学年人教B版数学必修四检测学业水平达标检测 含答案 精品.docx
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学年人教B版数学必修四检测学业水平达标检测含答案精品
必修4 学业水平达标检测
时间：
120分钟 满分：
150分
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知角α的终边经过点P（，－1），则有（ ）
A．cosα＝－ B．sinα＋cosα＝2
C．tanα＋cotα＝1D．cosα＋tanα＝
答案：
D
2．tan（－570°）＋sin240°＝（ ）
A．－B.
C.D.
解析：
原式＝－tan30°－sin60°＝－－＝－.
答案：
A
3．已知sin＝，α∈，则tanα等于（ ）
A．－2B．2
C．－D.
答案：
A
4．已知向量a＝（1,1），b＝（2，x），若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是（ ）
A．－2B．0
C．1D．2
解析：
a＋b＝（3，x＋1），4b－2a＝（6,4x－2），
∵a＋b与4b－2a平行，
∴3（4x－2）＝6（x＋1），解得x＝2.
答案：
D
5．函数y＝sinx＋cosx，x∈[0，π]的单调增区间是（ ）
A.B.，
C.D.
解析：
y＝sinx＋cosx＝sin.
令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
又∵x∈[0，π]，∴单调增区间是.
答案：
A
6．为了得到函数y＝sin（－3x）的图象，只需将函数y＝cos的图象（ ）
A．向右平移个单位
B．向左平移个单位
C．向右平移个单位
D．向左平移个单位
解析：
y＝sin（－3x）＝cos＝cos3，
y＝cos＝cos3，
∴需向左平移－＝个单位．
答案：
D
7．函数y＝－cos2x＋cosx＋，则（ ）
A．最大值是1，最小值是
B．最大值是1，最小值是－
C．最大值是2，最小值是－
D．最大值是2，最小值是
解析：
y＝－cos2x＋cosx＋＝－2＋2，
∴当cosx＝时，ymax＝2，当cosx＝－1时，ymin＝－.
答案：
C
8．已知a＝（m－2，m＋3），b＝（2m＋1，m－2），且a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围为（ ）
A．m＞2或m＜－B．－＜m＜2
C．m≠2D．m≠2且m≠－
答案：
B
9．已知函数y＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
解析：
由图知＝－＝，∴T＝π，ω＝＝2.
又2×＋φ＝π，∴φ＝，∴y＝sin.
答案：
B
10．在△ABC中，已知tan＝sinC，则△ABC的形状为（ ）
A．正三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
解析：
在△ABC中，tan＝sinC＝sin（A＋B）＝2sincos，∴2cos2＝1，
∴cos（A＋B）＝0，从而A＋B＝，△ABC为直角三角形．
答案：
C
11．已知|a|＝2，|b|＝3，a，b的夹角为，如图所示，若＝5a＋2b，＝a－3b，且D为BC中点，则的长度为（ ）
A.B.
C．7D．8
解析：
＝（＋）＝（5a＋2b＋a－3b）＝（6a－b）
∴||2＝（36a2－12ab＋b2）＝
∴||＝.故选A.
答案：
A
12．已知不等式f（x）＝3sin·cos＋cos2－＋m≤0，对于任意的－≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥B．m≤
C．m≤－D．－≤m≤
解析：
f（x）＝3sin·cos＋cos2－＋m
＝sin＋－＋m
＝sin＋cos＋m
＝＋m＝sin＋m
故要使f（x）≤0对任意的－≤x≤恒成立，
只需m≤－sin在－≤x≤上恒成立．
∵－≤x≤，－≤＋≤，
∴min＝－，∴m≤－.
答案：
C
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知tanθ＝2，则＝________.
解析：
原式＝＝＝＝－2.
答案：
－2
14．设向量a＝（3，－2），b＝（1,2），若a＋λb与a垂直，则实数λ＝________.
解析：
若a＋λb与a垂直，则（a＋λb）·a＝0，即a2＋λ·ab＝0.a2＝13，a·b＝－1.所以13－λ＝0，即λ＝13.
