应用数理统计吴翊李永乐第四章回归分析课后作业参考答案.docx
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应用数理统计吴翊李永乐第四章回归分析课后作业参考答案
第四章回归分析
课后作业参考答案
4.1炼铝厂测得铝的硬度x与抗张强度y的数据如下：
68
53
70
84
60
72
51
83
70
64
288
298
349
343
290
354
283
324
340
286
（1）求y对x的回归方程
（2）检验回归方程的显著性（）
（3）求y在x=65处的预测区间（置信度为0.95）
解：
（1）1、计算结果
一元线性回归模型只有一个解释变量
其中：
x为解释变量，y为被解释变量，为待估参数，位随机干扰项。
使用普通最小二乘法估计参数
上述参数估计可写为
所求得的回归方程为：
实际意义为：
当铝的硬度每增加一个单位，抗张强度增加1.80个单位。
2、软件运行结果
根据所给数据画散点图
由散点图不能够确定y与x之间是否存在线性关系，先建立线性回归方程然后看其是否能通过检验
线性回归分析的系数
模型
非标准化系数
标准化系数
T值
P值
95%系数的置信区间
学生残差
下限
上限
1
常数项
193.951
46.796
4.145
0.003
86.039
301.862
x
1.801
0.685
0.681
2.629
0.030
0.221
3.381
由线性回归分析系数表得回归方程为：
，说明x每增加一个单位，y相应提高1.801。
（2）1、计算结果
回归方程的显著性检验（F检验）
线性回归效果不显著线性回归效果显著
在给定显著性水平时，，所以拒绝，认为方程的线性回归效果显著
回归系数的显著性检验（t检验）
在给定显著性水平时，，所以拒绝，认为回归系数显著，说明铝的硬度对抗张强度有显著的影响。
回归方程的线性显著性检验（r检验）
x与y线性无关x与y线性相关
在给定显著性水平时，，所以拒绝，认为x与y之间具有线性关系。
2、软件运行结果
模型摘要
模型
R
修正的
估计的学生误差
1
0.681（a）
0.463
0.396
22.685
由上表得r=0.681，说明y与x的之间具有线性关系。
方差分析表
模型
平方与
自由度
平均平方值
F值
P值
1
回归平方与
3555.541
1
3555.541
6.909
0.030（a）
残差平方与
4116.959
8
514.620
总平方与
7672.500
9
由方差分析表知，p值小于给定的α，说明回归方程通过F检验，回归方程显著。
线性回归分析的系数
模型
非标准化系数
标准化系数
T值
P值
95%系数的置信区间
学生残差
下限
上限
1
常数项
193.951
46.796
4.145
0.003
86.039
301.862
x
1.801
0.685
0.681
2.629
0.030
0.221
3.381
由线性回归分析系数表知，p值小于给定的α，认为回归系数显著，说明铝的硬度对抗张强度有显著的影响。
综上所述，建立的回归方程通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。
（3）当=65时，代入上述回归方程得=310.996
在1-a的置信度下，的置信区间为
95%置信度下的预测区间为[255.988366.004]。
4.2在硝酸钠（）溶解度试验中，对不同温度测得溶解于100ml的水中的硝酸钠重量y的观测值如下:
0
4
10
15
21
29
36
51
68
66.7
71.0
76.3
80.6
85.7
92.9
99.9
113.6
125.1
（1）求回归方程
（2）检验回归方程的显著性
（3）求y在时的预测区间（置信度为0.95）
解：
（1）1、计算结果
一元线性回归模型只有一个解释变量
其中：
t为解释变量，y为被解释变量，为待估参数，位随机干扰项。
使用普通最小二乘法估计参数
上述参数估计可写为
所求得的回归方程为：
实际意义为：
在温度为0时，硝酸钠的溶解度为67.5313，温度每升高一度，溶解度增加0.8719。
2、软件运行结果
根据所给数据画散点图
由散点图可以看出y与t之间存在线性关系，因此建立线性回归模型如下
线性回归分析的系数
模型
非标准化系数
标准化系数
T值
P值
95%系数的置信区间
学生残差
下限
上限
1
常数项
67.531
0.535
126.309
0.000
66.267
68.796
t
0.872
0.016
0.999
54.747
0.000
0.834
0.910
由线性回归分析系数表得回归方程为：
，说明温度每增加一度，溶解度相应提高0.872。
（2）1、计算结果
回归方程的显著性检验（F检验）
线性回归效果不显著线性回归效果显著
在给定显著性水平时，，所以拒绝，认为方程的线性回归效果显著
回归系数的显著性检验（t检验）
在给定显著性水平时，，所以拒绝，认为回归系数显著，说明温度对硝酸钠的溶解度有显著的影响。
回归方程的线性显著性检验（r检验）
t与y线性无关t与y线性相关
