初四圆6文档格式.docx

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5

，求BF的长．

104．（2013•恩施州）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．

CG是⊙O的切线．

AF=CF．

（3）若∠EAB=30°

，CF=2，求GA的长．

105．（2013•鄂州）已知：

如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．

DE为⊙O的切线．

AB：

AC=BF：

DF．

107．（2013•东营）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．

（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB=30°

，求CE的长．

108．（2013•德州）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．

（1）求AD的长；

（2）BC是⊙O的切线吗？

若是，给出证明；

若不是，说明理由．

109．（2013•德阳）如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．

PC=PG；

（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；

（3）在满足

（2）的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为

时，求弦ED的长．

106．（2013•鄂尔多斯）如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．

PC是⊙O的切线；

（2）若∠PAC=60°

，直径AC=4，求图中阴影部分的面积．

107.解：

（1）直线CD与⊙O相切．

理由如下：

连接OC．

∵OA=OC，

∴∠BAC=∠OCA，∵∠BAC=∠CAM，∴∠OCA=∠CAM，∴OC∥AM，∵CD⊥AM，

∴OC⊥CD，∵OC为半径，∴直线CD与⊙O相切．

（2）∵OC=OA，∴∠BAC=∠ACO，∵∠CAB=30°

，∴∠COE=2∠CAB=60°

，

∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC•tan60°

=3

3

109.（3）解：

连结OE，OG=OG=

，在Rt△OBG中，利用勾股定理计算出BG=2

，再利用BG2=BO•BF可计算出BF，从而得到OF=1，在Rt△OEF中，根据勾股定理计算出EF=2

6

，由于AB⊥ED，根据垂径定理可得EF=DF，于是有DE=2EF=4

解答：

（1）证明：

连结OC，如图，∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC，∴∠OCG+∠PCG=90°

，∵ED⊥AB，∴∠B+∠BGF=90°

，∵OB=OC，

∴∠B=∠OCG，∴∠PCG=∠BGF，而∠BGF=∠PGC，∴∠PGC=∠PCG，∴PC=PG；

（2）解：

CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BO•BF．理由如下：

连结OG，如图，∵点G是BC的中点，∴OG⊥BC，BG=CG，∴∠OGB=90°

∵∠OBG=∠GBF，∴Rt△BOG∽Rt△BGF，∴BG：

BF=BO：

BG，∴BG2=BO•BF，

∴CG2=BO•BF；

（3）解：

连结OE，如图，由

（2）得BG⊥BC，∴OG=

，在Rt△OBG中，OB=5，

∴BG=

OB2−OG2

=2

，由

（2）得BG2=BO•BF，∴BF=

20

=4，∴OF=1，在Rt△OEF中，EF=

OE2−OF2

，∵AB⊥ED，∴EF=DF，∴DE=2EF=4

108.

解：

（1）连接BD，则∠DBE=90°

∵四边形BCOE为平行四边形，∴BC∥OE，BC=OE=1，

在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC=

1

2

AD=1，则AD=2；

（2）连接OB，∵BC∥OD，BC=OD，∴四边形BCDO为平行四边形，

∵AD为圆O的切线，∴OD⊥AD，∴四边形BCDO为矩形，∴OB⊥BC，

则BC为圆O的切线．

106.解答：

连接AN，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC=90°

∴∠NAC+∠NCA=90°

，∵AB=AC，AN⊥BC，∴∠BAN=∠CAN，∵∠CAB=2∠BCP，

∴2∠CAN=2∠BCP，∴∠CAN=∠BCP，∴∠BCP+∠ACB=90°

，即∠ACP=90°

∴AC⊥PC，

∴PC是⊙O的切线；

（2）连接ON，∵AB=AC，∠BAC=60°

，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°

∵ON=OC，∴△ONC是等边三角形，∴∠NOC=60°

，∴OC=NC=

AC=

×

=2 

，过点O作OE⊥NC于E，∵sin∠ACB=

OE

OC

，∴sin60°

=

，∴OE=2

=3，∵S△ONC=

NC•OE=

3=3

，S扇形=

60π×

（2

）2

360

=2π，∴S阴影=S扇形-S△ONC=2π-3

105.解答：

证明：

（1）连结DO、DA，

∵AB为⊙O直径，∴∠CDA=∠BDA=90°

，∵CE=EA，∴DE=EA，∴∠1=∠4，

∵OD=OA，∴∠2=∠3，∵∠4+∠3=90°

，∴∠1+∠2=90°

，即：

∠EDO=90°

∵OD是半径，∴DE为⊙O的切线；

（2）∵∠3+∠DBA=90°

，∠3+∠4=90°

∴∠4=∠DBA，∵∠CDA=∠BDA=90°

，∴△ABD∽△CAD，∴

AB

AC

BD

AD

，∵∠FDB+∠BDO=90°

，∠DBO+∠3=90°

，又∵OD=OB，∴∠BDO=∠DBO，

∴∠3=∠FDB，∵∠F=∠F，∴△FAD∽△FDB，∴

BF

DF

，∴

，即AB：

104.

