ARCH模型和GARCH模型Word格式文档下载.docx

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条件方差或者波动率（Conditionvariance，volatility）定义为

其中

是信息集。

2、ARCH模型的定义

Engle（1982）提出ARCH模型（autoregressiveconditionalheteroskedasticity，自回归条件异方差）。

ARCH（q）模型：

（1）

的无条件方差是常数，但是其条件分布为

（2）

方程

（1）是均值方程（meanequation）

✓

：

条件方差，含义是基于过去信息的一期预测方差

方程

（2）是条件方差方程（conditionalvarianceequation），由二项组成

✓常数

✓ARCH项

滞后的残差平方

由于εt2的非负性，对i应有如下约束，

ω>

0,i0,i=1,2,…q

当全部i=0,i=1,2,…,q时，条件方差t2=ω。

因为方差是非负的，所以要求ω>

0。

3、ARCH模型的平稳性条件

为保证t2是一个平稳过程，

（2）式的特征方程

1-1L-2L2-…-qLq=0

的根都应在单位圆之外。

对i,i=1,2,…,q的另一个约束是

01+2+…+q<

1

对

（2）式求期望，

t2=ω+1E（εt-12）+2E（εt-22）+…+qE（εt-q2）

=ω+1t-12+2t-22+…+qt-q2

当T时，2=ω+12+22+…+q2

则无条件方差

可见若保证t2是一个平稳过程，应该有约束

0（1+2+…+q）<

1。

因为Var（yt）=Var（εt）=t2，所以上式可以用来预测yt的方差。

综上所述，ARCH模型的方差方程的的平稳性条件有

1）1-1L-2L2-…-qLq=0的根都应在单位圆之外。

2）01+2+…+q<

1

为使模型能够成立还需要满足ω>

0,i0,i=1,2,…q

例1ARCH

（1）模型中参数

的含义：

当

时，

时，退化为传统情形，

4、ARCH效应检验

ARCHLMTest：

拉格朗日乘数检验

建立辅助回归方程

此处

是回归残差。

原假设：

H0：

序列不存在ARCH效应

即H0：

可以证明：

若H0为真，则

此处，m为辅助回归方程的样本个数。

R2为辅助回归方程的确定系数。

Eviews操作：

①先实施多元线性回归

②view/residual/Tests/ARCHLMTest

2、ARCH模型的实证分析

从收盘价，得到收益率数据序列。

seriesr=log（p）-log（p（-1））

点击序列p，然后view/linegraph

1、检验是否有ARCH现象。

首先回归。

取2000到2254的样本。

输入lsrc，得到

DependentVariable:

R

Method:

LeastSquares

Date:

10/21/04Time:

21:

26

Sample:

20002254

Includedobservations:

255

Variable

Coefficient

Std.Error

t-Statistic

Prob.

C

R-squared

Meandependentvar

AdjustedR-squared

.dependentvar

.ofregression

Akaikeinfocriterion

Sumsquaredresid

Schwarzcriterion

Loglikelihood

Durbin-Watsonstat

问题：

这样进行回归的含义是什么

其次，view/residualtests/ARCHLMtest，得到

ARCHTest:

F-statistic

Probability

Obs*R-squared

TestEquation:

RESID^2

27

Sample（adjusted）:

