经管类线性代数.docx

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经管类线性代数

线性代数（经管类）复习要点

一、行列式

1、会求行列式中元素的代数余子式。

2、掌握行列式的基本计算方法。

3、三、四阶范德蒙行列式的计算。

二、矩阵

1、会应用矩阵的加、减法。

2、掌握数乘矩阵及矩阵乘法的运算法则。

3、设A，B均为n阶方阵，会应用

4、会判断矩阵是否可逆及会求方阵的逆矩阵。

5、会求解矩阵方程。

6、会求矩阵的秩。

三、向量空间

1、理解一个向量可以写成一个向量组的线性组合。

2、会求线性组合系数。

3、会证明向量组线性相关以及线性无关。

4、会求向量组的极大线性无关组以及其余向用极大无关组表示。

5、知道向量空间的基和维数的概念。

四、线性方程组

1、会求齐次以及非齐次线性方程组的通解。

2、掌握非齐次线性方程组有唯一解，无解，无穷多解的判别方法。

3、会讨论含参数的非齐次线性方程组的求解。

4、会求基础解系以及会证明基础解系。

五、特征值与特征向量

1、会求方阵的特征值与特征向量。

2、熟知n阶实方阵相似于对角矩阵的充分必要条件或充分条件。

3、掌握用相似变换化方阵为对角矩阵的方法。

4、掌握正交矩阵的定义及性质。

5、掌握实对称矩阵的性质。

六、实二次型

1、会把实二次型写为矩阵形式。

2、知道实二次型的标准形及矩阵合同的定义。

3、会用正交变换法化实二次型为标准形。

4、掌握正定二次型及正定矩阵的判别方法。

一、单项选择题

1、的充分必要条件是（）

Ａ、　Ｂ、　Ｃ、　Ｄ、

2、若（）

Ａ、4　Ｂ、　Ｃ、2　Ｄ、

3、（）

Ａ、　Ｂ、　Ｃ、　Ｄ、

4、设A是3阶方阵，且，则等于（）

Ａ、4　Ｂ、　Ｃ、16　Ｄ、

5、矩阵经过初等行变换后，其秩（）

Ａ、改变　Ｂ、可能改变　Ｃ、不改变　Ｄ、为0

6、以下运算正确的是（）

Ａ、　Ｂ、　Ｃ、　Ｄ、

7、矩阵的秩是（）

Ａ、0　Ｂ、1　Ｃ、2　Ｄ、3

8、设n维行向量矩阵，，其中E为n阶单位矩阵，则AB=（）

Ａ、0　Ｂ、　Ｃ、E　Ｄ、

9、设A为则矩阵运算（）有意义

Ａ、　Ｂ、BA　Ｃ、A+B　Ｄ、

10、设A为四阶方阵，则（）

Ａ、　Ｂ、　Ｃ、　Ｄ、

11、设A为可逆矩阵，且（）

Ａ、　Ｂ、　Ｃ、　Ｄ、

12、齐次线性方程组有非零解，则k=（）

Ａ、2　Ｂ、　Ｃ、或3　Ｄ、1或0

13、已知向量组线性无关，则向量组（）

A

B

C

D

14、若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则此线性方程组（）

Ａ、可能无解　Ｂ、有唯一解Ｃ、-有无穷多解　Ｄ、无解

15、设A、B为n阶方阵，且秩（A）=秩（B），则（）

Ａ、秩（）=0　Ｂ、秩（A+B）=2秩（A）　

Ｃ、秩（AB）=2秩（A）Ｄ、秩（A+B）秩（A）+秩（B）

16、设是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且秩（A）=3，，C为任意常数，则线性方程组AX=b的通解为（）

Ａ、Ｂ、Ｃ、　Ｄ、

17、设矩阵A的特征多项式（）

Ａ、　Ｂ、Ｃ、4　Ｄ、16

18、设是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵的一个特征值为（）

Ａ、　Ｂ、Ｃ、　Ｄ、

19、n阶方阵A共有n个不同的特征值是A可对角化的（）

Ａ、充分必要条件Ｂ、充分非必要条件

C必要非充分条件D既非充分又非必要条件

20、二次型正定，则k的取值范围是（）

Ａ、k>0Bk>Ck>Dk>

二、填空题

1、设行列式___________

2若行列式是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项系数是______

3、设A，B均为3阶矩阵，且

4、设

5、设a,b为实数，则当a=______,b=_____时，

6、

7、

8、设

9、设

10、矩阵的秩为________

11、设矩阵

12、设

13、设

14、设

15、设

16、设三阶方阵都是三维行向量，且

17、设是齐次线性方程组AX=0的基础解系，则AX=0的通解为_______

18、若是3维行向量空间的基，则k满足关系式_______

19、若向量组线性无关，则向量组线性______

20、设

21、设

22、设A为

23、设

24、设

25、设

26、设向量组，若向量组的秩为2，则

27、当能由向量

28、设

29、已知方程组

30、设方程组

31、齐次线性方程组只有零解，则应满足的条件是_______

32、设

33、三阶方阵A的特征值为

34、设则A的两特征值之和为________两特征值之积为________

35、三阶矩阵A的特征值

36、二次型

37、矩阵

38、设

39、已知n阶矩阵A满足

40、设A为3阶矩阵，且

三、计算题

1、计算四阶行列式

2、计算四阶行列式的代数余子式，并求行列式D的值

3、求方程的所有的根

4、设矩阵

5、计算矩阵的乘积

6、设

7、设，若X满足

8、判断矩阵是否可逆，若可逆，求出它的逆矩阵。

9、设矩阵

10、设

11、求解矩阵方程：

12、已知，求满足方程

13、设，解矩阵方程

14、求k的值，使矩阵

15、设

16、解线性方程组：

17、求线性方程组的通解。

18、当参数a为何值时，非齐次线性方程组：

有解？

当有解时，求出其通解。

19、k为何值时，线性方程组：

有唯一解，无解，无穷多解？

20、当参数为何值时，非齐次线性方程组：

无解？

有唯一解，有无穷多解？

21、问

22、的线性组合。

23、向量组

24、求出下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合。

25、设

（1）当t为何值时，向量组线性相关？

（2）当t为何值时，向量组线性无关？

（3）当线性相关时，将表示为的线性组合。

26、试把

27、当a为何值时，向量组线性无关？

28、求出的特征值和线性无关的特征向量。

29、设

30、对于，求出可逆矩阵，并求出对角矩阵

31、问是否相似于对角矩阵？

若是，则求出其相似标准形。

32、求出的正交相似标准确形。

四：

证明题；

1、设都是n维向量，若正交。

证明：

2、若向量组线性无关，则向量组

线性相关。

3、设线性方程组：

证明：

若互不相等，则此线性方程组无解。

4、设A为n阶方阵，满足证明：

A可逆，并求

5、设是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系。

证明：

也是该方程组的一个基础解系。

6、设阶可逆矩阵A的一个特征值，证明：

7、设为n阶矩阵A的不同特征值，分别是A的属于的特征向量。

证明：

不是A的特征向量。

8、设向量组线性相关，向量组线性无关。

证明：

可由线性表出。