高中数学 12 任意角的三角函数教材梳理素材 苏教版4.docx

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高中数学12任意角的三角函数教材梳理素材苏教版4

高中数学1.2任意角的三角函数教材梳理素材苏教版必修4

知识·巧学

1.任意角的三角函数

（1）任意角的三角函数

由初中所学可知锐角的三角函数是通过直角三角形定义的.但角的概念推广以后，用直角三角形定义一个角的三角函数就有了一定的局限性.在上一节的学习中我们在直角坐标系中研究了任意角.同样，我们也可以在直角坐标系中定义任意角的三角函数.

联想发散初中学习的锐角三角函数是用直角三角形边的比值来定义的，受直角三角形的约束，不能类似地定义任意角的三角函数.如果建立平面直角坐标系，就可用角的终边上点的坐标来定义任意角的三角函数，以进一步研究它的性质.

对于一个任意角α，让其顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）.记P到原点的距离为r，则P与原点的距离r=（如图1-2-2）.

图1-2-2

当α为锐角时，过P作PM⊥x轴于M，则三角形OMP为直角三角形，则由锐角三角函数的定义可得

sinα=，cosα=，tanα=.此定义与初中所学的三角函数的定义实质相同.

一般地，对任意α我们规定：

①比值叫做α的正弦,记作sinα，即sinα=；

②比值叫做α的余弦,记作cosα，即cosα=；

③比值叫做α的正切,记作tanα，即tanα=.

此外，比值叫做α的余切，记作cotα=；比值叫做α的正割，记作secα=；比值叫做α的余割，记作cscα=.由初中所学的三角形相似的知识可知对于确定的角α,比值和都是唯一确定的，因此正弦和余弦都是角α的函数.当α=+kπ,k∈Z时，角α的终边与和-的终边相同,都落在y轴上，此时P点的横坐标x为0，比值无意义，即此时tanα无意义，除此之外，对于确定的角α（α≠+kπ,k∈Z）,比值也是唯一确定的，所以正切也是角α的函数.

正弦函数、余弦函数和正切函数都称为三角函数.

联想发散函数是由定义域、值域、对应法则三部分构成的，三角函数的自变量是角，比值是函数值，“求正弦”“求余弦”“求正切”等是对应法则.

深化升华对于任意角的三角函数应注意以下几点：

①角是“任意角”，当β=2kπ+α（k∈Z）时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等；

②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用.

③三角函数是以“比值”为函数值的函数；三角函数的值的大小仅与角有关，而与终边上所取的P点的位置无关，即对于确定的角α，这些比值都不会随点P在角α的终边上的位置的改变而改变.

④r＞0，但x、y的正负却随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定（今后将专门研究）.

误区警示sinα、cosα、tanα等三角函数的记法表示一个整体，离开自变量α的sin、cos、tan等都是没有意义的.例如sinα并不表示“sin”与“α”的乘积，就像函数“f（x）”不表示“f”与“x”的乘积一样，sinα是一个比值，如sin，它表示的正弦值，即sin=.同理，cosα、tanα的意义也是一样的.

（2）三角函数值的符号

由初中所学过的知识我们知道锐角的三角函数均为正值，现在我们把锐角扩充为任意角，并且用坐标定义了任意角的三角函数，则任意角的三角函数的符号又是怎样的呢？

要回答这个问题，这就用到了三角函数的定义：

sinα=；cosα=；tanα=.

由于r为正值，则角α的正弦值的符号与y的符号相同；角α的余弦值的符号与x的符号相同；角α的正切值的符号取决于x、y的符号，当x、y相同时正切值为正值，当x、y符号相异时正切值为负值.

所以，当角的终边在第一象限时，由于角α终边上点的坐标均为正值，故角α的三角函数为正值；当角的终边在第二象限时，由于角α终边上点的纵坐标为正值，横坐标为负值，则角的正弦值为正值，其他的三角函数值为负值；当角的终边在第三象限时，由于角α终边上点的坐标均为负值，则角的正切值为正值，其他的三角函数值为负值；当角的终边在第四象限时，由于角α终边上点的横坐标为正值，纵坐标为负值，则角的余弦值为正值，其他的三角函数值为负值.

