disp('系统不可控')
end
d1=eig(A)'
d2=eig(A1)'
flag1=0;
flag2=0;
fori=1:
n1
ifreal(d1(i))>0
flag1=1;
end
end
ifflag1==1
disp('原系统不稳定')
else
disp('原系统稳定')
end
forj=1:
n2
ifreal(d2(j))>0
flag2=1;
end
end
ifflag2==1
disp('新系统不稳定')
else
disp('新系统稳定')
end
运行结果:
请输入系统矩阵:
[01000;-0.1-0.5000;0.50000;001000;0.51000]
请输入输入矩阵:
[0;1;0;0;0]
请输入输出矩阵:
[00010]
Qc1=
01.0000-0.50000.1500-0.0250
1.0000-0.50000.1500-0.0250-0.0025
000.5000-0.25000.0750
0005.0000-2.5000
01.00000-0.10000.0500
n1=
5
rc1=
4
系统不可控
sys=
50/s^2/(10*s^2+5*s+1)
A1=
00
10
B1=
1
0
C1=
25050
D1=
500
Qc2=
10
01
n2=
2
rc2=
2
系统可控
d1=
000-0.2500-0.1936i-0.2500+0.1936i
d2=
00
原系统稳定
新系统稳定
分析:
由上述分析结果可知原系统和新系统均稳定,而实际上由系统的极点可知,原系统是稳定的,新系统实际上处于临界稳定状态也可认为是不稳定的;若以状态变量的数目来度量复杂性,可知系统的完全可控性与复杂性存在类似反比的关系,及复杂性越高系统完全可控的难度越大,复杂性越低系统完全可控的难度越低。
3、垂直起降的飞机的线性化模型为:
=Ax+B1u1+B2u2
其中
A=
B1=,B2=
系统的状态变量为水平速度(节)、垂直速度(节)、倾斜率(度/秒)和倾斜角(度);系统的控制输入为和,其中用于控制垂直运动,用于控制水平运动。
(a)计算系统矩阵的特征值,并由此判断系统是否稳定;
(b)利用poly函数确定的特征多项式,计算特征根,并与(a)中得到的特征根相比较;
(c)当只有发挥作用时,系统能控吗?
当只有发挥作用时,结果又如何?
请比较解释你的结论。
解:
矩阵A的特征值由下列方式实现:
>>A=[-0.03660.02710.0188-0.4555;0.0482-1.01000.0024-4.0208;0.10020.3681-0.70701.4200;0010];
>>Lambda=eig(A)
Lambda=
0.2758+0.2576i
0.2758-0.2576i
-0.2325
-2.0727
由上可知,系统有两个负实根-0.2325和-2.0727,两个实部为正的共轭复根0.2758+0.2576i和0.2758-0.2576i,而要使系统渐进稳定,所有的特征根必须都具有负实部,所以此系统为不稳定系统。
由poly函数确定系统特征多项式的实现如下:
>>A=[-0.03660.02710.0188-0.4555;0.0482-1.01000.0024-4.0208;0.10020.3681-0.70701.4200;0010];
>>b=poly(A)
b=
1.00001.7536-0.64720.06250.0686
上述b的值为系统特征多项式的系数,则系统特征多项式为a(s)=s4+1.7536s3-0.6472s2+0.0625s+0.0686,计算此特征多项式的根有如下实现过程:
>>b=[11.7536-0.64720.06250.0686];
>>roots(b)
ans=
-2.0727
0.2758+0.2576i
0.2758-0.2576i
-0.2324
由特征多项式所得特征根为两个负实根-2.0727和-0.2324,两个具有正实部的共轭复根0.2758+0.2576i和0.2758-0.2576i,将其与(a)中所得特征根比较如下:
(a):
[-2.0727-0.23250.2758+0.2576i0.2758-0.2576i]
(b):
[-2.0727-0.23240.2758+0.2576i0.2758-0.2576i]
可以看出,(a)和(b)所得的系统特征值只有一个负实根不相同之外其他的特征根都相同,而不相同的两个负实根-0.2325和-0.2324只相差0.0001,相差甚微,仅仅是这么小的差距对分析系统性能并没有很大的影响,完全可以忽略。
(c)
当只有u1作用于系统时,即输入矩阵只有B1矩阵,由系统矩阵A和输入矩阵B1确定的能控性判别矩阵可知系统的能控性,对此有如下实现过程:
>>A=[-0.03660.02710.0188-0.4555;0.0482-1.01000.0024-4.0208;0.10020.3681
-0.70701.4200;0010];
>>B1=[0.4422;3.5466;-5.5200;0];
>>Co1=ctrb(A,B1)
Co1=
0.4422-0.02382.5171-2.0270
3.5466-3.574025.8160-47.1028
-5.52005.2525-12.869926.3126
0-5.52005.2525-12.8699
>>r=rank(Co1)
r=4
系统状态维数n=4,又有r=n=4,所以只有u1单独作用时系统完全能控。
当只有u2作用于系统时,相应的输入矩阵只有B2,可以由系统矩阵A和输入矩阵B2确定的能控性判别矩阵判断系统的能控性,具体的实现如下过程:
>>B2=[0.1761;-7.5922;4.4900;0];
>>Co2=ctrb(A,B2)
Co2=
0.1761-0.1278-1.94412.3338
-7.59227.6874-25.838149.9646
4.4900-5.951513.4004-27.6310
04.4900-5.951513.4004
>>r=rank(Co2)
r=4
同样有r=n=4,所以只有u2单独作用于系统时系统也是完全可控的。
4、为了探究月球背面(远离地球的一面)的奥秘,人们付出了不懈的努力。
例如,在地球-太阳-月球系统中,人们希望通信卫星能定点在不受月球遮挡的轨道上,并为此开展了广泛的论证研究工作。
图中给出了预期卫星轨道的示意图,从地球上看上去,卫星轨道的光影恰似环绕月球的外层光晕,因此这种轨道又称为光晕轨道。
轨道控制的目的是,使通信卫星在地球可见的光晕轨道上运行,从而保证通信链路的畅通,所需的通信链路包括从地球到卫星和从卫星到月球背面共两段线路。
卫星绕定点位置运动时,经过标准化和线性化的漂移运动方程为:
其中,状态变量是卫星在三个方向上的位置和速度漂移,输入分别是轨控发动机在、和方向上产生的加速度。
(a)卫星的定点位置是否稳定?
(b)如果只有发挥作用,卫星是否能控?
(c)如果只有发挥作用,卫星是否能控?
(d)如果只有发挥作用,卫星是否能控?
(e)如果能够测得方向的位置漂移,请确定由到该位置漂移量的传递函数。
(提示:
可以令观测输出为)
(f)用tf2ss函数,计算(e)中得到的传递函数的状态变量模型,并验证该轨迹子系统是能控系统;
(g)采用状态反馈,设计合适的反馈控制器,使(f)中得到的系统的闭环极点为和。
解:
(a)由系统矩阵A的特征值可以判断系统的稳定性,如下可知系统含有正实数特征根,故系统是不稳定的
>>A=[000100;000010;000001;7.380900020;0-2.19040-200;00-3.1904000]
>>Lambda=eig(A)
La