方阵最小多项式的求法及应用.docx

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方阵最小多项式的求法及应用

方阵最小多项式的求法与应用

[摘要]:

本文首先介绍了方阵的最小多项式，进而给出了最小多项式的四种求法，最后讨论了最小多项式的两个应用.

[关键词]:

方阵；最小多项式；不变因子

Minimalpolynomialofasquarematrixanditsapplications

FENGYu-xiang

（Class1,Grade2001,CollegeofMathematicsandInformationScience）

Advisor:

AssociateProf.LIZhi-hui

[Abstract]:

Theminimalpolynomialofsquarematrixisdiscussed,andfourmethodsofsolutionfortheminimalpolynomialarepresented.Furthermore,theapplicationsoftheminimalpolynomialarestudied.

[Keywords]:

squarematrix;minimalpolynomial;invariantoperation

一、引言

文献[1]中研究了方阵最小多项式的假设干性质，并给出最小多项式的三种求法.本文试图通过对文献[1]中的结果进一步研究，给出它相应的改良算法，并提出一种新的求法.与此同时，讨论了最小多项式在矩阵的相关计算和证明中的应用，为最小多项式的应用提供了新的思想.

本文所讨论的矩阵和多项式均为复数域上n阶方阵和多项式.

二、最小多项式的性质及求法

由哈密尔顿定理可知，对于一n阶矩阵，是的特征多项式，那么即就是任给数域上的一个级矩阵，总可以找到数域上的多项式，使得.如果多项式使得，我们就称为矩阵的零化多项式.当然的零化多项式很多的，于是我们有

定义1设，次数最低的首项为1的的零化多项式称为的最小多项式，记为.

最小多项式有以下一些根本性质：

定理1[1]设，那么

〔1〕的任一零化多项式都能被整除；

〔2〕的最小多项式是唯一的；

〔3〕相似矩阵最小多项式一样.

2．1由特征多项式求最小多项式

定理2[1]是的特征多项式零点的充分条件是为的最小多项式的零点.

证明：

见参考文献[1].

推论1假设阶方阵的特征多项式被分解为不同的一次因式方幂的乘积：

，

其中是的相异的特征值，是特征值的重数，且那么的最小多项式具有如下形式：

，

其中为正整数.

推论1实际上给出了由方阵的特征多项式，求最小多项式的方法.

例1求矩阵

的最小多项式.

解：

因为的特征多项式为，根据推论1便可知，的最小多项式有以下两种可能：

〔〕〔〕，

由于

因此，的最小多项式为.

有时在分解时比拟困难，但由推论1可知，的最小多项式实质包含A的特征多项式中的所有不同的一次因式之积，故可先求出

例2求矩阵

的最小多项式.

解：

=

由辗转相除法求得

于是

==

于是

的最小多项式有以下三种可能：

而，

因此的最小多项式为.

2．2按最小多项式的定义及存在性求最小多项式

定理3[1]任意阶矩阵都存在最小多项式.

证明：

参见文献[1].

这个定理告诉我们一种求最小多项式的方法，这种方法的步骤是：

第一步试解

假设能解出，那么的最小多项式为

；

假设关于无解，那么做

第二步试解

假设能解出与，那么的最小多项式为

假设不能解出与，那么做

第三步试解

假设能解出，与，那么的最小多项式为

假设不能解出，与，那么再做

第四步试解

等等，直到求出〔使矩阵方程成立为止〔由哈密尔顿---凯莱定理，这样的过程最多只有步即可终止〕，这时用代替，便得到所求最小多项式.

例2求矩阵

的最小多项式.

解：

〔1〕试解，显然关于无解.

〔2〕试解

写出方程两边的矩阵，并选择某行〔某列〕来求解代数方程组，以此求和，例如，比拟第一行〔3，2，0，-1〕；的第一行为〔〕，从而的方程组

此方程组显然无解.

〔3〕试解

写出防城两边的矩阵，并选择第一列来求解，和，这可由此比拟方程两边第一列：

；的第一列:

得关于，和的方程组:

解此方程组得,,

因为对于上面解出的，和,矩阵方程

成立.所以的最小多项式为

2.3利用标准型求最小多项式

定理4[1]设矩阵,那么的最小多项式可以由

给出,其中是的相异的特征根,是在的型中包含的各分块的最大阶数.

证明:

参见文献[1].

推论2当的所有特征值都相异时,的最小多项式就是A的特征多项式.

由定理4,在一般情况下,A的最小多项式可以通过求出它的Jordan标准型J获得.

例3求矩阵

的最小多项式.

解：

由的特征多项式

知有两个不同的特征值：

〔均为三重的〕.容易求得，所以对于的特征向量仅有一个，这表示对应的块的数目是1.又由于对应于的特征向量有2个，因此对应于的块共有2块.故的标准型为：

可见中包含的块的阶数，包含的块的最大阶数，因此的最小多项式为：

2.4利用不变因子求最小多项式

引理1[4]的最小多项式是的初等因子的最小公倍式.

证明：

相似矩阵有一样的最小多项式和初等因子.因此只要对的假设当标准型矩阵证明即可.设

，其中，

并且我们的最小多项式是，现在对任一多项式有

因此当且仅当.这就是说，是的化零多项式是的化零多项式，进一步，是的最小多项式必须是的化零多项式，因此是的最小多项式的公倍式；另一方面，这些的最小多项式的任一公倍式必须是的化零多项式，因而被整除.故的最小多项式必须是的最小多项式，即的初等因子的最小公倍式.

定理5[4]的最小多项式恰为的最后一个不变因子.

证明由于的最后一个不变因子具有性质，所以中包含了的初等因子所有互异的指数最高一次因式的幂，它恰是的全部初等因子的最小公倍式，于是命题得到证明.

例5证明

的不变因子是，，其中.

证明：

因为的左下角的阶子式为，所以，于是

将的第二，第三，…，第行，第行分别各乘以都加至第一行上，依第一行展开即得：

因此，的不变因子是，.

由定理5可知，的最小多项式实质为的最后一个不变因子，而，其中为的阶行列式因子，故可得求的最小多项式的方法.

例6求矩阵

的最小多项式.

解：

右上角有一个三级子式

所以

所以的不变因子是1，1，1，，它的最小多项式为

三、最小多项式的应用

这一节我们将讨论最小多项式的一些应用

3．1求矩阵的高次幂

例7

，求

解：

，由，而，知的最小多项式，所以不能对角化.但我们有

用待定系数法令，，对上式求导后再令，解得

因此，

3.2判断矩阵是否可逆

例8设是矩阵的最小多项式.是任意多项式，证明：

可逆的充要条件是

证：

假设，那么存在，使

于是，故，从而可逆.

反之，当可逆时，设，

于是，

从而有，〔*〕

因为，所以，即可逆，这就有等式〔*〕推出，并进一步得到且.

本文在文献[1]的根底上对最小多项式的求法做了总结和改良，并提出一些新的求法.同时，将最小多项式的求法应用到了求矩阵的高次幂和判断方阵可逆上，以此到达理论与实践的良好结合.

[参考文献]

1.夏必腊，方阵最小多项式的性质与求法[J]，高等数学研究，2003，3：

34—39.

2.子胥，高等代数习题解[M],:

科学技术,2001.

3.大学数学力学系，高等代数[M],：

高等教育，1988.

4.玉森，仲阳主编，高等代数应试训练[M]，：

地质，1995.