
二30。
例2•如图，四边形ABCD内接于。
0,是OO的直径，AE丄CD,垂足为E,DA
平分ZBDE.
（1）求证：
AE是OO的切线;
（2）若ZDBC=3$,DE=1cm,求BD的长.
运用切线的判定
连接0A,•・•DA平分ZBDE,・•・ZBDA=ZEDA.
・・•0A=0D,・・・ZODA=ZOAD./.ZOAD=ZEDA.
・••OA//CE.
vAE丄DE,/.ZAED=90°
ZOAE=ZDEA=90\
.AE丄04.:
.AE是（DO的切线.
（2）・・・BD是直径,・・・ZBCD=ZBAD=9（y・
•・•ZDBC=30°
ZBDC=60°
/.ZBDE=120°
DA平分ZBDE,/.ZBDA=ZEDA=60°
.:
.ZABD=ZEAD=30°
TDE的长是1cm,/.BD的长是4cm.
考查目标三、主要是指圆中的计算问题，包括弧长、扇形面积，以及圆柱与圆锥的侧面积和全面积的计算，这部分内容也是历年中考的必考内容之一。
学生要理解圆柱和其侧面展开图矩形、圆锥和其侧面展开图扇形之间的关系。
例1、如图，已知在。
0中,
于F,ZA=30°
（1）求图中阴影部分的血积
（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径.
（1）法一：
过O作OE丄AB于E,则AE=1aB=2V3o
AT在RtAAE0中，ZBAC=30°
cos30°
=—
AE2爲
.OA=R匕==4.
cos30°
5/3
T
XVOA=OB,AZABO=30°
.AZBOC=60°
VAC丄BD,••-BC=CD.AZCOD=ZBOC=60°
.AZBOD=120°
法二：
连结AD.
VAC丄BD,AC是直径，AAC垂直平分BD。
・・・AB=AD,BF=FD,BC=CDoAZBAD=2ZBAC=60°
AZBOD=120°
VBF=1AB=2V3,sin60°
=—,AF=ABsin60°
=473x
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