与三角形有关的角Word下载.docx

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三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．

例1.已知一个三角形三个内角的度数比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为（）

A.60°

B.75°

C.90°

D.120°

思路分析：

题意分析：

看到题目中出现比例关系时，要想到按比例关系设未知数．

解题思路：

由于题目中出现比例“1∶5∶6”，我们可设三角形三个内角分别为x°

、5x°

、6x°

，根据三角形内角和定理，三个内角的和为180°

，列方程求解即可．

解答过程：

设三角形三个内角分别为x°

，根据题意得：

x°

＋5x°

＋6x°

＝180°

解得x＝15．

则最大内角的度数为6x°

＝90°

故选C．

解题后的思考：

出现与三角形的内角有关的题目时，注意题目中隐含着一个相等关系——三角形三个内角的和为180°

例2.如图所示，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°

，∠BAC＝70°

，求：

（1）∠B的度数；

（2）∠C的度数．

本题考查三角形内角和定理的应用．

由∠ADB与∠ADC互补可先求出∠ADB，再根据三角形内角和定理在△ABD中求出∠B，在△ABC中求出∠C．

（1）因为∠ADC＝80°

，

所以∠ADB＝180°

－∠ADC＝100°

在△ABD中，∠B＋∠BAD＋∠ADB＝180°

则∠B＝∠BAD＝

（180°

－∠ADB）＝40°

（2）在△ABC中，因为∠BAC＝70°

所以∠C＝180°

－∠BAC－∠B＝70°

解答这类问题时注意角的多重属性（即属于一个三角形的内角还属于另一个三角形的内角）．

例3.如图所示，在△ABC中，∠B＝60°

，∠C＝40°

，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．

此题综合考查了三角形的内角和定理、三角形角平分线和高的定义以及直角三角形两个锐角互余等知识．

因为AE平分∠BAC，∠B＝60°

所以∠CAE＝

∠BAC＝

－∠B－∠C）＝40°

又因为AD是BC边上的高，所以∠C＋∠DAC＝90°

所以∠DAC＝90°

－∠C＝50°

所以∠DAE＝∠DAC－∠CAE＝10°

通过本例题可以得出一个重要结论：

从三角形一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另两个角的差的一半．

例4.如图所示，已知在△ABC中，∠A＝60°

，∠B与∠C的角平分线相交于点D．求∠BDC的度数．

本题综合考查三角形内角和定理、三角形角平分线的性质．

要求∠BDC的度数，需要利用三角形的内角和定理，设法沟通已知和未知的关系．

如图所示，在△BDC中，∠BDC＝180°

－（∠DBC＋∠DCB）．

因为∠DBC＝

∠ABC，∠DCB＝

∠ACB，

所以∠DBC＋∠DCB＝

（∠ABC＋∠ACB）．

在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°

－∠A＝180°

－60°

＝120°

×

120°

＝60°

所以∠BDC＝180°

－（∠DBC＋∠DCB）＝180°

在三角形中，两内角的平分线相交构成的钝角等于90°

加上第三个角的一半，即∠BDC＝90°

＋

∠A．

小结：

三角形内角和等于180°

，揭示了三角形三个内角之间的关系，同时为求角的问题提供了一个应用的平台，灵活而有技巧性地运用它，可以解决很多问题．

三角形的外角

例5.如图所示，△ABC中，∠A＝90°

，∠D是∠B、∠C的外角平分线的夹角，求∠D的度数．

可用邻补角的性质解答．

要求∠D的度数，只需要知道∠3＋∠4的度数，因为∠3、∠4不可能分别求出，故应将∠3＋∠4视为一个整体进行整体求值．

因为BD和CD分别是∠CBE和∠BCF的角平分线，

所以2∠3＋∠1＝180°

，2∠4＋∠2＝180°

又因为∠1＋∠2＝90°

，所以∠3＋∠4＝135°

所以∠D＝180°

－135°

＝45°

本题还可以应用三角形的外角性质来解答．

例6.如图所示，∠C＝48°

，∠E＝25°

，∠BDF＝140°

，求∠A与∠EFD的度数．

∠BDF是△BCD的外角，也是△DEF的外角，无论运用哪种关系都可以求解．

由∠BDF是△BCD的一个外角，且∠C已知，可求∠CBD的度数．通过∠CBD是△ABE的外角，可求∠A，通过∠EFD是△ACF的外角可求∠EFD．

因为∠BDF＝∠C＋∠CBD，∠C＝48°

所以∠CBD＝92°

因为∠CBD＝∠A＋∠E，∠E＝25°

所以∠A＝67°

，∠EFD＝∠A＋∠C＝115°

求一个角的度数，应该首先弄清这个角在哪个三角形中，是外角还是内角，跟已知的角有什么联系．

