高三物理总复习专题讲座圆周运动文档格式.docx
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线速度也是矢量．圆周上某一点线速度的方向，就在该点的切线方向
上．由匀速圆周运动的定义可知，匀速圆周运动线速度的大小是不变的，但
它的方向时刻改变，所以匀速圆周运动并不是匀速运动而是变速运动。
（2）角速度也可反映匀速圆周运动的快慢．角速度是用半径转过的角
度φ与所用时间t的比值来定义的，即：
ω=φ/t（这里的角度只能以弧度为单
位）．
角速度大，表示在单位时间内半径转过的角度大，运动得也就快．在
某一确定的匀速圆周运动中，角速度是恒定不变的．角速度的单位是rad／
s．
（3）周期也可描述匀速圆周运动的快慢．做匀速圆周运动物体运动一
周所需的时间叫周期．周期的符号是T，单位是s。
周期长，表示运动得慢；
周期短，表示运动得快．
（4）有时也用转数n来表示匀速圆周运动的快慢．转数就是每秒钟转
过的圈数，它的单位是转／秒．ω=2πn．
设质点沿圆周运动了一周，我们可根据这些物理量的定义式推导出它
们之间有如下关系：
v=2πr/T，ω=2π/T，v=ωr，T=1/f，T=1/n
3、向心加速度、向心力
向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，产生向心加速度的
力叫向心力。
向心力和向心加速度都时刻在改变（圆周运动一定是非匀变速
运动）。
ω相同时，a与r成正比；
v相同时，a与r成反比；
r相同时，a与ω2
成正比，与v2成反比。
[例]机械手表中的分针与秒针可视为匀速转动，分针与秒针从重合至
第二次重合，中间经历的时间为：
A．1minB．minC．D．min
[解答]分针的角速度rad/s
秒针的角速度rad/s
设经时间t两针第二次重合，则ω2t-ω2t＝2π
得：
∴选答案C
（1）匀速圆周运动既然是变速运动，那幺做匀速圆周运动的物体必然
有加速度．我们已经知道，与速度同向的加速度能使速度增大，与速度反向
的加速度能使速度减小．但匀速圆周运动的速率既不增大也不减小，这说明
它不具有与速度同向或反向的加速度，这个加速度也就只能时刻与速度相垂
直，它所起的作用也仅是改变线速度的方向．与线速度相垂直也必与圆周切
线相垂直，也必过圆心。
所以，匀速圆周运动的加速度又被称为向心加速
度，因为它的方向始终指向圆心．向心加速度也是矢量。
因为v、ω的大小均不变，所以向心加速度的大小也就不变，但由于
a的方向始终垂直于速度在旋转变化，所以向心加速度不是恒量而是变
量．匀速圆周运动不是匀加速运动而是变加速运动．
（2）向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小。
（向心力永远不做
功）
显然，向心力的大小也是不变的，但其方向同样也与向心加速度的方
向一样指向圆心且不断旋转变化着．所以向心力是变力，而不是恒力．
向心力这个名称是根据力的效果命名的，它是物体受的某一个力或某
几个力的合力产生的一种效果．并不是说做圆周运动的物体又受到了另外一
个新的特殊的力．
在匀速圆周运动中，向心力是由物体受到的合外力来担任的．也就是
说，做匀速圆周运动的物体所受到的合外力的大小是不变的，方向始终与鸿
度墨直并指向圆心．它只能改变速度的方向，不能改变速度的大小．求解匀
速圆周运动的动力学基础仍是牛顿第二定律，这就提醒我们在处理匀速圆周
运动问题时，同样也离不开分析物体的受力．
4、万有引力定律
万有引力定律是牛顿在研究天体运动规律的过程中发现的，它是自然
科学最伟大的成果之一，宇宙间一切物体都是相互吸引的．任何两个物体间
引力的大小跟它们质量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比．这就是万
有引力定律，用公式来表示为：
F=Gm1m2/r2
式中G为引力常量，G的单位从上述公式中可推导出是N·
m2／kg2，
G的数值为6.67×
10-11．这个数值等于两个质量1kg的物体相距1m时相互
之间万有引力的牛顿数．它最初是由卡文迪许用石英扭秆测定的.
