完整word版614还原问题二教师版.docx

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完整word版614还原问题二教师版

6-1-2.还原问题

（二）

教学目标

本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用倒推法解决问题．

1.掌握用倒推法解单个变量的还原问题．

2.了解用倒推法解多个变量的还原问题．

3.培养学生“倒推”的思想．

知识点拨

一、还原问题

已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．

还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．

二、解还原问题的方法

在解题过程中注意两个相反：

一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．

方法：

倒推法。

口诀：

加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．

关键：

从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.

例题精讲

模块一、单个变量的还原问题

【例1】刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的，第三口则喝了剩下的，第四口再喝剩下的，第五口喝了剩下的．此时瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？

【考点】单个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

1【解析】最开始瓶子里有矿泉水：

（升）．

【答案】升

【例2】李白提壶去买洒，遇店加一倍，见花喝一斗。

三遇店和花，喝光壶中酒。

壶中原有（   ）斗酒。

【考点】单个变量的还原问题【难度】4星【题型】填空

【关键词】可逆思想方法，走美杯，六年级

【解析】设李白壶中原有斗酒，则三次经过店和花之后变为

即壶中原有斗酒.

【答案】斗

【例3】有60名学生，男生、女生各30名，他们手拉手围成一个圆圈．如果让原本牵着手的男生和女生放开手，可以分成18个小组．那么，如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了__个小组．

【考点】单个变量的还原问题【难度】4星【题型】填空

【关键词】迎春杯，四年级，初赛，3题

【解析】方法一：

男生和女生放手分成个组，说明有男生被计算次，男生与男生放开手后分成的组数和男生数相同，但是因为是围成了一圈，所以刚刚计算人数会被算成了两次，所以按照逆推的原则，原来有男生人，被计算（次），所以（次）分成了组。

方法二：

名学生围成圈，每个人与相邻的同学牵手，那么有对牵着的手，其中男生与女生牵手的有对，假设男生与男生牵手的有人，那么，参与围圈的男生一共有人，所以，．那么原来牵手的男生和男生放手，分成了个小组．

【答案】个小组

模块二、多个变量的还原问题

【例4】甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。

这时四个组的书一样多。

这说明甲组原来有书______本。

【考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，4年级，1试

【解析】甲得到4本，乙失去1本，丙失去2本，丁失去1本后，四个人书一样多，为280÷4=70，所以甲原来有70-4=66本书

【答案】本书

【例5】一群小神仙玩扔沙袋游戏，他们分为甲、乙两个组，共有140只沙袋．如果甲组先给乙组5只，乙组又给甲组8只，这时两组沙袋数相等．两个组原来各有沙袋多少只?

【考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

1【解析】甲乙两组的沙袋经历了两次交换．第二次交换后两组沙袋相等，又知沙袋总数为140只，所以这时两组各有沙袋70只．解答时可以从开始倒推．列表倒推如下：

解决此类问题的关键是找到从哪里开始倒推．因为甲乙两组的沙袋经历了两次交换后数量相等，所以应从两组各有沙袋70只开始倒推．

【答案】甲，乙

【巩固】甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？

【考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

2【解析】如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树（棵），乙班有（棵），如果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树（棵），甲班原有树（棵）．列表倒推如下:

【答案】甲班原有树棵，乙班原有树棵

【例6】有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆．现在按如下方法移动棋子：

第一次从甲堆中拿出和乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆．照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好都是32个．问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

3【解析】我们从最后一步倒着分析．因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆棋子都是32个，因此，在未进行第三次移动之前，乙堆只有（个）棋子，而甲堆的棋子数是（个），这样再逆推下去，逆推的过程可以用下表来表示，表中的箭头表示逆推的方向．所以，甲堆原有44个棋子；乙堆原有20个棋子．

采用列表法非常清楚．

【答案】甲乙两堆棋子原来各有个和个

【巩固】有一个两层书架，一共摆放224本书，先从上层取出与下层本数同样多的书放入下层，再从下层现有书中，取出与上层剩下的本数同样多的书放入上层，这算进行了一轮调整．若如此共进行了两轮调整后，两层摆放书的本数相等，上层书架原来摆放________本书,下层书架原来摆放________本书．