学法一得三角函数的符号是由角终边所在象限所确定的，要想掌握三角函数的符号，应掌握各象限中的点及坐标轴上点坐标的特点.

记忆要诀综合三角函数值在各象限的符号，从取正号方面来看，可记忆为：

“一全正，二正弦，三正切，四余弦”,即“一全正”是指在第一象限的各三角函数值均为正；“二正弦”指的是在第二象限只有正弦值为正值；“三正切”指的是在第三象限只有正切值为正值；“四余弦”指的是在第四象限只有余弦值为正值.

2.有向线段与三角函数线

（1）有向线段

规定了方向（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段.类似地，可以把规定了正方向的直线称为有向直线，例如数轴就是有向直线.

当有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行时，根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号所得的数叫做有向线段的数量，记为AB，为了区分有向线段和它的数量，一般在有向线段前加上“有向线段”.

误区警示有向线段AB书写时不能写成BA，这种写法是错误的.这是因为在书写有向线段时，一定要将起点写在前而终点写在后.

深化升华当有向线段的方向与有向直线的方向相同时，有向线段的数量为正数；当有向线段的方向与有向直线的方法相反时，有向线段的数量为负数.

（2）三角函数线

设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，由于角α的三角函数值与点P在角终边上的位置无关，所以为了简单起见，取r=1，即选取角α的终边与单位圆（圆心在原点O，半径等于单位长度的圆）的交点为P点，则sinα=y，cosα=x.如图1-2-3，过P（x,y）作PM⊥x轴于M，

图1-2-3

又不难得出有向线段OM、OP的长度分别为|x|、|y|.若x＞0，则OM看作与x轴同向，OM具有正值x；若x＜0，OM看作与x轴反向，OM具有负值x，所以总有OM=x，同理,有MP=y，所以有sinα=MP,cosα=OM.

则有向线段MP、OM分别叫做角α的正弦线和余弦线.

过点A（1,0）作单位圆切线，与α角的终边（角的终边在第一或第四象限如图1-2-3中①④）或其反向延长线（角的终边在第二、三象限，如图1-2-3中①②）交于T（1，y′），则当角的终边在y轴的右侧时,tanα==y′；当角的终边在y轴的左侧时，T（-1，-y′）在角的终边上，此时tanα==y′.又有向线段AT的长度为|y′|，当y′＞0时，有向线段AT与y轴方向相同，此时有y′=AT;当y′＜0时，有向线段AT与y轴方向相反，此时有y′=AT，所以tanα==y′=AT.我们把有向线段AT叫做角α的正切线.

有向线段MP、OM、AT统称为三角函数线.

误区警示书写正弦线时，一定要注意不能写成PM，而应写成MP.这是因为三角函数线为有向线段，当线段中含有原点时，原点为起点；当线段中不含原点时，垂足为起点，对于正切线应注意其起点坐标始终是（1，0）.

当角α的终边在x轴上时，正弦线和正切线分别变成一个点；当角α的终边在y轴上时，余弦线变为一个点，而正切线不存在.

辨析比较三角函数线都是有向线段，当它们的方向与坐标轴的方向相同时，对应的三角函数值为正值；当它们的方向与坐标轴的方向相反时，对应的三角函数值为负值.正弦线的起点在x轴上，且与y轴平行，余弦线的起点是原点，它在x轴上，正切线的起点为（1，0），它与y轴平行.

学法一得学习三角函数线，应从它的方向和它与坐标轴的位置关系入手.

