数学精英版教案 4升512 最值问题Word文件下载.docx
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第一课时
复备内容及讨论记录
教学过程
说明：
留给备课教师在备课时填写自己上课所需内容.
一、导入
师：
同学们，你们长大之后想做什么？
为什么？
生：
…
我听到有位小伙伴说长大以后想做警察，你对警察做哪些工作了解多少呢？
（或者大家说了这么多，没有人想当警察，你对警察做哪些工作了解多少呢？
）
下面我们就来一起看一看警察的故事。
（播放导入）
二、呈现问题
（一）呈现问题1
例1：
一个数各个数位上的数字之和是10，而且各个数位上的数字都不相同且不为0。
则这个数最小是多少？
最大是多少？
1.学生读题后，教师引导学生复习比较整数大小的方法。
本题求符合条件的最大、最小的数，那我们得先知道怎么比较两个整数的大小呢？
先看位数，位数越多数越大，位数越少数越小；
如果位数相同，看最高位，最高位越大数越大，最高位越小数越小。
大家回答的很是完美，清楚的说出了比较两个整数大小的方法。
我们回过头来再看这个问题，怎样使各位数字之和是10的这个整数最大？
怎样使这个数最小呢?
2.学生尝试独立完成解答，指定学生讲解。
生1：
要使这个数最大，那么应使这个数位数尽可能的多，但题目中有要求各个数位上的数字都不相同且不为0，所以只能为1,2,3,4，它们组成的最大的数是4321。
这位同学说的清楚吗？
还有什么需要补充的？
我们把掌声送给他。
那么怎样使这个数最小呢?
生2：
要使这个数最小，那么应使这个数位数尽可能的少，那么就拆成9和1，这两个数字组成的数最小是19。
答案：
最大是4321，最小是19。
过渡语：
很快，阿龙就破解了QQ号，并与对方取得联系，对方要求面谈。
“不入虎穴，焉得虎子！
大壮和小聪，咱们去会会他们。
”阿龙带着手下换上便装来到交易地点。
开门的是个凶神恶煞的大胡子，说道：
“你们找谁？
”阿龙说：
“QQ上你们约我面谈，货呢？
”“先把暗号对上。
”大胡子从口袋中掏出一张卡片，上面写着：
（二）呈现问题2
例2：
一个不透明的袋子里有10个红球、9个黄球和12个黑球，现从中至少摸几个，才能保证摸出的球中有两个颜色相同的球？
1.学生读题，获取信息。
你是怎么理解“保证摸出的球中有两个颜色相同的球”这句话的？
就是不管什么颜色，一定得有两个颜色相同的，可以是两个红的，也可以是2个黄球，也可以是2个黑球。
大家理解的很到位，不但要使有2个球颜色相同，而且要使摸出来的球的个数最少，最少应该摸几个呢？
大家思考一下，一会我让同学说说自己的想法。
2.学生独立思考。
3.教师提问学生说说自己的想法。
因为要使有2个球颜色相同，而且要使摸出来的球的个数最少，所以我认为最少应该是2个。
哦，这位同学认为摸2个可以保证有2个颜色相同的球，大家同意他的想法吗？
我不同意，摸两个不能保证颜色相同，如果运气不好的话可能会摸出2个不同颜色的球。
那你认为最少摸几个可以保证有2个颜色相同的？
（此时学生如果说的不对，就继续追问其他同学是否同意这位同学的想法，直至找到正确答案。
我认为应该摸4个，最坏的情况是摸3个是3种不同颜色的，再摸一个那么不管是什么颜色肯定与之前一个颜色相同。
这是运气最坏的情况。
3.学生独立完成解答。
4个，原因如下：
考虑运气最差的情况，先摸3个颜色各不相同，再摸1个必能与之前其中1个颜色相同。
4.教师小结：
要保证摸出的球中有两个颜色相同的球，大家应充分理解“保证”的含义，就是不能存在侥幸，任何情况下都得符合条件，所以解决这类问题我们应从最不利的情况考虑，得出摸到最少的个数。
下面大家做一下拓展问题2，检验一下你有没有掌握这类问题的解决方法？
（三）拓展问题2
2.一个纸箱中有50张相同的纸片，分别编上号码1、2、3、4、5的各有10张。
问：
一次至少要取出多少张，才能保证其中至少有4张号码相同？
（本题是例2的变式题，学生尝试独立完成，然后集体交流）
号码是1的卡片有几张？
号码是5的卡片有几张？
其他卡片呢？
运气最坏的是什么情况？
摸出来3张1，摸出来3张2，摸出来3张3，摸出来3张4，摸出来3张5后，再摸出来一张。
那么要保证至少有4张号码相同，一次至少要取出多少张？
3×
5＋1＝16（张）