普通两个物体之间的万有引力是微不足道的，我们一般不予考虑．但
在天体系统中，由于天体质量很大，所以它们之间的万有引力十分强大，天
体之间的万有引力是这些天体做什幺运动、怎样运动的直接的、决定性的因
素．月亮绕地球运转，地球绕太阳公转，月亮、地球在运动过程中所需要的
向心力就是由万有引力来提供的。
[练习一]
（1）以下说法是否正确
*因为（n为转数），所以角速度与转数成正比．
*向心加速度描述的是线速度方向变化的快慢
*向心加速度描述的是质点在圆周运动中，向心力变化的快慢
（2）如图所示，为A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径
变化的图像．其中A为双曲线的一个分支．由图可知：
A．A物体运动的线速度大小不变B．A物体运动的角速度大小
不变
C．B物体运动的角速度大小不变D．B物体运动的线速度大小
答案：
AC
（3）如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突
然使它所受力反向，大小不变，即由F变为-F，关于此后物体的运动情况，
下列说法正确的是：
A．物体不可能沿曲线Ba运动；
B．物体不可能沿直线Bb运
动；
C．物体不可能沿曲线Bc运动；
D．物体不可能沿原曲线B返
回A。
（4）物体运动的速度方向、加速度方向与作用在物体上合外力方向的
关系是：
A．速度方向、加速度方向、合力方向三者总是相同的；
B．速度方向可与加速度方向成任何夹角，但加速度方向总是与合力
方向相同；
C．速度方向总是和合外力方向相同，加速度方向可能和合外力相
同，也可能不同；
D．速度方向与加速度方向或合外力方向可以成任意夹角．
（5）如图所示，在匀强电场内将一质量为m、电量为q的摆球拉至与
悬点O同一水平面处，由静止释放，则在开始的一小段时间内摆球将作：
A．匀速直线运动；
B．匀加速直线运动；
C．匀减速直线运动；
D．变速圆周运动．
二、向心力应用问题
1、向心力的来源
向心力是合外力在指向圆心方向的分力，它不是某种性质力的名称，
而是根据力的作用效果来命名的。
向心力可以由某一个力提供，也可以由几
个力的合力提供，还可以由某一个力的分力提供。
如果合外力始终指向圆心且大小不变，则物体作匀速圆周运动。
2、向心力公式的应用
应用方法：
*以指向圆心方向为正方向。
*将物体所受到的各个外力分解到指向圆心方向。
*求出指向圆心的各个分力的合力，即为向心力。
*据牛顿第二定律列方程F向=ma向
[例]在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，
司机左侧的路面比右侧要高一些，路面与水平面间的夹角为θ。
设拐弯路段
是半径为R的圆弧，要使车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力
等于零，车速v应多大？
[解答]如图所示，为汽车在水平面内做匀速圆周运动的受力情况。
重
力与路面的弹力的合力提供向心力，由平行四边形定则及牛顿第二定律得：
F合/G=tgθF合=mv2/R∴
[练习二]
（1）关于向心力，下列说法中正确的是：
A．物体受到向心力作用才可能做圆周运动
B．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的
C．向心力可能是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可能是其
中某一种力或某一种力的分力
D．向心力只改变物体运动的方向，不可能改变物体运动的快慢
（2）放置在地面上的物体，由于地球自转
A．都具有向心加速度
B．向心加速度大小随纬度增加而减小
C．向心加速度方向都指向地球中心
D．产生此向心加速度的力都是由地球对物体的引力提供的
[解答]物体做匀速圆周运动，随着纬度的增加，半径减小，由a=ω2R
可知，a减小，向心力由引力与地球的弹力的合力提供，答案：
AB。
（3）如图所示，小球用长为L的细绳悬于O点，使之在竖直平面内
做圆周运动，小球通过最低点时速率为v，则小球在最低点时细绳的张力大
小为＿＿＿＿。
（小球质量为m）
（4）如图，质量为m的滑块滑到弧形底端时速率为v，已知圆弧形轨
道的半径为R，则滑块在圆弧形轨道最低点时对轨道的压力大小为＿＿＿
＿。
（5）如图示，质量为m的小球用细绳悬于O点，绳长为L，在竖直
平面内做圆周运动，到达最高点时速度为v，则此时绳子的张力为＿＿＿．
三、求解匀速圆周运动的思路和步骤
匀速圆周运动的求解应在动力学问题的框架范围内．它的核心仍是
ΣF=ma．
（1）确定研究对象，分析其受力仍是解题的首要和关键的步骤．
（2）以指向圆心的方向为正方向，来确定各个力的正、负号。
建立起牛
顿第二定律的方程，并结合运用a=v2/R=ω2R等有关知识求解．
[例]如图所示，有一质量为m的小球P与穿过光滑水平板上小孔O的
轻绳相连，用手捡着绳子另一端，使P在水平板内绕O作半径为a角速度为
ω的匀速圆周运动.求：
（1）此时拉绳的力多大；
（2）若将绳子从此状态迅速放
松，后又拉直，使P绕O作半径为b的匀速圆周运动．从放松到拉直这段过
程经过了多长时间?
