函数的定义域解析与练习及标准答案.docx
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函数的定义域解析与练习及标准答案
函数的定义域解析与练习及答案
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函数的定义域
1、已知函数式求定义域:
例1、求下列函数的定义域:
(1);
(2);(3);
(4);(5).
解:
(1),即;
(2),即;
(3)且,即.
(4)要使函数有意义,应满足,即. ∴函数的定义域为.
(5)要使函数有意义,应满足,即. ∴函数的定义域为.
点拨:
要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围,可考虑用到不等式或不等式组,然后借助于数轴进行求解.
2、求抽象函数的定义域
讲解:
求解抽象函数的定义域时一定要严格遵循原始函数的定义域,不管“”中的“x”被什么代换,它们都得首先遵循这一“规则”,在这一“规则”之下再去求解具体的x的范围.
例2、已知的定义域为,求,的定义域.
解:
∵的定义域为,∴,∴,即的定义域为,
由,∴,即的定义域为.
点拨:
若的定义域为,则的定义域是的解集.
例3、已知的定义域为,求,的定义域.
解:
∵的定义域为,∴即的定义域为.
又∵的定义域为,∴,∴
即的定义域为.
点拨:
已知的定义域,则当时,y=kx+b的函数值的取值集合就是的定义域.
例4、已知函数的定义域是[a,b],其中a<0b,求函数的定义域.
解答:
∵函数的定义域为[a,b],∴a≤x≤b,
若使有意义,必须有a≤-x≤b即有-b≤x≤-a.∵a<0b,∴a<-b且b<-a.
∴的定义域为.
点拨:
若的定义域为及的定义域分别为A、B,则有借助于数轴分析可求得.
3、函数定义域的逆用
讲解:
已知函数的定义域求解其中参数的取值范围时,若定义域为R时,可采用判别式法,若定义域为R的一个真子集时,可采用分离变量法.
例5、已知函数的定义域是R,求实数k的取值范围.
解答:
①当k=0时,函数,显然它的定义域是R;
②当k≠0时,由函数y的定义域为R可知,不等式对一切实数x均成立,因此一定有.
解得0点拨:
此题是已知函数y的定义域,据此逆向求解函数中参数k的取值,需要将问题准确转化成不等式问题.
例6、半径为R的圆内接等腰梯形ABCD,它的下底AB是⊙O的直径,上底CD的端点在圆周上,写出这个梯形周长y和腰长x的函数关系式,并写出它的定义域.
解:
如图所示,AB=2R,CD在⊙O在半圆周上.
设腰AD=BC=x,作DE⊥AB.垂足为E,连BD.
由Rt△ADE∽Rt△ABD,
练习:
一、选择题
1、函数的定义域是( )
A.[-2,2]B.{-2,2}C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,2)
2、若函数的定义域为[-1,2],则函数的定义域是( )
A. B.[-1,2]C.[-1,5] D.
3、已知函数的定义域为A,的定义域为B,若=.则实数m的取值范围是( )
A.(-3,-1) B.(-2,4)C.[-2,4] D.[-1,3]
二、填空题
4、已知函数的定义域为[-1,2],那么函数的定义域是__________.
5、若函数的定义域为R,则实数m的取值范围是__________.
三、解答题
6、求下列函数的定义域:
① ②
③y=lg(ax-2·3x)(a>0且a≠1)
7、解答下列各题:
(1)已知的定义域为[0,1],求及的定义域.
(2)设的定义域是[-2,3),求的定义域.
8、已知函数的定义域为[-1,1],求(a>0)的定义域.
9、设f(x)=lg,如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义,求实数a的取值范围.
答案:
一.1.B2.C3.D
提示:
1、得x2=4,x=±2.
3、由x2-2x-8≥0得A={x|x≥4或x≤-2}.
由1-|x-m|>0得,B={x|m-1∵.
二.4.解析:
由得≤x≤1.
5.
解析:
当m=0,,定义域为R,当m≠0,由的定义域为R知抛物线y=mx2+4mx+3与x轴无交点,即Δ=16m2-12m<0,解得.综上可知m∈.
6.解:
①.
②.
③∵ax-2·3x>0,∴()x>2.
当a>3时,此函数的定义域为(log2,+∞);
当0<a<3且a≠1时,函数定义域为(-∞,log2).
当a=3时,函数无意义.
7.解:
(1)设的定义域为[0,1],∴0≤t≤1.
当t=x2,可得0≤x2≤1,∴-1≤x≤1,∴的定义域为[-1,1].
同理,由得,∴的定义域是.
(2)∵的定义域是[-2,3),
∴-2≤x<3-3≤x-1<2,即的定义域是[-3,2).
由,∴函数的定义域为.
8.解:
须使和都有意义. 使有意义则;使有意义则.
当时,,的定义域为;
当时,,的定义域为.
9.解:
由题设可知,不等式1+2x+4x·a>0在x∈(-∞,1]上恒成立,
即()2x+()x+a>0在x∈(-∞,1]上恒成立.
设t=()x,则t≥,又设g(t)=t2+t+a,其对称轴为t=-.
只需g()=()2++a>0,得a>-,
所以a的取值范围是a>-.