例7.如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E．求证：

∠BAC＞∠B．

解答涉及角的不等关系的问题时，要想到利用“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”的性质．

要证∠BAC＞∠B，由于∠BAC、∠B在同一三角形中，没有直接的定理可用，必须通过其他的角进行转换．

在△ACE中，∠BAC＞∠1（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）．

同理在△BCE中，∠2＞∠B，

因为∠1＝∠2，所以∠BAC＞∠B．

本题中∠1＝∠2的作用非常关键，它把∠B和∠2的不等关系与∠BAC和∠1的不等关系联系起来了．

例8.

（1）如图①所示，CD是直角三角形斜边AB上的高，图中有与∠A相等的角吗？

为什么？

（2）如图②所示，把图①中的CD平移得到ED，图中还有与∠A相等的角吗？

（3）如图③所示，把图①中的CD平移得到ED，交BC的延长线于E．图中还有与∠A相等的角吗？

无论CD移动到什么位置，与AB的垂直关系不变．且△ABC各内角的度数、∠BC（E）D的度数保持不变．

无论高CD怎样移动，因为∠ACB＝90°

，∠BDC（E）＝90°

，所以总有∠A＋∠B＝90°

，∠B＋∠BC（E）D＝90°

，根据同角的余角相等，可得∠A＝∠BC（E）D．

（1）有∠BCD＝∠A．

理由：

因为∠ACB＝90°

，所以∠A＋∠B＝90°

因为CD⊥AB，所以∠BCD＋∠B＝90°

，所以∠A＝∠BCD．

（2）有∠A＝∠BED．

因为DE⊥AB，所以∠BED＋∠B＝90°

，所以∠A＝∠BED．

（3）有∠BED＝∠A．

当图形中有线段运动时，要从变化中寻找不变量，这是解答此题的关键．

在有关三角形角度的计算中“外角等于和它不相邻的两个内角的和”这一性质经常起到桥梁的作用，它把三角形的内角和外角联系起来了．

和三角形有关的角的度数问题一般有两类：

一类是求角的度数，解答这类问题时，通常要综合运用三角形的内角和定理、三角形外角的性质等．另一类是求证角之间的不等关系，解答这类问题时，应该依据“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”这一性质求解．分析解答这两类问题的共同之处是要分清已知角或所求角是哪一个三角形的内角，或是哪一个三角形的外角．

（答题时间：

60分钟）

一、选择题

1.在△ABC中，∠A＝2∠B＝80°

，则∠C的度数为（）

A.30°

B.40°

C.50°

D.60°

2.一个三角形的三个内角中至多有（）

A.一个锐角B.两个锐角C.一个钝角D.两个直角

3.如图所示，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F等于（）

A.480°

B.360°

C.240°

D.180°

4.三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定

5.如图所示，已知直线AB∥CD，∠C＝115°

，∠A＝25°

，则∠E＝（）

A.70°

B.80°

D.100°

6.如图所示，已知D是△ABC中BC边上的一点，连接AD，E是AD上的任意一点，连接CE，则∠ADB和∠DCE的大小关系是（）

A.∠ADB＝∠DCEB.∠ADB＞∠DCE

C.∠ADB＜∠DCED.大小关系不确定

*7.如图所示，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC等于（）

A.36°

B.18°

C.72°

D.28°

**8.如图所示，在直角△ADB中，∠D＝90°

，C为AD上一点，则x可能是（）

A.10°

B.20°

C.30°

D.40°

二、填空题

9.如图所示，l1∥l2，∠α＝__________度．

10.如图所示，用大于号“＞”表示∠A、∠1、∠2三者的关系是__________．

11.在△ABC中，∠A∶∠B＝2∶1，∠C＝60°

，那么∠A＝__________．

12.如图所示，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝__________度．

**13.三角形中至少有一个角不小于__________度．

**14.在△ABC中，若∠A－∠B＝50°

，最小角为30°

，则最大角为__________．

三、解答题

15.在△ABC中，∠A＋∠B＝100°

，∠C＝2∠B．求∠A、∠B、∠C的度数．

16.如图所示，∠BAF、∠CBD、∠ACE是△ABC的三个外角，试求∠BAF＋∠CBD＋∠ACE的度数．

*17.如图所示，P是△ABC中∠B的角平分线与△ABC的外角∠ACE平分线的交点，则∠A＝2∠P，试说明理由．

18.已知：

如图所示，∠1是△ABC的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．试说明∠1＞∠2的理由．

四、拓广探索

19.