（3）P作半径为b的匀速圆周运动时，绳子拉力又为多大?
[解答]
（1）手拉绳子力的大小与绳拉球作匀速圆周运动向心力的大小
是相等的，故有F=mω2a
（2）松手后，绳子拉力消失．小球将从刚松手的位置，沿圆周的切线方
向，在光滑的水平面上作匀速直线运动．当绳在水平板上长为b时，绳又被
拉紧．在这一段匀速直线运动的过程中，球运动的距离为（如图b所示），故
t=s/v=/（aω）
（3）将刚拉紧绳时球的速度aω1分解为沿绳分量和垂直于绳分量。
在绳
被拉紧的短暂过程中，球损失了沿线的分速度，保留着垂直于绳的分速度作
匀速圆周运动．被保留的速度的大小为：
v＇=va/b=a2ω/b
所以绳子后来的拉力F＇为：
Ｆ＇＝ｍｖ＇２／Ｒ＇＝ｍω２ａ４／ｂ
３
四、竖直面上圆周运动
最高点：
恰能通过最高点的临界速度
最低点：
最大速度、最大拉（压）力
联系最高点和最低点：
机械能守恒定律
[例]如图，轻杆长Ｌ，质量可忽略不计，杆的一端连接着一质量为ｍ
的小球，另一端装在固定转轴上．设小球在竖直平面内作圆周运动．
（1）当它
在圆周的最低点，速率为ｖ时，求其对杆作用力的大小和方向；
（2）当它在圆
周最高点，速率为ｖ时，求其对杆作用力的大小和方向．
[解答]小球在竖直平面内作的圆周运动并不是匀速圆周运动。
但在最
低点和最高点这两个特殊位置，我们仍可用求解匀速圆周运动的方法和公式
求解，因为在这两个位置。
小球受的外力都在圆周半径方向上，它们的合力
就是向心力．
在最低点：
此位置杆对球作用力Ｎ的方向只可能向上，并且Ｎ＞ｍ
ｇ，故有：
Ｎ－ｍｇ＝ｍｖ２／Ｒ，Ｎ＝ｍｇ＋ｍｖ２/L．
在最高点：
此位置杆对球作用力的方向尚不能确定，我们可暂时假设
N与mg同向，即杆对球有向下拉力作用．则有ｍｇ+Ｎ=ｍｖ２／Ｌ,Ｎ＝ｍ
ｖ２／Ｌ－ｍｇ
如果Ｎ确与ｍｇ同向，方向指向圆心，则Ｎ＞0，即
ｍｖ２／Ｌ－ｍｇ＞０，
若，则由Ｎ的表达式可得Ｎ＝0，即此时杆对球无作用力，重力唯一地
起着向心力的作用；
若，可得Ｎ＜0，则说明杆对球有向上托力作用，这个力的方向与正方
向相反，背离圆心．
根据上述分析，我们可以得到这样的结论：
在最低点，不管小球以多
大的速度运动，杆对球的拉力都是向上的．但在最高点，杆对球作用力的大
小和方向取决于v的大小．是一个临界值．当时，因速度大，所需的向心力
就大，ｍｇ不能满足向心力的需要，需要杆向下的拉力来补充；
当时，因速
度小，所需的向心力也小，ｍｇ超过了向心力的需要，故杆产生了向上的托
力来抵消ｍｇ的一部分作用；
若，这说明重力ｍｇ恰能满足向心力的需要，
故此时杆对球没有作用力．
如果此题小球不是固定在轻杆的下端，而是系在细线下端，让它在竖
直平面内做圆周运动．则小球能运动到圆周最高点的最小速度应为，若，如
前所述，重力己超过了向心力的需要，而细绳在最高点又不可能象轻杆那样
对球有向上的托力，所以此时小球不可能到达圆周最高点，它到达最高点前
就已离开圆周了。
五、万有引力定律
这里列出的五个式子中，左边两个代表万有引力（重力），它们是天体
运动向心力的来源；
右边三个式子代表向心力；
依据万有引力（重力）作为
天体运动的向心力的思路，可按照题设已知条件和未知量在此五式中选择两
个组成方程，通过求解方程得到所需要的结果。
式中r为轨道半径，r=R+h；
g’为高度为h的轨道上的重力加速度，
[例]求第一宇宙速度，
（1）已知M、R；
（2）已知g、R
[解答]由，得
（1）
由，可得
（2）
将
（1）、
（2）两式中的R都用地球半径、M用地球质量、g用地面附近重
力加速度数值9.8m/s2代入，均可得到第一宇宙速度v1=7.9×
103m/s．
[例]试证明天空中任何天体表面附近卫星的运动周期与该天体密度的
平方根成反比。
[解答]由和，解得：
