解三角形应用举例距离教学案.docx

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解三角形应用举例距离教学案

解三角形应用举例---距离问题

1、教学目标

1、让学生掌握关于距离问题的三角形解题方法

2、让学生学会利用三角形的方法处理距离的技巧

2、教学重点

让学生学会利用三角形的方法处理距离的技巧

3、教学难点

让学生学会利用三角形的方法处理距离的技巧

4、教学过程

1.仰角与俯角.

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线_____时叫仰角,目标视线在水平视线_____时叫俯角,如图:

2.方位角与方向角.

（1）方位角:

从__正北___方向__按照顺时针_____转到目标方向线的水平角叫方位角,方位角的范围是[0,2π].

（2）方向角:

从_规定___方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角,如北偏东30°,南偏东45°.

3.坡角与坡度.

坡面与_水平面所成的二面角叫坡角,坡面的铅直高度

与___水平宽度__之比叫坡度（）,如图.

预习

1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β之间的关系是　（　　）

A.α>βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°

【解析】选B.根据仰角与俯角的定义知α=β.

2.如图所示,在河岸AC测量河的宽度BC,图中所标的数据a,b,c,α,β是可供测量的数据.下面给出的四组数据中,对测量河宽较适宜的是　（　　）

A.c和αB.c和bC.c和βD.b和α

选D.由于B点不能到达,所以较易测出的数据是b与α.

3.如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同

侧,在A所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,

∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点的距离为______m.

4.一艘船以每小时15km的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60°,行驶4h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为_____km.

5.如图,隔河看到两个目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°（A,B,C,D在同一平面内）,求两个目标A,B之间的距离.（仿照教材P11例2的解析过程）

典例分析

例题1、如图,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC=60m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,求A,B两点的距离.

结合条件,利用正弦定理求解.

【解析】∠ABC=180°-75°-45°=60°,

所以由正弦定理得,

所以AB=

即A,B两点间的距离为m.

小结：

求距离问题时应注意的两点

（1）选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.

（2）确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.

变式训练如图所示,为了测量水田的宽度,某观测者在A的同侧选定一点C,测得AC=8m,∠BAC=30°,∠BCA=45°,则水田的宽度为________.

方法一:

过点B作BD⊥AC,在Rt△BDA及

Rt△BDC中

AD=

AC=AD+CD=

所以BD=

类型二:

测量两个不可到达的点之间的距离

例2、如图A,B为两可看到目标,但不能到达.C,D两

点可到达且测得CD=并且测得∠ADB=30°,∠BDC=

30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,求AB的长度.

因为∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,又因为∠ACD=60°,

所以∠DAC=60°.

所以AD=CD=AC=

在△BCD中,∠DBC=180°-30°-105°=45°,由正弦定理得

所以BD=CD·

在△ADB中,由余弦定理得

AB2=AD2+BD2-2·AD·BD·cos∠ADB

所以AB=

测量不可到达的两点之间的距离问题的关键

（1）选取的基线既易于测量,又简单恰当.

（2）要根据实际需要选取合适的基线长度,测量工具要有较高的精确度.

变式训练：

如图,CD是京九铁路线上的一条穿山隧道,

开凿前,在CD所在水平面上的山体外取点A,B,并测得四边形ABCD中,AB=BC=400米,AD=250米,则应开凿的隧道CD的长为________米.

在△ABC中,AB=BC=400米,∠ABC=所以

△ABC为等边三角形,∠BAC=又∠BAD=故

∠CAD=所以在△ACD中,由余弦定理得,CD2=AC2+AD2

-2AC·ADcos∠CAD=4002+2502-2×400×250×cos=122500,所以CD=350（米）.答案:

350

变式训练：

如图,从气球A测得正前方的济南全运会东荷、西柳两个场馆B,C的俯角分别为α,β,此时气球的高度为h,则两个场馆B,C间的距离为　（　　）

选B.在△ADC中,AC=在△ABC中,由正弦

定理得BC=

类型三:

航行中的距离问题

例3、如图,A,B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点至少需要多长时间?

分析：

已知速度,要求时间,只要求出路程,即CD的长即可.而观察CD所在的三角形,有△ADC和△BDC,确定用△BDC来求CD.

由题意知AB=海里,

因为∠DAB=90°-45°=45°,∠DBA=90°-60°=30°,所以∠ADB=180°-（45°+30°）=105°,

在△ADB中,由正弦定理得=

又因为∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+（90°-60°）=60°,

BC=海里,所以在△DBC中,由余弦定理得

CD2=BD2+BC2-2BD·BCcos∠DBC

所以CD=30（海里）,所以需要的时间t=1（小时）,即救援船到达D点至少需要1小时.