20102254

245afteradjustingendpoints

RESID^2（-1）

RESID^2（-2）

RESID^2（-3）

RESID^2（-4）

RESID^2（-5）

RESID^2（-6）

RESID^2（-7）

RESID^2（-8）

RESID^2（-9）

RESID^2（-10）

F-statistic

Durbin-Watsonstat

Prob（F-statistic）

得到什么结论

2、模型定阶：

如何确定q

实施ARCHLMtest时，取较大的q，观察滞后残差平方的t统计量的p－value即可。

此处选取q＝3。

因此，可以对残差建立ARCH（3）模型。

3、ARCH模型的参数估计

参数估计采用最大似然估计。

具体方法在GARCH一节中讲解。

如何实施ARCH过程：

由于存在ARCH效应，所以点击estimate，在method中选取ARCH

得到如下结果

ML-ARCH

48

Convergenceachievedafter13iterations

z-Statistic

VarianceEquation

ARCH

（1）

ARCH

（2）

ARCH（3）

为了比较，观察将q放大对系数估计的影响

54

Convergenceachievedafter16iterations

ARCH（4）

ARCH（5）

观察：

说明q选取为3确实比较恰当。

4、ARCH模型是对的吗

如果ARCH模型选取正确，即回归残差的条件方差是按规律变化的，那么标准化残差就会服从标准正态分布，即不会有ARCH效应了。

对q为3的ARCH模型做LMtest，发现没有了ARCH效应。

注意，虽然是同一个检验名称，但是ARCH过程后是对标准化残差进行检验。

注意观察被解释变量或者依赖变量是什么

STD_RESID^2

56

STD_RESID^2（-1）

STD_RESID^2（-2）

STD_RESID^2（-3）

STD_RESID^2（-4）

STD_RESID^2（-5）

STD_RESID^2（-6）

STD_RESID^2（-7）

STD_RESID^2（-8）

STD_RESID^2（-9）

STD_RESID^2（-10）

方程整体是不显着的。

还可以观察标准化残差

ARCH建模以后，procs/makeresidualseries/可以产生残差

和标准化残差

，以下分别是残差和标准化残差。

可以看出没有了集群现象。

还可以观察波动率（条件方差）的图形。

对比r和残差的图形，发现条件方差的起伏与波动率的大小一致。

ARCH建模以后，procs/makegarchvarianceseries/得到

结论：

ARCH模型确实很好描述了股票市场收益率的波动性。

可以观察系数之和小于1，满足平稳性条件。

3、GARCH模型

ARCH（q）模型是关于t2的分布滞后模型。

为避免εt2的滞后项过多，可采用加入t2的滞后项的方法，此方法是Bollerslov（1986）提出的GARCH模型（GeneralizedARCH），主要就是针对q较大的情形

1、模型定义

条件方差方程

✓均值

过去的条件方差（也即预测方差，forecastvariance）

注意：

均值方程中若没有解释变量（即只有常数，如RC），则R2没有直观定义了，因此可为负）

例2GARCH（1,1）Model

标准的GARCH（1,1）描述为：

（a）

（b）

（a）式是均值的方程，带误差项的外生变量的函数。

因为

是基于过去信息的一步向前预测方差，所以称为条件方差。

条件方差的方程有三项。

是均值项；

；

在GARCH（1,1）的（1,1）表明有1阶GARCH项和1阶ARCH项。

一个ARCH模型是GARCH模型的特殊情况，即当条件方差的方程中没有条件方差的滞后项时，即：

（c）

（d）

如果对

（2）式右边进行迭代。

可以有

…

这说明GARCH（1,1）的条件方差是以前的所有随机干扰项平方的加权和与共同部分

构成。

令

将其代入（b）得,

由此可见，残差平方服从一个ARMA（1,1）过程。

自回归因子的根为

，如果

接近1，则冲击是长久的。

2、GARCH（p,q）模型的稳定性条件

计算扰动项的无条件方差：

从上式可推出稳定条件：

0

为使模型有意义，系数还需要满足下面两条

1）ω>

0,i0,i=1,2,…q,

2）βi0,j=1,2,…p

3、GARCH模型的参数估计

采用极大似然估计GARCH模型的参数。

下面以GARCH（1,1）为例。

由GARCH（1,1）模型

可以得到yt的分布为

由正态分布的定义公式，得到yt的pdf为

第t个观察样本的对数似然函数值为

注意yi和yj之间不相关，因而是独立的。

似然函数为

取对数就得到了所有样本的对数似然函数。

其中条件方差项以非线性方式进入似然函数，所以不得不使用迭代算法求解。

4、模型的选择

两条原则：

1）若ARCH（q）中q太大，比如q大于7时，则选择GARCH（p,q）

2）使用AIC和SC准则，选择最优的GARCH模型

3）对于金融时间序列，一般选择GARCH（1,1）就够了。

回顾AIC和SC定义：

1）AIC准则（Akaikeinformationcriterion）

AIC越小越好，结合如下两者：

K（自变量个数）减少，模型简洁

LnL增加，模型精确

2）SC准则（Schwazcriterion）

习题1：

通货膨胀率有ARCH效应吗GreeneP572

点击数据文件usinf_greene_p572。

进行回归

lsinflationcinflation（-1）

INFLATION

11/19/04Time:

10:

37

19411985

45afteradjustingendpoints

INFLATION（-1）

检验ARCH效应

46

19461985

40afteradjustingendpoints

习题2：

通货膨胀率有ARCH效应吗Lin的数据集

点击usinf文件

seriesdp=100*D（log（p））

lsdpcdp（-1）dp（-2）dp（-3）

DP

10

1951:

11983:

4

132afteradjustingendpoints

DP（-1）

DP（-2）

DP（-3）

13

1952:

21983:

127afteradjustingendpoints

16

132afteradjus