答：
一次至少要取出16张，才能保证其中至少有4张号码相同。
（四）例3
例3：
有8个不同质量的同学称体重（每个人的体重都是整千克数），他们的平均体重是39千克。
将他们按照从轻到重的顺序排列，前3人的平均体重是30千克，后4人的平均体重是46千克。
最轻的同学最重是多少千克？
最重的同学最重是多少千克？
1.学生读题，师生共同分析。
根据条件，将他们按照从轻到重的顺序排列，你能提出哪些问题并解答你的问题吗？
8个同学的体重共多少？
39×
8＝312（千克）
将他们按照从轻到重的顺序排列，前3人的体重共多少？
30×
3＝90（千克）
生3：
将他们按照从轻到重的顺序排列，后4人的体重共多少？
46×
4＝184（千克）
生4：
将他们按照从轻到重的顺序排列，第4个人的体重是多少？
312－90－184＝38（千克）
大家提出了这么多问题，下面我们来看一下题目的问题：
先来看第一问。
我们知道前3个人的体重之和是90千克，要求最轻的同学最重，应该怎么考虑？
2.学生小组内交流意见，然后集体交流。
师引导：
和是一定的，我们知道第2个人比第1人重，第3人比第二人重，而且题意说每人都是整千克数，下面我把3人的体重用第1人表示出来，写出几种情况大家比较一下：
情况1：
第1人体重，第1人体重＋1千克，第1人体重＋2千克；
情况2：
第1人体重，第1人体重＋2千克，第1人体重＋4千克；
大家算一算，不同情况第1人的体重？
（学生计算发现，情况1第1人的体重最重）
这是为什么呢？
其实大家仔细观察3人的体重关系，就会发现这与我们之前学的和倍问题是同类型的。
第2人体重比第1人体重的1倍多一点，第3人比第2人体重的1倍多一点，和是90，计算第1人的体重时，我们需要从90中减去第2人、第3人比第1人多的部分再除以3。
减得越少第一人体重就越大，减得越多第1人题中就越小。
所以要使第1人体重最大，减得尽可能的少，也就是这三个数尽可能的接近。
现在大家会算第1人的题中最重是多少了么？
3.学生独立完成。
90÷
3＝30，三个数最接近为29，30，31，所以第1人的体重最重是29千克。
那么后4人体重和确定的情况下，怎么使最重的同学最重？
使前3人的体重尽量轻。
大家一下子就抓住了问题的关键，但应注意，他们的体重是按从轻到重的顺序排列的，后面的人应该比前面的人重。
刚才第4人的体重算出来是38千克，那么第5人的体重最少是39千克，以此类推，第6人40千克，第7人41千克，那么第8人最重就是：
184－39－40－41＝64（千克）。
最轻的同学最重是29千克；
最重的同学最重是64千克。
3.教师小结：
以后我们遇到此类问题，可以直接应用我们本题的结论。
结论1：
已知几个数的和，要使最小的数最大，就要使大数尽可能的小，也就是使这几个数尽量接近；
结论2：
已知几个数的和，要使最大的数最小，就要使较小数尽可能大，也就是使这几个数尽量接近；
结论3：
已知几个数的和，要使最大的数最大，就要使较小数尽可能小。
（五）拓展问题1
1.5个同学收集的邮票数总和是325张，每人收集的邮票数都是整数，并且各不相同，则收集邮票最少的同学最多可能收集多少张？
（本题与例3是同类型问题，学生运用“已知几个数的和，要使最小的数最大，就要使大数尽可能的小，也就是使这几个数尽量接近”独立完成，然后集体汇报交流）
325÷
5＝65，5人的集邮张数是63,64,65,66,67，则收集邮票最少的同学最多收集63张。
（六）拓展问题5
5.有7个自然数，它们的平均数是46，如果把这7个数按照从小到大的顺序排列起来，前3个数的平均数是33，后3个数的平均数是58，最大的数最大是多少？
（本题与例3是同类型问题，学生运用“已知几个数的和，要使最大的数最大，就要使较小数尽可能小”独立完成，然后集体汇报交流）
按从小到大的顺序排列。
后3个数和：
58×
3＝174
第4个数：
7－33×
3－58×
3＝49
最大的数最大：
174－50－51＝73
三、课堂小结
本节课你学习了哪些类型的最值问题？
每种类型的最值问题应该怎样考虑？
第二课时
一、过渡语
上节课我们学习了3种不同类型的最值问题，并掌握了这三种问题的解答方法，那么最值问题还有哪些类型呢？
我们一起来看看。
二、合作探究
（一）呈现问题4
例4：