在给定显著性水平时，，所以拒绝，认为t与y线性相关。
2、软件运行结果
模型摘要
模型
R
修正的
估计的学生误差
1
0.999（a）
0.998
0.997
1.0147
由上表得r=0.999，说明y与t之间线性关系显著。
方差分析表
模型
平方与
自由度
平均平方值
F值
P值
1
回归平方与
3086.252
1
3086.252
2997.287
0.000（a）
残差平方与
7.208
7
1.030
总平方与
3093.460
8
由方差分析表知，F值很大，p值很小，回归方程通过F检验，说明回归方程显著。
线性回归分析的系数
模型
非标准化系数
标准化系数
T值
P值
95%系数的置信区间
学生残差
下限
上限
1
常数项
67.531
0.535
126.309
0.000
66.267
68.796
t
0.872
0.016
0.999
54.747
0.000
0.834
0.910
由线性回归分析系数表知，p值很小，通过t检验，认为回归系数显著，说明温度对硝酸钠的溶解度有显著的影响。
综上所述，建立的回归方程通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。
（3）当=25时，代入上述回归方程得=89.328
在1-a的置信度下，的置信区间为
95%置信度下的预测区间为[86.811391.8450]。
4.3对同一个问题，两人分别在做线性回归。
甲：
取样本值，得回归方程
乙：
取样本值，得回归方程
（1）如何判断这两个回归方程是否相等（给定显著性水平）？
（2）若相等，如何求一个共同的回归方程？
解：
检验
若，则拒绝
其中
检验
若，则拒绝
其中
检验
若，则拒绝
这三步当中只有一个是拒绝原假设，则两回归方程不同。
（2）共同的回归方程为：
其中，
4.6某化工厂研究硝化得率y与硝化温度、硝化液中硝酸浓度之间的统计相关关系。
进行10次试验，得实验数据如下表：
16.5
19.7
15.5
21.4
20.8
16.6
23.1
14.5
21.3
16.4
93.4
90.8
86.7
83.5
92.1
94.9
89.6
88.1
87.3
83.4
90.92
91.13
87.95
88.57
90.44
89.87
91.03
88.03
89.93
85.58
试求y对的回归方程。
解：
用所给的数据建立多元回归方程并进行检验
模型摘要
模型
R
修正的
估计的学生误差
1
0.927（a）
0.859
0.819
0.76066
由上表得r=0.927，说明y与x的之间线性关系显著。
方差分析表
模型
平方与
自由度
平均平方值
F值
P值
1
回归平方与
24.724
2
12.362
21.365
0.001（a）
残差平方与
4.050
7
0.579
总平方与
28.774
9
由方差分析表知，F值很大，p值很小，回归方程通过F检验，说明回归方程显著。
线性回归分析的系数
模型
非标准化系数
标准化系数
T值
P值
95%系数的置信区间
学生残差
下限
上限r
1
常数项
51.798
6.079
8.521
0.000
37.424
66.172
x1
0.336
0.085
0.564
3.972
0.000
0.136
0.536
x2
0.352
0.065
0.770
5.423
0.000
0.198
0.505
由线性回归分析系数表知，与的p值都很小，通过了t检验，认为回归系数显著，说明硝化温度与硝化液中硝酸浓度对硝化得率均有显著的影响。
通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。
最后得到的回归方程为：
说明硝化温度每增加一度，硝化得率增加0.336%；硝化液中硝酸浓度每增加1%，硝化得率增加0.352%。
4.4某建材实验室再作陶粒混凝土强度试验中，考察每立方米混凝土的水泥用量x（kg）对28天后的混凝土抗压强度y（）的影响，测得如下数据
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
56.9
58.3
61.6
64.6
68.1
71.3
74.1
77.4
80.2
82.6
86.4
89.7
（1）求y对x的线性回归方程，并问：
每立方米混凝土中增加1公斤水泥时，可提高的抗压强度是多少？
（2）检验线性回归方程效果的显著性（）；
（3）求回归系数的区间估计（）；
（4）求时，的预测值及预测区间。
解：
1.计算结果
（1）一元线性回归模型：
只有一个解释变量
Y为被解释变量，X为解释变量，与为待估参数，为随机干扰项。
用普通最小二乘法（Ordinaryleastsquares,OLS）估计与
记
上述参数估计量可以写成：
带入数字得：
所以求得的回归方程为：
y=10.283+0.304x，即x每增加一个单位，y相应提高0.304
（2）回归方程的显著性检验：
总体平
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