空间几何体的结构特征及三视图和直观图.docx

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空间几何体的结构特征及三视图和直观图

空间几何体的三视图、直观图

知识点

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空间几何体的结构及三视图和直观图

认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．

会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．

会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不做严格要求）

空间几何体的表面积与体积

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

空间点、直线、平面之间的位置关系

理解空间直线、平面位置关系的定义．

了解可以作为推理依据的公理和定理．

能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

空间中的平行关系

以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.

空间中的垂直关系

以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.

第1讲　空间几何体的结构特征及三视图和直观图

1．空间几何体的结构特征

（1）多面体的结构特征

多面体

结构特征

棱柱

有两个面互相平行，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行

棱锥

有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形

棱台

棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台

（2）旋转体的形成

几何体

旋转图形

旋转轴

圆柱

矩形

矩形一边所在的直线

或对边中点连线所在直线

圆锥

直角三角形或等腰三角形

一直角边所在的直线或等腰三角形底边上的高所在直线

圆台

直角梯形或等腰梯形

直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连线所在直线

球

半圆或圆

直径所在的直线

2.三视图

（1）几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

（2）三视图的画法

①基本要求：

长对正，高平齐，宽相等．

②画法规则：

正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．

3．直观图

（1）画法：

常用斜二测画法．

（2）规则：

①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°（或135°），z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．（　　）

（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．（　　）

（3）夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．（　　）

（4）正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．（　　）

（5）用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．（　　）

（6）菱形的直观图仍是菱形．（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×　（5）×　（6）×

下列说法正确的是（　　）

A．相等的角在直观图中仍然相等

B．相等的线段在直观图中仍然相等

C．正方形的直观图是正方形

D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行

答案：

D

关于棱柱的下列说法错误的是（　　）

A．棱柱的侧棱都相等

B．棱柱的侧棱都平行

C．棱柱的两底面是全等的多边形

D．棱柱的侧面是全等的平行四边形

解析：

选D.根据棱柱的结构特征可知选D.

如图，长方体ABCDA′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是（　　）

A．棱台　　　　　　B.四棱柱

C．五棱柱D．简单组合体

答案：

C

某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（　　）

A．圆柱B.圆锥

C．四面体D．三棱柱

解析：

选A.由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱（放倒看）都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A.

（教材习题改编）一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是（　　）

解析：

选B.该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.

　　　　　　空间几何体的结构特征

[学生用书P120]

[典例引领]

（1）给出下列几个命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；

③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确命题的个数是（　　）

A．0　　　　　　　B.1

C．2D．3

（2）给出以下命题：

①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；

③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

其中正确命题的个数为（　　）

A．0B.1

C．2D．3

【解析】　

（1）①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

（2）由圆台的定义可知①错误，②正确，对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确．

【答案】　

（1）B　

（2）B

空间几何体概念辨析题的常用方法

（1）关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．

（2）圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．

（3）既然棱（圆）台是由棱（圆）锥定义的，所以在解决棱（圆）台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．

[通关练习]

1．下列说法正确的是（　　）

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

解析：

选D.如图知，A不正确，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．侧棱长与底面多边形的边长相等的棱椎一定不是六棱锥，故C错误，由定义知，D正确．

2．给出下列四个命题：

①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；

②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；

③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；

④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．

其中错误的命题的序号是________．

解析：

认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③都不正确，②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确．

答案：

①②③④

　　　　　　空间几何体的三视图（高频考点）

[学生用书P121]

空间几何体的三视图是每年高考的热点，可以单独考查，也常与表面积、体积综合考查．主要命题角度有：

（1）已知几何体，识别三视图；

（2）已知三视图，判断几何体；

（3）已知几何体的某些视图，判断其他视图．

[典例引领]

角度一　已知几何体，识别三视图

如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（　　）

A．①②⑥　　　　　B.①②③

C．④⑤⑥D．③④⑤

【解析】正视图应该是相邻两边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应该是相邻两边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是相邻两边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③，故选B.

【答案】　B

角度二　已知三视图，判断几何体

（1）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）

A．三棱锥　　　　　B.三棱柱

C．四棱锥D．四棱柱

（2）（优质试题·高考北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（　　）

A．3B.2

C．2D．2

【解析】　

（1）由题三视图得直观图如图所示，为三棱柱，故选B.

（2）根据三视图可得该四棱锥的直观图（四棱锥PABCD）如图所示，将该四棱锥放入棱长为2的正方体中．由图可知该四棱锥的最长棱为PD，PD＝＝2.故选B.

【答案】　

（1）B　

（2）B

角度三　已知几何体的某些视图，判断其他视图

（1）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为（　　）

（2）一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为（　　）

【解析】　

（1）由几何体的直观图（如图）知选B.

（2）

由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.

【答案】

（1）B　

（2）D

三视图问题的常见类型及解题策略

（1）由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．

（2）由几何体的部分视图画出剩余的视图．先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．

（3）由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．

[通关练习]

1．正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（　　）

解析：

选C.过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形，故选C.

2．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　　）

A．圆柱B.三棱柱

C．球D．四棱柱

解析：

选B.由已知中的三视图可得该几何体是三棱柱，故选B.

3．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，则该几何体的侧视图为（　　）

解析：

选B.由三视图的画法规则：

长对正、高平齐、宽相等可知，选项B正确．

　　　　　　空间几何体的直观图[学生用书P122]

[典例引领]

（1）已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（　　）

A.a2　　　　　　　B.a2

C.a2D．a2

（2）如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是（　　）

A．正方形B.矩形

C．菱形D．一般的平行四边形

【解析】　

（1）如图①②所示的实际图形和直观图，

由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a，所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.故选D.

（2）如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2＝4（cm），CD＝