连结OC，如图，

∵C是劣弧AE的中点，∴OC⊥AE，∵CG∥AE，∴CG⊥OC，∴CG是⊙O的切线；

（2）证明：

连结AC、BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°

，∴∠2+∠BCD=90°

而CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°

，∴∠B=∠2，∵AC弧=CE弧，∴∠1=∠B，

∴∠1=∠2，∴AF=CF；

在Rt△ADF中，∠DAF=30°

，FA=FC=2，∴DF=

AF=1，∴AD=

DF=

，∵AF∥CG，∴DA：

AG=DF：

CF，即

：

AG=1：

2，∴AG=2

100.解答：

连结OD，如图，

∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB=90°

，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD平分BC，即DB=DC，

∵OA=OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，

∴EF是⊙0的切线；

∵∠DAC=∠DAB，∴∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD=

，而AB=10，∴AD=8，在Rt△ADE中，sin∠ADE=

AE

，∴AE=

32

，∵OD∥AE，∴△FDO∽△FEA，∴

OD

FO

FA

，即

BF+5

BF+10

，∴BF=

90

7

99.

（1）证明：

∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD，∵∠BCA=∠BDA∴∠BCA=∠BAD．

∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90°

，∴△BED∽△CBA，

∴

DE

12

13

，解得：

DE=

144

（3）证明：

连结OB，OD，

在△ABO和△DBO中，∵

AB＝DB

BO＝BO

OA＝OD

∴△ABO≌△DBO，∴∠DBO=∠ABO，∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC，

∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴OB⊥BE，∴BE是⊙O的切线．

92.

连结OM，如图，

∵直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M，∴PM=PA，OM⊥MP，BA⊥AC，

∴∠OMP=90°

，∠BAC=90°

，∠B+∠C=90°

而∠2=∠B，∴∠1=∠C，∴PC=PM，∴PA=PC，∴点P是线段AC的中点；

由

（1）∠PMC=∠C，在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，∴BC=

AB2+AC2

=5，∴sin∠C=

BC

，即sin∠PMC=

93.

（1）证明：

连接AO，AC∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=∠CAD=90°

∵E是CD的中点，

∴CE=DE=AE．∴∠ECA=∠EAC．

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC．∴∠ECA+∠OCA=90°

∴∠EAC+∠OAC=90°

．∴OA⊥AP．∵A是⊙O上一点，∴AP是⊙O的切线；

由

（1）知OA⊥AP．在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°

，OC=CP=OA，即OP=2OA，

∴sinP=

OA

OP

，∴∠P=30°

．∴∠AOP=60°

．∵OC=OA，∴∠ACO=60°

在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°

，AB=6，∠ACO=60°

，∴AC=

tan∠ACO

，又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°

，∠ACD=90°

-∠ACO=30°

，∴CD=

cos∠ACD

cos30°

=4．95.程的解得到x的值，确定出OD与BE的长，进而确定出BD的长，再由△BEH与△ODB相似，由相似得比例求出EH的长，△BED以BD为底，EH为高，求出面积即可．

连接OD，∵△ADE是直角三角形，OA=OE，

∴OD=OA=OE，∴点D在⊙O上；

∵AD是∠BAC的角平分线，

∴∠CAD=∠DAB，∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴AC∥OD，

∴∠C=∠ODB=90°

，∴BC是⊙O的切线；

在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，∴根据勾股定理得：

AB=10，

设OD=OA=OE=x，则OB=10-x，∵AC∥OD，△ACB∽△ODB，∴

BO

BA

x

10−x

10

x=

15

，∴OD=

，BE=10-2x=10-

，∵

8

，∴BD=5，过E作EH⊥BD，∵EH∥OD，∴△BEH∽△BOD，∴

BE

EH

25

∴EH=

∴S△BDE=

BD•EH=

96.影=S扇形AOD-S△AOF即可得出结论．

作OC⊥AB于点C，

∵OC⊥AB，

∴AC=BC，

∵AE=BF，

∴EC=FC，

∵OC⊥EF，

∴OE=OF，

∵∠EOF=60°

∴△OEF是等边三角形；

∵在等边△OEF中，∠OEF=∠EOF=60°

，AE=OE，

∴∠A=∠AOE=30°

∴∠AOF=90°

∵AO=10，

∴OF=

∴S△AOF=

10=

50

，S扇形AOD=

90π

102=25π，

∴S阴影=S扇形AOD-S△AOF=25π-