答案：
13
15．函数y＝sincos的最大值为________．
解析：
y＝sincos＝－cosxcos
＝－cosx＝－cos2x－sin2x
＝－－
＝－－sin，
所以函数y＝sincos的最大值为－＋.
答案：
－＋
16．函数f（x）＝sin＋sinx的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．
解析：
f（x）＝cosx＋sinx＝sin，相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，T＝＝3π，∴＝.
答案：
π
三、解答题：
本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝.
（1）求a，b的夹角θ；
（2）求|3a＋b|的值．
解析：
（1）由已知得（3a－2b）2＝7，
即9|a|2－12a·b＋4|b|2＝7，
又|a|＝1，|b|＝1代入得a·b＝.
∴|a||b|cosθ＝，即cosθ＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝.
∴向量a，b的夹角θ＝.
（2）由
（1）知，（3a＋b）2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13.
∴|3a＋b|＝.
18．（本小题满分12分）已知a＝（－sinωx，cosωx），b＝（cosωx，cosωx），ω＞0，设函数f（x）＝a·b，且f（x）的最小正周期为π.
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调区间．
解析：
（1）∵f（x）＝a·b，
∴f（x）＝－sinωxcosωx＋cos2ωx＝cos2ωx－sin2ωx＋＝cos＋.
∵T＝＝π，∴ω＝1，∴f（x）＝cos＋.
（2）令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），故f（x）的单调减区间为（k∈Z），令2kπ＋π≤2x＋≤2kπ＋2π，kπ＋≤x≤kπ＋π（k∈Z），故f（x）的单调增区间为（k∈Z）．
19．（本小题满分12分）已知＜α＜π，tanα＋＝－.
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
解析：
（1）由tanα＋＝－，
整理，得3tan2α＋10tanα＋3＝0，即（3tanα＋1）（tanα＋3）＝0.
∵＜α＜π，∴－1＜tanα＜0，∴tanα＝－.
（2）
＝
＝
＝＝＝＝－.
20．（本小题满分12分）已知向量a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ），|a－b|＝.
（1）求cos（α－β）的值；
（2）若0＜α＜，－＜β＜0，且sinβ＝－，求sinα的值．
解析：
（1）a－b＝（cosα－cosβ，sinα－sinβ），|a－b|2＝（cosα－cosβ）2＋（sinα－sinβ）2＝2－2cos（α－β），
∴＝2－2cos（α－β），∴cos（α－β）＝.
（2）由0＜α＜，－＜β＜0且sinβ＝－，可知cosβ＝，且0＜α－β＜π.
∵又cos（α－β）＝，∴sin（α－β）＝，
∴sinα＝sin[（α－β）＋β]
＝sin（α－β）cosβ＋cos（α－β）sinβ
＝×＋×＝.
21．（本小题满分12分）设a＝（sinx，cosx），b＝（cosx，cosx），记f（x）＝a·b.
（1）写出函数f（x）的最小正周期；
（2）试用“五点法”画出函数f（x）在区间上的简图，并指出该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解析：
（1）f（x）＝a·b＝sinxcosx＋cos2x
＝sin2x＋＝sin＋.
最小正周期T＝＝π.
（2）
x
－
2x＋
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
y
－
先将y＝sinx的图象向左平移个单位得到y＝sin的图象，再保持纵坐标不变，
横坐标缩短为原来的变为y＝sin，
最后再向上平移个单位得到y＝sin＋.
22．（本小题满分12分）已知向量m＝（sinx,1），n＝（Acosx，cos2x）（A＞0），函数f（x）＝m·n的最大值为6.
（1）求A；
（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在上的值域．
解析：
（1）f（x）＝m·n＝Asinxcosx＋cos2x
＝A＝Asin.
因为A＞0，由题意知A＝6.
（2）由
（1）得f（x）＝6sin.
将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后得到
y＝6sin＝6sin的图象；
再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y＝6sin的图象．
因此g（x）＝6sin.因为x∈，
所以4x＋∈，
故g（x）在上的值域为[－3,6]．
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