整理中考总复习整式与因式分解.docx

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整理中考总复习整式与因式分解

（完整）中考总复习：

整式与因式分解

编辑整理：

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整式与因式分解）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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整式与因式分解的全部内容。

中考总复习:

整式与因式分解

【考纲要求】

1。

整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现；

2.因式分解是中考必考内容,题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查。

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、整式

1.单项式

　　数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算,不含有加减运算．在含有除法运算时，除数（分母）只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．

要点诠释：

（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．

（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．

2。

多项式

　　几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．

要点诠释:

（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．

（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．

（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．

（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外,把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．

3。

整式　　单项式和多项式统称整式．

4。

同类项　　所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．

5。

整式的加减

　　整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．

　　把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变.

　　如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

　　整式加减的运算法则:

一般地,几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

6。

整式的乘除

　　①幂的运算性质：

　　②单项式相乘:

两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

　　③单项式与多项式相乘：

单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加．用式子表达：

　　④多项式与多项式相乘：

一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：

　　平方差公式：

完全平方公式:

　　　在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时,如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.

　　⑤单项式相除：

两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

　　⑥多项式除以单项式:

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

要点诠释：

（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，

即（都是正整数）。

（3）逆用公式：

把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。

即（都是正整数）.

（4）公式的推广：

（，均为正整数）

（5）逆用公式：

，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.

（6）公式的推广:

（为正整数）。

（7）逆用公式：

逆用算式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便。

如：

（8）多项式与多项式相乘，仍得多项式。

在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘，。

考点二、因式分解

1。

因式分解　　把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．

2。

因式分解常用的方法

（1）提取公因式法：

（2）运用公式法:

平方差公式:

；完全平方公式：

（3）十字相乘法:

（4）分组分解法:

将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。

（5）添、拆项法:

把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.

（6）运用求根公式法：

若的两个根是、，则有：

.

3.因式分解的一般步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；

（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；

（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.

要点诠释：

（1）因式分解的对象是多项式；

（2）最终把多项式化成乘积形式；

（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．

（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数一般都化为正数,如果是负数，则提出负号,分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.

（5）分组分解法分解因式常用的思路有：

方法

分类

分组方法

特点

分组分解法

四项

二项、二项

①按字母分组②按系数分组

③符合公式的两项分组

三项、一项

先完全平方公式后平方差公式

五项

三项、二项

各组之间有公因式

六项

三项、三项

二项、二项、二项

各组之间有公因式

三项、二项、一项

可化为二次三项式

【典型例题】

类型一、整式的有关概念及运算

1．若多项式x2+ax+8和多项式x2-3x+b相乘的积中不含x2、x3项，求（a-b）3-（a3—b3）的值．

【思路点拨】

多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．结果中不含二次项和三次项，则说明这两项的系数为0，建立关于a、b等式，求出a、b后再求代数式值．

【答案与解析】

解：

∵（x2+ax+8）（x2-3x+b）=x4+（a—3）x3+（b-3a+8）x2+（ab-24）x+8b，

又∵不含x2、x3项，

∴a-3=0，b—3a+8=0，

解得a=3，b=1，

∴（a—b）3-（a3—b3）=（3—1）3—（33—13）=8-26=-18．

【总结升华】解此类问题的常规思路是：

将两个多项式依据乘法法则展开，合并同类项，根据不含某一项就是这一项的系数等于0再通过解方程（组）求解．

2．设m2＋m－2＝0,求m3＋3m2＋2012的值．

【思路点拨】可以把m3＋3m2＋2012及m2＋m－2＝0变形．

【答案与解析】

由m2＋m－2＝0，得m2＝2－m，m2＋m＝2，

原式＝m2·m＋3m2＋2012

＝（2－m）·m＋3m2＋2012＝2m－m2＋3m2＋2012＝2（m2＋m）＋2012＝2×2＋2012＝2016

【总结升华】要多探索方法，寻求新颖简捷的方法．

3．已知，求的值．

【答案与解析】∵，∴．

【点评】

（1）逆用幂的乘方法则:

．

（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．

举一反三：

【变式】已知，．求的值．

【答案】．

类型二、因式分解

4．多项式的最小值是____________。

【答案】4；

【解析】，所以最小值为4.

【点评】通过因式分解化为完全平方式，分析得出多项式的最小值。

5．把分解因式．

【答案与解析】

解法一：

．

解法二:

．

【点评】此题多项式的四项中没有公因式，所以不能直接用提公因式法，但如果把其中两项合为一组，如把第一、三两项和第二、四两项分为两组，可以分别提取公因式和，并且另一个因式都是（），因此可继续分解．把一个多项式的项分组后能运用提取公因式法进行分解,并且各组在分解后它们的另一个因式正好相同，还能用提取公因式法继续分解，那么这个多项式就可以用分组法来分解因式．

举一反三:

【变式1】分解因式：

【答案】原式。

【变式2】

（1）16x2－（x2＋4）2；

（2）

【答案】

（1）原式＝（4x）2－（x2＋4）2

＝[4x＋（x2＋4）］[4x－（x2＋4）]＝－（x2＋4x＋4）（x2－4x＋4）＝－（x＋2）2（x－2）2．

（2）原式

类型三、因式分解与其他知识的综合运用

6．若、、为三角形的三边边长,试判断的正负状况．

【思路点拨】将原式用公式法分解因式，再由三角形三边的关系确定每个因式的符号，最后就能得出结果的符号.

【答案与解析】

．

依三角形两边之和大于第三边，知,，，

故．

【点评】将原式分解因式，再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来判断每个因式的正负。

举一反三：

【变式1】若△ABC的三边长分别为、、,且满足，求证:

.

【答案】

所以

所以

所以

因为△ABC的三边长分别为、、，,

所以,矛盾,舍去.

所以.

【变式2】已知，求的值．

【答案】

＝102－2

＝98．

【巩固练习】

一、选择题

1.若能被60或70之间的两个整数所整除,这两个数应当是（）

A．61,63B．63，65C．61，65D．63，67

2.乘积应等于（）A．B．C．D．

3．若成立，则（）．

A.＝3，＝5B。

＝3，＝12C.＝6,＝12D.＝6，＝5

4．的个位数字是（）A．2B．4C．6D．8

5．若为任意实数时，二次三项式的值都不小于0，则常数满足的条件是（）

A.B.C.D。

6．如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）,则该矩形的面积是（　　）

A．

2cm2

B．

2acm2

C．

4acm2

D．

（a2﹣1）cm2

二、填空题

7．已知，，那么P，Q的大小关系是．

8．已知,则＝．

9．若n是正整数，且,则＝__________.

10.

（1）如果，那.

（2）已知,则。

11．对于任意的正整数，能整除代数式的最小正整数是_______.

12。

如果＝63，那么＋的值为_______.

三、解答题

13.

（1）若，求的值．

（2）若，求、的值．

14．将下列各式分解因式:

（1）；

（2）；

（3）;（4）.

15.若二次三项式能被整除，试求的值．

16.已知：

求的值.

【答案与解析】

1.【答案】B；

【解析】

2。

【答案】D；

【解析】

3.【答案】A；

【解析】，解得＝3,＝5.

4。

【答案】C；

【解析】的个位数字等于的个位数字．∵；．∴的个位数字等于9＋7的个位数字．

则的个位数字是6．

5。

【答案】B;

【解析】,由题意得，，所以.

6。

【答案】C；

【解析】

矩形的面积是（a+1）2﹣（a