浙江省绍兴市一中高二上学期期末考试数学试卷_精品文档.doc
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绍兴一中2015学年第一学期期末考试
高二数学
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.与直线x+y+3=0平行，且它们之间的距离为的直线方程为（ ）
A．x-y+8=0或x-y-1=0 B．x+y+8=0或x+y-1=0
C．x+y-3=0或x+y+3=0 D．x+y-3=0或x+y+9=0
2.长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ）
A. B． C．50π D．200π
3.设l，m是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
C．若l∥α，m∥α，则l∥m D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α
4.若直线y=x+m与曲线=x有两个不同的交点，则实数m的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
5.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）
A．4 B． C． D．8
6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，在折起过程中，有几个正确（）
①.ED⊥平面ACD②.CD⊥平面BED③.BD⊥平面ACD④.AD⊥平面BED
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.点P（-3，1）在椭圆（a＞b＞0）的左准线（）上．过点P且方向为=
（2，-5）的光线，经直线y=﹣2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
8.已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，其中第9,15题各4分，共23分）
9.直观图（如图）中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xOy坐标中四边形ABCD为 ，面积为 cm2．
10.李师傅在建材商店购买了三根外围直径都为10cm的钢管，为了便于携带，他将三根钢管用铁丝紧紧捆住，截面如图所示，则铁丝捆扎一圈的长度为 cm．
11.椭圆E：
内有一点P（2，1），则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为 ．
12.四面体的棱长中，有两条为、，其余的全为1，它的体积是．
13.连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为和，M、N分别是AB、CD的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：
①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；
③MN的最大值是5；④MN的最小值是1；
其中所有正确命题的序号为 ．
14.设圆C：
x2+y2=3，直线l：
x+3y﹣6=0，点P（x0，y0）∈l，存在点Q∈C，使∠OPQ=60°（O为坐标原点），则x0的取值范围是．
15.在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD1|=的点P的个数为；
若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共5题，共53分）
16.（本题满分8分）如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱．
（1）试用x表示圆柱的侧面积；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大．
17.（本题满分9分）已知圆，直线
（1）求证：
对，直线与圆总有两个不同的交点A、B；
（2）求弦AB的中点M的轨迹方程.
18.（本题满分10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）证明：
CD⊥AE；
（2）证明：
PD⊥平面ABE；
（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．
19.（本题满分12分）已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；
（2）若的外接圆为圆N，试问：
当P在直线上运动时，圆N是否过定点？
若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）求线段AB长度的最小值．
20.（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知是椭圆上的一点，从原点O向圆作两条切线，分别交椭圆于点P,Q.
（1）若直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；
（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为，求证；
（3）试问是否为定值？
若是，求出该值；若不是，说明理由．
O
P
R
Q
x
y
绍兴一中2015学年第一学期期末考试
高二数学答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1
2
3
4
5
6
7
8
D
C
B
B
B
A
A
B
二、填空题（每小题3分，其中第9,15题各4分，共23分）
9.矩形810.30+10π11.x+2y﹣4=012.13.①③④14.
15.12
16.
（1）S圆柱侧=…………………4分
（2）由
（1）知当时，这个二次函数有最大值为6π，
∴当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为6πcm2…………………………8分
17.
（1）解法一：
圆的圆心为，半径为。
∴圆心C到直线的距离，∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；
方法二：
∵直线过定点，而点在圆内∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；………………………………………………4分
（2）当M与P不重合时，连结CM、CP，则，又因为
设，则，
化简得：
………………………………………………7分
当M与P重合时，也满足上式。
故弦AB中点的轨迹方程是。
……………………………………9分
18.
（1）证明：
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，
又AC⊥CD，AC∩PA=A，
∴CD⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，
∴CD⊥AE；…………………………………………………………………………3分
（2）证明：
∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD∴PA⊥AB，
又AD⊥AB，AD∩PA=A
∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD∴AB⊥PD，
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形．
∴AC=AB∴PA=PC
∵E是PC中点∴AE⊥PC
由
（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD
∴AE⊥PD，又AB⊥PD，AB∩AE=A
∴PD⊥平面ABE；…………………………………………………………………6分
（3）解：
过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，
由
（2）知AE⊥平面PCD，则AE⊥PD，
则PD⊥平面AEM，∴AM⊥PD，
则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．
设AC=a，AD==，PA=A，PD==a，
AM===，
在Rt△AEM中，AE=a，EM===a，
则tan∠AME===．………………………………………………10分
或直接建立空间直角坐标系求解，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，设AC=a,则A（0,0,0），P（0,0,a）,D（0,,0）,C（,0）。
19.
（1）由题意知，圆M的半径，设，
∵PA是圆M的一条切线，∴，
∴，解得，
∴或．…………………………………………………………4分
（2）设，∵，∴经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，
其方程为，
即，
由，解得或，
∴圆过定点，．……………………………………………………8分
（3）因为圆N方程为，
即，
圆M：
，即，
②-①得：
圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：
，
点M到直线AB的距离，
相交弦长即：
，
当时，AB有最小值．……………………………………………………12分
20.
（1）由圆R的方程知圆R的半径r=,|OR|==4，即①，又点R在椭圆上，所以②，联立①②，解得，所以圆R的方程为………………………………………………4分
（2）因为直线OP：
y=k1x和OQ：
y=k2x都与圆R相切，
所以，………………………………5分
化简得，，所以k1，k2是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理得，k1k2=.因为点R在椭圆上，所以，即，所以k1k2=，即.…………………………………………9分
（3）当直线OP、OQ落在坐标轴上时，有=36；……………………10分
当直线OP、OQ落在坐标轴上时，设P（），Q（），因为，所以，故………………………………………………11分
因为P（），Q（）在椭圆上，所以，，即，，所以，整理得，所以，所以=36.
综上，=36.………………………………………………………………14分
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