1.（改变问法）本例条件不变,该救援船应沿东偏北多少度的方向去营救?

由本例解析知在△BCD中,CD=30,故DB2+CD2=BC2.

所以∠CDB=90°,又因为∠CBD=60°.所以∠DCB=30°.

过C作AB的平行线CE,

即∠BCE=∠CBA=30°,所以∠DCE=60°.

故该救援船应沿东偏北60°的方向去营救.

2.（变换条件、改变问法）本例中若不知救援船的速度,其他条件不变,要求救援船必须在40分钟内到达,则救援船的最小速度为多少?

设救援船的速度为v海里/小时,由本例解析求

得CD=30海里,由得v≥45.即救援船的最小速度为45海里/小时.

五、课堂小结

1、求距离问题时应注意的两点

（1）选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.

（2）确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.

2、航行问题的解题技巧

（1）在航行等问题中,通常是把方位角（方向角）与几何图形结合起来,求出几何图形的有关角.

（2）几何图形的应用是解决实际问题的重要辅助手段,一是从图形的完整性方面画出图形;二是把多边形向三角形转化.

六、教学反思

课堂巩固练习

1.如图,在河岸AC测量河的宽度BC,测量下列四组数据,较适宜的是　（　　）

A.a,c,αB.b,c,αC.c,a,βD.b,α,β

【解析】选D.由α,β,b,可利用正弦定理求出BC.

2.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4m,

∠A=30°,则其跨度AB的长为　（　　）

A.12mB.8mC.3mD.4m

解析选D.由题意知,∠A=∠B=30°,所以∠C=180°-30°-30°=120°,由正弦定理得,=,即AB===4.

3.已知A,B两地的距离为10km,B,C两地的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地的距离为　（　　）

A.10kmB.kmC.10kmD.10km

【解析】选D.由余弦定理得:

AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=102+202-2×10×20×cos120°=700,

所以AC=10（km）.

4.如图,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A—C—B行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走（结果精确到0.1km）（参考数据:

≈1.41,≈1.73）　（　　）

A.3.4kmB.2.3kmC.5kmD.3.2km

【解析】选A.过点C作CD⊥AB,垂足为点D.在Rt△CAD中,

∠A=30°,AC=10km,CD=AC=5km,AD=AC·cos30°=5km.

在Rt△BCD中,∠B=45°,BD=CD=5km,

BC==5km.AB=AD+BD=（5+5）km,

AC+BC-AB=10+5-（5+5）=5+5-5≈5+5×1.41-5×1.73=3.4km.

5.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等.灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°,那么灯塔A在灯塔B的　（　　）

A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°

【解析】选B.如图,由已知得

∠ACB=180°-（40°+60°）=80°,因为AC=BC,所以∠CAB=∠CBA=×（180°-80°）=50°.

又EC∥BD,所以∠CBD=∠BCE=60°,则∠ABD=60°-50°=10°,

所以灯塔A在灯塔B的北偏西10°.

6.甲船在岛B的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小时

4千米的速度向正北航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是　（　　）

A.21.5分钟B.分钟C.分钟D.2.15分钟

【解析】选C.如图所示,设甲船行至C点,乙船行至D点时甲、乙两船相距最近,它们所航行的时间是x小时,则

CD2=（10-4x）2+（6x）2-2（10-4x）·6x·cos120°=28x2-20x+100,

所以当x=小时,即分钟时,CD2取最小值,即两船相距最近.

7.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10m,吊杆AC=15m,吊索AB=5m,起吊的货物与岸的距离AD为　（　　）

A.30mB.mC.15mD.45m

【解析】选B.在△ABC中,AC=15m,AB=5m,BC=10m,由余弦定理得

cos∠ACB===-,

所以sin∠ACB=.又∠ACB+∠ACD=180°,

所以sin∠ACD=sin∠ACB=.在Rt△ACD中,

AD=ACsin∠ACD=15×=（m）.

【误区警示】解答本题若选择求∠ABC的余弦值,再解Rt△ABD求AD,则运算量较大,极易出错.

8.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距　（　　）

A.10mB.100mC.20mD.30m

【解析】选D.设炮台顶部为A,两条船分别为B,C,炮台底部为D,可知∠BAD=45°,∠CAD=60°,∠BDC=30°,AD=30,分别在Rt△ADB,Rt△ADC中,求得DB=30,DC=30.

在△DBC中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2DB·DCcos30°,解得BC=30.

9.我舰在岛A南偏西50°相距12海里的B处发现敌舰正