六、天体和卫星的运动
我们把月亮绕地球的运转、地球绕太阳的公转以及人造地球卫星的运
动都近似地处理成匀速圆周运动的问题．研究这一类问题的基础是万有引力
定律、牛顿第二定律以及有关匀速圆周运动线速度、角速度、周期以及向心
加速度的一些公式．天体、卫星所需要的向心力就是它们受到的万有引力．
1、三个宇宙速度
第一宇宙速度（环绕速度）是人造地球卫星在地面附近环绕地球运转的
必须具有的速度，第一宇宙速度v1=7.9×
第二宇宙速度（脱离速度）是卫星挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运转
行星的最小速度．v2=11.2×
103m／s．
第三宇宙速度（逃逸速度）是卫星挣脱太阳的束缚，飞出太阳系运动的
最小速度．V3=16.7×
2、在不同轨道上运动的卫星的讨论
以第一宇宙速度运动的卫星是沿地面附近运行的，其轨道半径被认为
是地球半径．还有许多卫星（如气象卫星、通讯卫星等）在地面上方很高处运
行，其轨道半径远比地球半径大，这些卫星的有关物理量如何随轨道半径的
变化而变化呢?
我们可根据万有引力定律和牛顿运动定律加以讨论．
（1）卫星的运行速度：
由，可得．
上式的r是卫星的轨道半径，它应等于地球半径R与卫星离地面的高
度h之和．从此式可看出，由于引力常量G和地球质量M一定，所以卫星
离地面越远，轨道半径越大，其运行的速度就越小．需要说明的是，这里的
速度是卫星在远轨道上的运行速度，不是从地面把卫星送上天的发射速
度．实际上把卫星发送到较远的轨道上，耗费的能量要大，从地面发射的速
度也要大．
（2）卫星运行的角速度：
由，可得，
由此式可看出，卫星离地越远，r越大，ω就越小．
（3）卫星运行的周期：
，，
同样可以看出，r越大，T就越大．若卫星的周期与地球自转周期T0
相同，则此卫星叫同步卫星．同步卫星的轨道平面应与赤道平面重合．其离
地面高度由
，可求得：
（4）卫星的加速度：
卫星的加速度是由地球的万有引力产生的，它就是卫星做匀速圆周运
动的向心加速度．a=F万/m=GM/R2
（1）
卫星的加速度与地面上物体的重力加速度本质上是一致的，它们都是
由地球万有引力产生的．不过卫星的重力加速度g＇的数值远比地面附近的
重力加速度g（9.8m／s2）的数值小．由平方反比关系可得：
（2）
（1）、
（2）两式中的加速度是同一个加速度．所不同的仅是考虑问题的角
度不同罢了。
（5）完全失重和卫星的重量
当卫星在轨道上运行时，舱内的宇航员及其它物体都处于完全失重状
态．这里所指的完全失重状态并非指人和物体不受地球引力作用，仅是反映
了人和物对支持物（地板）没有压力，用测力计去称他们的重力，读数为零。
毫无疑问，人和物仍要受到地球万有引力（重力）的作用．不过比其在地面附
近所受的重力要小．
3、双星的运动
两颗离得较近的天体称为双星．双星都是以它们连线上的某点为公共
圆心，以相同的角速度做匀速圆周运动．这时万有引力作为向心力起着只改
变它们的速度方向，不改变速度大小的作用．也只有这样，它们才能处于稳
定的状态，不至于因巨大的吸引作用而导致碰撞、毁灭．
求解双星问题有两点值得注意：
①它们做匀速圆周运动的向心力是相
等的；
②它们运行的周期是相同的．因为只有周期相同，它们之间的距离才
可能保持不变．它们才可能稳定运行的状态之中．
[例]质量分别为m1和m2、相距为L的双星，绕其连线上的O点匀速
旋转．求它们各自的轨道半径和周期．
[解答]由万有引力定律和牛顿第二定律可得：
对m1：
（1）
对m2：
（2）
将
（1）、
（2）化简后再相除，便可得：
再将R1数值代人
（1）可得：
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