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】填空

【关键词】学而思杯，3年级，第8题，可逆思想方法

【解析】还原法

结果：

上层112本；下层112本

上层本；下层本

上层140本；下层84本

上层70本；下层154本

上层147本；下层77本

【答案】上层本，下层本

【例7】三人有不等的存款，只知如果甲给乙40元，乙再给丙30元，丙再给甲20元，给乙70元，这样三人各有240元，三人原来各有存款多少元？

【考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

1【解析】甲：

（元）；乙：

（元）；丙：

．

【答案】甲元，乙元，丙元

【巩固】小巧、小亚、小红共有个玻璃球，小巧给小亚个，小亚给小红个，小红给小巧个，他们的玻璃球个数正好相等．小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？

【考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

1【解析】由已知条件可知，小巧比原来多了个，小亚比原来多了个，小红少了个，三人一样多时，都是（个），所以小巧原来有（个），小亚原来有（个），小红原来有（个）．

【答案】所以小巧原来有个，小亚原来有个，小红原来有个．

【例8】三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟从第二棵树上飞到第三棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟?

【考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

1【解析】这道题要采用倒推法，最后三棵树上的鸟同样多，那每棵数上就是（只），第一棵树上的鸟，先是飞了4只到第二棵树上，然后又有10只飞了回来，现在和原来比小鸟增加了6只，这样比较就能求出第一棵树上小鸟的只数；第二棵树上的鸟，先是飞来了4只，然后又有飞走了8只，现在和原来比少了4只，这样比较就能求出第二棵树上小鸟的只数；第三棵树上的鸟，先是飞来了8只，然后又飞走了10只，现在和原来比少了1只，这样比较就能求出第三棵树上小鸟的只数．列式：

现在一样多的：

（只），第一棵树上的小鸟只数：

（只）或（只），第二棵树上的小鸟只数：

（只）或（只），第三棵树上的小鸟只数：

（只）或（只）原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟．

【答案】原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟

【巩固】三棵树上共有27只鸟，从第一棵飞到第二棵2只，从第二棵飞到第三棵3只，从第三棵飞到第一棵4只，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟？

【考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

2【解析】三棵树上的鸟同样多的只数：

（只），第一棵数上鸟的只数：

（只），第二棵数上鸟的只数：

（只），第三棵数上鸟的只数：

（只），第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟．

【答案】第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟

【巩固】3个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多．求3个笼子里原来各养了多少只鹦鹉?

【考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

4【解析】3个笼子里的鹦鹉不管怎样取，78只的总数始终不变．变化后“3个笼子里的鹦鹉一样多”，可以求出现在每个笼里的是（只）．根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以知道第1个笼子里原来养了（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，得出第个笼子里有：

（只），第3个笼子里原有（只）．

【答案】第1个笼子里原来养了只，第个笼子里有只，第3个笼子里原有只。

【巩固】3个笼子里共养了36只兔子，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的兔子一样多．求3个笼子里原来各养了多少只兔子？

【考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

5【解析】3个笼子里的兔子不管怎样取，36只的总数始终不变．变化后“3个笼子里的兔子一样多”，可以求出现在每个笼里的兔子是（只）．根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以知道第1个笼子里原来养了（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，所以第3个笼子里原有：

（只），第个笼子里原有：

（只）．

【答案】第1个笼子里原来养了只，第个笼子里原有只，第3个笼子里原有只。

【例9】张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物200本，为了广泛阅读，张给王13本，王给李18本，李给赵16本，赵给张2本．这时4个人的本数相等．他们原来各有多少本？

【考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

6【解析】解这道题应该先明白这样一个道理，他们共有课外读物200本，经过互相交换后，这200本书的总数没有变化，仍然是200本．后来这4个人的本数相等时，每个人的本数是（本）．

用倒推法，求每个人原来各有多少本书，可以从最后结果50本开始，把给出的本数加上，收进的本数减去，就得到各人原有课外读物的本数．

⑴张原有读物的本数：

（本）

⑵王原有读物的本数：

（本）

⑶李原有读物的本数：

（本）

⑷赵原有读物的本数：

（本）

【答案】张原有读物本，王原有读物本，李原有读物本，赵原有读物本。

【例10】解放军某部参加抗震救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调35人支援第三队，又抽调剩下的一半支援第四队，后来又调进8人，这时第一队还有30人，求第一队原有多少人？