“我们有4辆车装穿山甲，其中任意3辆车的穿山甲总数都超过120只，你说我们至少有多少只穿山甲？
”
1.游戏导入，理解问题。
同学们，这个题好难呀，我们先不管它，我们先来聊聊吃的。
你喜欢吃什么水果？
苹果，香蕉，梨，…
好像说苹果的同学比较多，那我们一起来做个有关苹果的游戏。
（找三位同学甲、乙、丙上台）
下面的同学认真听，看谁先能猜出来他们至少有多少个苹果，记得是至少哦，可别往大的猜哦！
他们3人每人至少有1个苹果，这里没有半个苹果。
第一场比赛：
任意2人的苹果都大于2个，那么3个人最少共有多少个？
（学生思考，教师讲解一下自己的思考过程）
老师先来猜第1场。
因为要苹果总数最少，而且每人必须有，如果每人都有1个的话，会怎样呢？
我们列个表格看一下，教师依次按照表中方法调整苹果数量，并验证是否符合题意：
从上面表格可以发现：
单独给甲一个人增加是不行的，乙、丙两人苹果太少了，必须得给他们两个人也增加才可以。
现在第二场开始了，任意2人的苹果都大于3个，那么3个人最少共有多少个？
刚才给甲、乙都加了，就没给丙加，那这次给谁加呢？
给丙加一个。
给丙加一个满足题意吗？
我们一起看看：
观察我们增加苹果的过程，我们给三人是怎么增加的？
给甲加完就给乙加，给乙加完又给丙加。
不能只单独给1个人增加。
大家观察的很仔细，通过这种增加苹果的方式，我们发现会让甲乙丙三个人的苹果数最接近，最多差1，总数才能最少。
2.学生读题，师生共同分析。
刚才我们是3个人一起数苹果，每个人的个数最接近，如果4个人呢？
是不是也得每个人的个数最接近呢？
要使4辆车穿山甲的总数最少，则每辆车上穿山甲的数量应尽量接近。
任意3辆车之和都大于120，要使这3辆车最接近，那么每辆车应该是多少呢？
（学生小组讨论）
这3辆车每辆车最少不应少于120÷
3=40（只）。
因为3辆车之和还得大于120只，那这3辆车应该是：
40，40，41
接下来还得考虑第4辆车，最少应该是多少呢？
考虑最坏的情况是40，40，（），括号里应该是41。
四辆车只数分别为40,40,41,41只，才能使任意3辆车的穿山甲总数都超过120只。
总只数至少：
40＋40＋41＋41＝162（只）
至少有162只穿山甲。
因为题中已知任意3辆车的总数之和情况，所以先考虑任意3辆车上的穿山甲总数，再根据最不利原则确定最后一辆车上的穿山甲只数。
（五）呈现问题5
例5：
三个非零自然数的和是16，它们的乘积最大是多少？
66
1.学生读题，分析题意
2.教师引导
我们知道，数越大乘积就越大，我们先试试把16分解成3个数。
如下表：
第一次分解：
16=14+1+1
第二次分解：
让甲数给乙1个，16=13+2+1，乘积变大了，和上道题一样，也不能让某一个数太大，也得让其它数增大。
第三次分解：
让甲数再拿出来一个，给谁呢？
学生：
给乙？
给丙？
我们分别来看看：
第四次分解：
16=12+3+1，12×
1＝36。
第五次分解：
16=12+2+2，12×
2×
2＝48。
显然是得给丙。
师提问：
大家有没有发现：
是不是甲、乙、丙三个数都很接近或者相同时，乘积才更大？
那16应该怎么分解呢？
3.学生思考，独立完成问题。
16＝5＋5＋6
乘积最大：
5×
6＝150
4.小结：
把一个数拆成几个数（固定个数）的乘积，数越接近乘积越大。
三、拓展问题
（一）拓展问题3
3.6人围成一圈玩游戏，已知其中任意5人的年龄和都大于100，那么这6人的年龄和最少是多少？
（本题是例4的变式问题，学生独立完成解答后，集体汇报交流，根据要使总数最少，这几个数尽量接近的原则解决问题）
因为已知其中任意5人的年龄和都大于100，所以先考虑5人年龄最小不应小于100÷
5=20。
因为5人之和还得大于100，那这5人应该是：
20，20，20，20，21。
接下来还得考虑第6个人的年龄，最少应该是多少呢？
考虑最坏的情况是20，20，20，20，（），括号里应该是21。
所以这6人年龄和最少是20＋20＋20＋20＋21＋21＝122。
（二）拓展问题4
4.四个非零自然数的和是10，它们的乘积最小是多少？
本题要求乘积的最小值，有什么限制条件？
四个非零自然数的和是10。
如果去掉4这个限制条件，改成几个数非零自然数的和是10，它们的乘积最小是多少？
大家试一试，看谁找到的这个乘积最小？