（1）如图甲所示，在五角星中，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．

（2）把图乙、丙、丁叫做蜕化的五角星形，问它们的五角之和与五角星形的五角之和仍相等吗？

1.D

2.C

3.B解析：

∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝180°

3－180°

＝360°

4.C

5.C

6.B

7.B解析：

因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°

所以∠A＋2∠A＋2∠A＝180°

，解得∠A＝36°

所以∠C＝2∠A＝72°

在△BCD中，∠DBC＝180°

－90°

－∠C＝18°

8.B解析：

因为∠ACB是△BCD的外角，

所以∠ACB＝6x＞90°

，即x＞15°

又因为∠ACB是一个钝角，所以6x＜180°

，即x＜30°

所以x在15°

到30°

之间，故选B．

9.35

10.∠1＞∠2＞∠A

11.80°

解析：

设∠B＝x，则∠A＝2x，则x＋2x＋60°

，解得x＝40°

，则∠A＝2x＝80°

12.280

解析：

因为∠1＋∠2＋40°

，∠3＋∠4＋40°

所以∠1＋∠2＝140°

，∠3＋∠4＝140°

所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝280°

13.60

因为三角形的三个内角之和等于180°

如果三角形的每个内角都小于60°

则三角形的三个内角之和一定小于180°

，这就与定理矛盾了，

所以三角形中至少有一个角不小于60°

14.80°

或100°

因为∠A－∠B＝50°

，所以最小角有可能是∠B或是∠C．

（1）若∠B是最小角，则∠A－30°

＝50°

，得∠A＝80°

则∠C＝180°

－80°

－30°

＝70°

这个三角形的三个内角分别是80°

、30°

、70°

则最大角是80°

（2）若∠C是最小角，则∠A＋∠B＝180°

＝150°

又因为∠A－∠B＝50°

，所以∠A＝50°

＋∠B，

即50°

＋∠B＋∠B＝150°

，解得∠B＝50°

所以∠A＝100°

，这个三角形的三个内角分别是100°

、50°

则最大角是100°

．综上所述，最大角为80°

15.解：

因为∠A＋∠B＋∠C＝180°

，∠A＋∠B＝100°

－100°

＝80°

，所以2∠B＝80°

所以∠B＝40°

，所以∠A＝180°

－40°

16.解：

由三角形的外角的性质可知：

∠BAF＝∠2＋∠3，∠CBD＝∠1＋∠3，∠ACE＝∠1＋∠2．

由此可将求三角形的三个外角和的问题转化为求三角形的内角和．

解题过程如下：

因为∠BAF、∠CBD、∠ACE是△ABC的三个外角，

所以∠BAF＝∠2＋∠3，∠CBD＝∠1＋∠3，∠ACE＝∠1＋∠2，

所以∠BAF＋∠CBD＋∠ACE＝2（∠1＋∠2＋∠3）．

又因为∠1＋∠2＋∠3＝180°

，所以∠BAF＋∠CBD＋∠ACE＝360°

17.解：

因为BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的平分线，

所以∠ABC＝2∠PBC，∠ACE＝2∠PCE．

又因为∠A＝∠ACE－∠ABC，所以∠A＝2（∠PCE－∠PBC）．

又因为∠P＝∠PCE－∠PBC，所以∠A＝2∠P．

18.解：

因为∠1是△ABC的一个外角，所以∠1＞∠3．

因为∠3是△DCE的一个外角，所以∠3＞∠2，

所以∠1＞∠2．

19.解：

（1）如图所示，标注两个字母．

因为∠CGD是△ACG的一个外角，所以∠CGD＝∠A＋∠C，

因为∠EFD是△EFB的一个外角，所以∠EFD＝∠B＋∠E．

所以∠CGD＋∠EFD＝∠A＋∠B＋∠C＋∠E．

又因为∠CGD＋∠EFD＋∠D＝180°

所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°

.

（2）仍然相等，用类似于

（1）中的方法可以证明．