由于角的集合和实数的集合之间可以建立一一对应的关系，因此三角函数可以看作是以实数为自变量的函数，在弧度制下三角函数的定义域如下：

y=sinα

R

y=cosα

R

y=tanα

{α|α≠kπ+（k∈Z）}

利用三角函数线，我们可以比较两个角同名三角函数值的大小、求已知三角函数值所对应的角、解简单的三角不等式、求三角函数的定义域等.同时它也是学习三角函数的图象和性质的基础.

深化升华正弦线、余弦线、正切线解释了正弦函数、余弦函数、正切函数的几何意义，是从“形”的方面研究三角函数，直观、形象.

3.同角三角函数关系

（1）公式的推导

方法一：

设角α终边与单位圆交于点P，则P点的坐标为（cosα,sinα），又由OP的长度为1不难得出sin2α+cos2α=1；

由正切函数的定义,可知当α≠+kπ,k∈Z时，有tanα=.

方法二：

由于sinα=,cosα=,tanα=,cotα=,

当α≠kπ+（k∈Z）时,有=·==tanα；

又x2+y2=r2，

所以sin2α+cos2α=（）2+（）2===1.

由上我们可得以下公式：

sin2α+cos2α=1,

tanα=.

（2）公式的变形

如：

sin2α+cos2α=1可变形为sin2α=1-cos2α、sinα=±（α为第一、二象限角取正号;α为第三、四象限角时取负号）等.

=tanα可变形为sinα=tanα·cosα、cosα=等.

深化升华对于同角三角函数关系应注意：

①“同角”的概念与角的表达形式无关,它可以是正角、负角和零角，也可以是具体的角，还可以是字母或代数式.

如：

sin23α+cos23α=1，=tan等，均成立.

②上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内才能成立.

③据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两个解的情况，因此应尽可能少用（实际上，至多只用一次）.

误区警示对于同角三角函数基本关系式应以“同角”为大前提，比如sin2α+cos2β=1就不一定成立了，这是因为等式中的两个角不相同.此外等式tan=也不成立，这是因为tan不存在，因此，同角三角函数基本关系式必须在使三角函数有意义的范围内使用.

（3）公式的应用

利用同角三角函数关系：

sin2α+cos2α=1，tanα=，我们可以求值——即已知一个三角函数值求该角的其他三角函数值；化简含有三角函数的式子和证明三角恒等式.

①求值

利用同角三角函数基本关系式求值常见的有三种类型：

1）已知角α的某一三角函数值及角α所在的象限，求角α的其他三角函数值.

事实上，如果已知角α的某一三角函数值及角α所在的象限，那么角α就是确定的，α的其他三角函数值也就随之确定了.解此类题的难点是如何根据角α终边所在的象限求出它的其他三角函数值，其突破点是正确运用平方根及象限角的概念.

2）已知角α的某一三角函数值，但不知角α终边所在的象限，求角α的其他的三角函数值.

事实上，如果已知角α的某一三角函数值，但不知角α终边所在的象限，那么角α的终边位置一般有两个.解此类题的难点是如何根据角的三角函数值确定角的终边位置，进而求出其他的三角函数值,其突破点还是正确运用平方根及象限角的概念.

3）已知角α的某一三角函数值是用字母给出的，且没有指定角α所在的象限，求角α的其他三角函数值.

解此类题的一般步骤是：

首先对字母分类；其次在各类中按第

（2）类中的解法解题.

误区警示已知角α的某一三角函数值，求角α的其他三角函数值时，极易产生遗漏，比如已知sinα=，在求cosα的值时，极易得出cosα=这一错误结论.产生遗漏的原因：

一是没有确定好或不去确定角α终边的位置；二是利用平方关系时，漏掉了负的平方根.

②化简

化简实际上是一种没有指定答案的恒等变形，但要尽量把结果化成最简形式.化简的思路是：

尽可能地化为同类三角函数后再化简.

对于三角函数式的化简结果应满足下述要求：

函数的种类尽可能地少；次数尽可能地低；尽可能地化为积的形式；尽可能地不含三角函数；尽可能地将根号内的式子移到根号外.

③利用同角三角函数的关系式证