2.学生尝试，教师引导学生发现，因数1越多，乘积越小。
我拆成的是5和5，乘积是25。
嗯，这位同学拆成了2个数，还有没有使乘积更小的拆分方法？
我把10拆成10个1，10个1的乘积还是1。
真棒，通过拆分，你有什么发现？
因数1越多，乘积越小。
这真是一个重大发现，那么我们来看一下这道题，怎么拆分能使乘积最小？
10＝1＋1＋1＋7
乘积最小：
1×
7＝7
（三）呈现问题6
6.有六块岩石标本，重量分别是8千克、6千克、4千克、4千克、3千克、2千克，将它们分别装在三个背包里，要求最重的一个背包尽可能轻一些，最重的背包里的岩石标本重多少千克？
1.学生读题，分析题意。
六块岩石标本的质量是确定的，要把这些岩石分成3份，怎样才能使最重的一份尽可能轻？
要使最重的一个尽量轻，因为总质量是固定不变的，那么就应使轻的尽量重。
大家找到了解决问题的关键，也就是使得3份质量尽可能的接近，应该怎么分装呢？
大家尝试分装一下。
2.学生独立完成，适时出示解析集体交流。
我算出总质量是8＋6＋4＋4＋3＋2＝27（千克），那么平均每份就是9千克。
要使3份尽可能接近就将岩石分成第1份：
8千克；
第2份：
6千克＋3千克；
第3份：
4千克＋4千克＋2千克。
我的思路和他相同，每份的质量也一样，只是分装方法不同，第1份：
4千克＋4千克；
8千克＋2千克。
题中对每个背包里装的石块的数量没有限制，所以这两种方法都可以。
他俩讲的清楚吗？
如果清楚的话请给他们掌声。
四、拓宽视野
用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用0，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ。
求算式ABC×
DE－FGH×
IJ的计算结果的最大值。
你是如何理解题意的？
如何使算式“ABC×
IJ”的计算结果最大？
要使减法的差最大，被减数应尽可能的大，减数应尽可能的小。
这位同学说的非常正确，那么我们就把问题变为用“1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数乘两位数，怎样使它的结果最大？
”，“用0，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数乘一个两位数，怎样使它的结果最小？
”大家掌握这个问题的方法了吗？
2.师生合作，找到最大乘积和最小乘积。
（如果学生会做就让学生独立完成，如果学生不会教师出示解析引导）
之前我们学过要使乘积最大，较大数放在高位上，且两个数的差尽可能小，那么首先两个数的最高位应该是什么呢？
7和9。
对，我们把7和9写在两数的最前面，然后考虑剩下的3个数字1，3，5，怎样放才能使差尽量小？
把5放在7的后面，3放在9的后面，组成75×
93，这样做是使两个数的差尽可能小。
最后还剩下1，放在哪个数的后面呢？
为了使两个数的差尽可能小，把1放在75的后面。
组成的最大乘积就751×
93。
那么乘积最小应该怎么做呢？
因为0不能放在首位，所以将2和4放在两个数的最高位，然后考虑0和6，因为要使乘积最小得使差尽可能大，所以把0放在2的后面，把6放在4的后面组成46×
20；
最后剩下8，要使差尽可能大，把8放在大数46后面，所以乘积最小是468×
20。
ABC×
DE＝751×
93时，乘积最大。
FGH×
IJ＝468×
20时，乘积最小。
所以ABC×
DE-FGH×
IJ的最大值为：
751×
93－468×
20
＝69843－9360
＝60483
（1）要使乘积最大，较大数放在高位上，且两个数的差尽可能小；
（2）要使乘积最小，较小数放在高位上，且两个数的差尽可能大。
五、小结
解决最值问题的方法
可以从极端考虑，例如几个数字组成最小数，要使位数最少，最高位上数字尽量小；
再例如抽屉原理，也是从最不利的情况考虑。
可以用枚举比较的方法解决，例如本讲的例5。
还会用分析推理的方法，找到最符合要求的情况。
例题答案：
4个
162只
150
拓展问题答案：
1.63张
2.16张
3.122
4.7
5.73
6.10
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